工程傳熱學(xué)：第二章 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

1、2022/8/101第二章 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 分析傳熱問題基本上是遵循經(jīng)典力學(xué)的研究方法，即針對物理現(xiàn)象建立物理模型，而后從基本定律導(dǎo)出其數(shù)學(xué)描述(常以微分方程的形式表達(dá)，故稱數(shù)學(xué)模型)，接下來考慮求解的理論分析方法。 導(dǎo)熱問題是傳熱學(xué)中最易于采用此方法處理的傳熱方式。 2-1 基本概念2-2 一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱2022/8/1022-1 基本概念1 溫度場(Temperature Field)溫度場：某一瞬間，空間(或物體內(nèi))所有各點溫度分布的總稱。 溫度場是個數(shù)量場，可以用一個數(shù)量函數(shù)來表示。一般說，溫度場是空間坐標(biāo)和時間的函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中，溫度場可表示為： t = f(x, y, z, )穩(wěn)態(tài)溫度

2、場：穩(wěn)態(tài)工作條件下的溫度場。物體各點溫度不隨時間改變。 t = f(x, y, z)非穩(wěn)態(tài)溫度場：變動工作條件下的溫度場。溫度分布隨時間改變。 t = f(x, y, z, )2022/8/103等溫面：溫度場中同一瞬間同溫度各點連成的面。等溫線：在二維情況下等溫面為一等溫曲線。溫度場圖：溫度場習(xí)慣上用等溫面圖或等溫線圖來表示：等溫線要么形成一個封閉的曲線，要么終止在物體表面上，不會與另一條線相交。物體中等溫線較密集的地方說明溫度的變化率較大，導(dǎo)熱熱流也較大。 絕熱絕熱t(yī)=100Ct=20C2022/8/104溫度的變化率沿不同的方向一般是不同的。溫度沿某一方向x的變化率在數(shù)學(xué)上可以用該方向上

3、溫度對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)來表示，即在各個不同方向的溫度變化率中，有一個方向的變化率是最大的，這個方向是等溫線或等溫面的法線方向。數(shù)學(xué)上用梯度矢量來表示這個方向的變化率： 2022/8/1052 付里葉定律(Fouriers Law)第一章中給出了穩(wěn)態(tài)條件下的付里葉定律，這里可推廣為更一般情況。一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱時 ：經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，熱流密度和垂直傳熱截面方向的溫度變化率成正比。熱流密度也是矢量，其方向指向溫度降低的方向，因而和溫度梯度的方向相反。傅里葉定律的一般形式為： 熱流密度在x, y, z 方向的投影的大小分別為： 2022/8/106式中負(fù)號表示熱量傳遞的方向指向溫度降低的方向（是為了滿足熱力學(xué)第二定律

4、）。熱流密度是矢量，有方向。gradt是空間某點的溫度梯度； n - 是該點等溫線上的法向單位矢量，指向溫度升高的方向； q - 是熱流密度矢量。 t1 t2 0 x n dt dn t t+dt2022/8/1073 導(dǎo)熱系數(shù)(Thermal conductivity)1）導(dǎo)熱系數(shù)的定義式由下式給出： 導(dǎo)熱系數(shù)在數(shù)值上等于單位溫度梯度時的熱流密度的模（大?。８鶕?jù)一維穩(wěn)態(tài)平壁導(dǎo)熱模型，可以采用平板法測量物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)。對于圖所示的大平板的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，流過平板的熱流量與平板兩側(cè)溫度和平板厚度之間的關(guān)系為：只要任意知道三個就可以求出第四個。由此可設(shè)計穩(wěn)態(tài)法測量導(dǎo)熱系數(shù)實驗。 2022/8/10

5、82）影響導(dǎo)熱系數(shù)因素：導(dǎo)熱系數(shù)是物性參數(shù)，它與物質(zhì)結(jié)構(gòu)和狀態(tài)密切相關(guān)，例如物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、 濕度、壓力、密度等，與物質(zhì)幾何形狀無關(guān)。它反映了物質(zhì)微觀粒子傳遞熱量的特性。不同物質(zhì)的導(dǎo)熱性能不同：2022/8/109保溫材料：溫度低于350度時熱導(dǎo)率小于0.12W/(mK) 的材料（絕熱材料）同一種物質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)也會因其狀態(tài)參數(shù)的不同而改變。一般把導(dǎo)熱系數(shù)僅僅視為溫度的函數(shù)，而且在一定溫度范圍還可以用一種線性關(guān)系來描述。 2022/8/10104 導(dǎo)熱微分方程導(dǎo)熱微分方程是用數(shù)學(xué)方法描述導(dǎo)熱溫度場的一般性規(guī)律的方程，很多問題都可以通過求解微分方程而得到有效的解決。應(yīng)用能量守恒定律與付

6、里葉定律，可建立導(dǎo)熱微分方程式。能量守恒：導(dǎo)入微元體的總熱流量+內(nèi)熱源的生成熱=導(dǎo)出微元體的總熱流量+內(nèi)能的增量 xyzdxdx+dxdydy+dydzdz+dz2022/8/1011d 時間內(nèi)、沿 x 軸方向、經(jīng) x+dx 表面導(dǎo)出的熱量：d 時間內(nèi)、沿 x 軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：類似地2022/8/1012d時間內(nèi)能增量 內(nèi)熱源的生成熱：設(shè)單位時間、單位體積的生成熱為 d 時間、微元體內(nèi)熱源的生成熱為：xyzdxdx+dxdydy+dydzdz+dz2022/8/1013故能量平衡可寫為： 這是導(dǎo)熱微分方程的一般形式。等號左邊是單位時間內(nèi)微元體的內(nèi)能增量（非穩(wěn)態(tài)項），右邊的三項是擴(kuò)

7、散項（導(dǎo)熱引起），最后一項是源項。分幾種特殊情況討論：（1）導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)時上式為 ：a 稱為熱擴(kuò)散率，又叫導(dǎo)溫系數(shù)。(thermal diffusivity) （2-22） （2-21） 2022/8/1014 (2)無內(nèi)熱源，導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)時，式（2-22）為： 這是常物性、無內(nèi)熱源的三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程。（3）常物性、穩(wěn)態(tài)、式（2-22）變?yōu)椋?數(shù)學(xué)上上式稱為泊桑（Poisson）方程。這是常物性、穩(wěn)態(tài)且有內(nèi)熱源的三維導(dǎo)熱微分方程。（4）常物性、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源：上式變?yōu)椋?上式又叫拉普拉斯（Laplace）方程。 2022/8/1015 反映了導(dǎo)熱過程中材料的導(dǎo)熱能力（ ）與沿途物質(zhì)儲

8、熱能力（ c ）之間的關(guān)系.a值大，即 值大或 c 值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴(kuò)散熱擴(kuò)散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內(nèi)各部分溫度趨于均勻一致的能力，所以a反應(yīng)導(dǎo)熱過程動態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱重要物理量在同樣加熱條件下，物體的熱擴(kuò)散率越大，物體內(nèi)部各處的溫度差別越小。2022/8/1016（5） 園柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的方程如下：2022/8/10172022/8/10185 定解條件求解導(dǎo)熱問題即求解微分方程, 通解特解要求出特解，必須給出定解條件(單值性條件)。 單值性條件：確定唯一解的附加補(bǔ)充說明條件，包括四項：幾何、物理、初始、邊界完整數(shù)學(xué)描述：導(dǎo)熱微

9、分方程 + 單值性條件非穩(wěn)態(tài)情況：初始條件(initial condition)：初始時刻溫度分布邊界條件(boundary condition)：邊界上的溫度或換熱情況穩(wěn)態(tài)情況：邊界條件2022/8/1019三類邊界條件： 1）第一類邊界條件：規(guī)定了邊界上的溫度值。如：邊界溫度為常數(shù) tw = c邊界溫度為位置函數(shù) tw = f(x, y)對非穩(wěn)態(tài)情況給出 0時： tw = f1( )2）第二類邊界條件：規(guī)定了邊界上的熱流密度值。如：規(guī)定對非穩(wěn)態(tài)規(guī)定：當(dāng) 0時： qw = f2( ), 即 2022/8/10203）第三類邊界條件：規(guī)定了邊界上物體與流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h及周圍流體的溫度。當(dāng)

10、物體被冷卻時，這類邊界條件可寫為： 在非穩(wěn)態(tài)時，h及tf均可為時間函數(shù)。2022/8/10212-2 一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱1 通過平壁的導(dǎo)熱1)溫度分布已知平壁的壁厚為，兩個表面溫度：分別維持均勻而恒定的溫度t1和t2，即邊界條件： 設(shè)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，則微分方程為： t1t2x2022/8/1022由邊界條件可得： t1t2x線性分布2022/8/1023忽略每層間的接觸熱阻，則每層的面積熱阻為：t1t21t1t32t43t4總熱阻為： 熱流密度為： 2) 多層平壁利用熱阻概念，可以方便地計算多層平壁的導(dǎo)熱，如鍋爐爐墻由耐火磚、保溫磚、和普通磚串聯(lián)而成。2022/8/1024對于n層多層壁： 由上式若

11、知道了熱流密度，各層界面上的未知溫度可依次求出： 若導(dǎo)熱系數(shù)是溫度的線性函數(shù)，即 = 0(1+ bt)計算時只要用平均溫度下的導(dǎo)熱系數(shù)值。 a.單層壁 b.多層壁 c. 復(fù)合壁 2022/8/1025無內(nèi)熱源，不為常數(shù)(是溫度的線性函數(shù))0、b為常數(shù)最后可求得其溫度分布 2022/8/1026二次曲線方程=0(1+bt)b0b0，=0(1+bt)，隨著t增大，增大，即高溫區(qū)的導(dǎo)熱系數(shù)大于低溫區(qū)。Q=-A(dt/dx)，所以高溫區(qū)的溫度梯度dt/dx較小，而形成上凸的溫度分布。=0(1+bt)b0b0t1 t20 x當(dāng)b0，=0(1+bt)，隨著t增大，減小，高溫區(qū)的溫度梯度dt/dx較大。20

12、22/8/10283）接觸熱阻：實際的兩個固體表面之間不可能完全接觸，只能是局部的、甚至存在點接觸，如圖2-9所示。只有在界面上那些真正接觸的點上，溫度才是相等的。當(dāng)未接觸的空隙中充滿空氣或其它氣體時，由于氣體的熱導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于固體,就會對兩個固體間的導(dǎo)熱過程產(chǎn)生附加熱阻Rc，稱之為接觸熱阻。由于接觸熱阻的存在，使導(dǎo)熱過程中兩個接觸表面之間出現(xiàn)溫差tc。 t1t2txt2022/8/1029例2-1 一鍋爐爐墻采用密度為300kg/m3的水泥珍珠巖制作，壁厚 = 100 mm，已知內(nèi)壁溫度t1=500，外壁溫度t2=50，求爐墻單位面積、單位時間的熱損失。解 材料的平均溫度為： t = (t1

13、+ t2)/2 = (500 + 50)/2 = 275 由p318附錄4查得： 2022/8/1030若是多層壁，t2、t3的溫度未知：可先假定它們的溫度，從而計算出平均溫度并查出導(dǎo)熱系數(shù)值，再計算熱流密度及t2、t3的值。若計算值與假設(shè)值相差較大，需要用計算結(jié)果修正假設(shè)值，逐步逼近，這就是迭代法。 2022/8/1031例2-2 一雙層玻璃窗，高2m，寬1m，玻璃厚3mm，玻璃的導(dǎo)熱系數(shù)為1.05 W/(mK)，雙層玻璃間的空氣夾層厚度為5mm，夾層中的空氣完全靜止，空氣的導(dǎo)熱系數(shù)為 0.025W/(mK)。如果測得冬季室內(nèi)外玻璃表面溫度分別為15和5，試求玻璃窗的散熱損失，并比較玻璃與空

14、氣夾層的導(dǎo)熱熱阻。解 這是一個三層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。根據(jù)式(2-41)散熱損失為：可見，單層玻璃的導(dǎo)熱熱阻為0.003 K/W，而空氣夾層的導(dǎo)熱熱阻為0.1 K/W，是玻璃的33.3倍。 2022/8/1032如果采用單層玻璃窗，則散熱損失為 是雙層玻璃窗散熱損失的35倍，可見采用雙層玻璃窗可以大大減少散熱損失，節(jié)約能源。2022/8/10332 通過圓筒壁的導(dǎo)熱采用圓柱坐標(biāo)系，設(shè)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)，這是沿半徑方向的一維導(dǎo)熱，微分方程為：邊界條件為： 積分得： t2t1r1r2通解為： 代入邊界條件得： 故溫度分布為：對數(shù)曲線分布2022/8/1034由可見q與r成反比。流過整個圓筒壁的熱流量為

15、： t2t1r1r2熱阻為： 對多層圓筒壁：或得雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度 q 與半徑 r 成反比！長度為 l 的圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻2022/8/10353 通過球壁的導(dǎo)熱溫度分布： 熱流量：熱阻：r1r2t1t2熱流密度：2022/8/1036例2-3 溫度為120的空氣從導(dǎo)熱系數(shù)為1 =18W/(mK)的不銹鋼管內(nèi)流過，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h1 =65 W/(m2K), 管內(nèi)徑為d1 = 25 mm，厚度為4 mm。管子外表面處于溫度為15的環(huán)境中，外表面自然對流的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h2 = 6.5 W/(m2K)。 (1)求每米長管道的熱損失； (2)為了將熱損失降低80%，在管道外壁覆蓋導(dǎo)熱系數(shù)為

16、0.04 W/(mK)的保溫材料，求保溫層厚度；(3)若要將熱損失降低90%，求保溫層厚度。解 這是一個含有圓管導(dǎo)熱的傳熱過程，光管時的總熱阻為： 2022/8/1037(1)每米長管道的熱損失為：(2)設(shè)覆蓋保溫材料后的半徑為r3，由所給條件和熱阻的概念有 2022/8/1038由以上超越方程解得r3 = 0.123 m故保溫層厚度為123 16.5 = 106.5 mm。(3)若要將熱損失降低90%，按上面方法可得r3 = 1.07 m這時所需的保溫層厚度為1.07 0.0165 = 1.05 m由此可見，熱損失將低到一定程度后，若要再提高保溫效果，將會使保溫層厚度大大增加。2022/8/

17、10394 變截面或變導(dǎo)熱系數(shù)問題以前方法：先由微分方程求溫度分布，再求熱流密度。以下方法：不求解微分方程，直接對付里葉定律積分。此方法對一維變物性、變傳熱面積非常有效。由付里葉定律： 分離變量：（由于是一維問題， 與x無關(guān)） 絕熱絕熱xt1t22022/8/1040或而絕熱絕熱xt1t2所以一般S稱為形狀因子。2022/8/10415 內(nèi)熱源問題 電流通過的導(dǎo)體； 化工中的放熱、吸熱反應(yīng)； 反應(yīng)堆燃料元件核反應(yīng)熱。在有內(nèi)熱源時，即使是一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：熱流量沿傳熱方向也是不斷變化的，微分方程中必須考慮內(nèi)熱源項。 2022/8/10421) 具有內(nèi)熱源的平壁平壁的兩側(cè)均為第三類邊界條件，由于對稱性

18、，只考慮平板一半：微分方程： xh, tfh, tfo邊界條件為：（對稱條件）對微分方程積分:代邊界條件(1)得c1=02022/8/1043xh, tfh, tfo微分方程變?yōu)椋涸俜e分:求出c2后可得溫度分布為： 任一位置處的熱流密度為： 注意： 溫度分布為拋物線分布； 熱流密度與x成正比， 當(dāng)h 時，應(yīng)有tw tf故定壁溫時溫度分布為： 2022/8/1044例2-4 核反應(yīng)堆燃料元件模型。三層平板，中間為1=14mm的燃料層，兩側(cè)均為2=6mm的鋁板。燃料層發(fā)熱量為1.5107W/m3，1=35W/(mK), 鋁板無內(nèi)熱源, 2=100W/(mK), tf=150水冷，h=3500W/(m2K),求各壁面溫度及燃料最高溫度。解 因?qū)ΨQ性只研究半個模型。燃料元件總發(fā)熱量為1/22xh, tfh, tfot0t1t2qtft1t22/(A2)1/(Ah)對鋁板:而:2022/8/104512xh, tfh, tfot0t1t2qtft1t22/(A