《解析函數(shù)與插值理論》教學(xué)大綱

1、 解析函數(shù)與插值理論教學(xué)大綱課程名稱：矩陣與算子理論英文名稱：Analytic Functions and Interpolation Theory課程編號：Math2094開課單位：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院開課學(xué)期：秋季課內(nèi)學(xué)時：36教學(xué)方式：講授適用專業(yè)及層次：數(shù)學(xué)各專業(yè)碩士考核方式：考查預(yù)修課程：高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、數(shù)值分析一、教學(xué)目標(biāo)與要求通過本課程的學(xué)習(xí)，要求掌握：有理函數(shù)、完全單調(diào)函數(shù)、Pick函數(shù)等解析函數(shù)的若干性質(zhì)和重要定理，了解與相關(guān)的矩陣、插值等之間的聯(lián)系。學(xué)會有理矩陣函數(shù)插值的基本理論、思想和方法；掌握有理矩陣函數(shù)在給定零點和極點的插值方法和插值定理，了解插值點在右半平面和單位圓周內(nèi)

2、的插值等問題；掌握有理函數(shù)、完全單調(diào)函數(shù)的解析連續(xù)性，Pick函數(shù)插值與Loewner定理，Cauchy插值、單調(diào)矩陣函數(shù)插值與幾乎正矩陣之間的聯(lián)系等問題。主要內(nèi)容包括：1、解析矩陣函數(shù)的零結(jié)構(gòu)，亞純函數(shù)、零函數(shù)與極函數(shù)；2、有理函數(shù)的實現(xiàn)與最小性、整體插值，零極耦合矩陣；3、實現(xiàn)和Mbius變換、非真正有理函數(shù)的實現(xiàn)、含無窮遠(yuǎn)點的插值、含無窮遠(yuǎn)點的插值、在右半平面和單位圓周內(nèi)的插值、具有J-酉的矩陣函數(shù)插值等；4、有理函數(shù)、完全單調(diào)函數(shù)、Pick函數(shù)的若干性質(zhì)定理；5、單調(diào)矩陣函數(shù)與再生核；6、Cauchy插值、單調(diào)矩陣函數(shù)插值與幾乎正矩陣；7、其他解析函數(shù)的解析連續(xù)性等問題。二、課程內(nèi)容與

3、學(xué)時分配第一章有理函數(shù)和完全單調(diào)函數(shù)（6學(xué)時）11有理函數(shù)和完全單調(diào)函數(shù)12Pick函數(shù)與積分表示13Pick矩陣與Loewner矩陣14譜定理第二章單調(diào)矩陣函數(shù)（6學(xué)時）21單調(diào)矩陣函數(shù)22再生核23Loewner定理與充分條件第三章插值與矩陣（6學(xué)時）31Cauchy插值32Pick函數(shù)插值33單調(diào)矩陣函數(shù)插值與矩陣第四章矩陣的分解（6學(xué)時）41解析矩陣函數(shù)的零結(jié)構(gòu)42矩陣多項式的插值問題43零函數(shù)與極函數(shù)44零和極鏈、對、三元數(shù)組第五章矩陣函數(shù)（6學(xué)時）51有理函數(shù)的實現(xiàn)與最小性52有理函數(shù)的整體插值53具有不完全數(shù)據(jù)的插值第六章實現(xiàn)和插值定理（6學(xué)時）61非真正有理函數(shù)的實現(xiàn)62含無窮

4、遠(yuǎn)點的插值63在右半平面的插值64在單位圓周內(nèi)的插值65具有J-酉矩陣函數(shù)插值三、教材1W.F. Donoghue, Monotone Matrix Function and Analytic Continuation, Birkhauser Verlag, Springer-Verlag, Berlin and New York, 1974.2. J.A. Ball, I. Gohberg and L. Rodman, Interpolation of Rational Matrix Functions, Birkhauser Verlag, Basel Boston Berlin, 1990.主要參考書1C.Foias and A.E. Frazho, The commutant Lifting Approach to Interpolation Problems, Birkhauser Verlag, Basel Boston Berlin, 1989.2. H.Dym, J-Contractive Matrix Functions, Reproducing Kernel