《泛函分析》教學(xué)大綱

1、 泛函分析教學(xué)大綱前言泛函分析課程是數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)較新的重要分支，它綜合運(yùn)用分析、代數(shù)和幾何的觀點(diǎn)與方法來(lái)研究分析學(xué)中的許多問(wèn)題由于運(yùn)用泛函分析這個(gè)工具，引起了微分方程、概率論、群上調(diào)和分析的重大發(fā)展，使得泛函分析的概念和方法已經(jīng)滲透現(xiàn)代純粹及應(yīng)用數(shù)學(xué)、理論物理學(xué)、力學(xué)、工程理論等許多分支泛函分析是一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課,這一門課掌握的情況直接影響到將來(lái)能否從事高水平的科學(xué)研究設(shè)置本課程的目的是：使學(xué)習(xí)者在全面了解泛函分析歷史、現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢(shì)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用泛函分析的理論和方法進(jìn)一步研究無(wú)限維空間的結(jié)構(gòu)通過(guò)教學(xué)，使學(xué)生了解和掌握這一學(xué)科的基本概念，理論，培養(yǎng)學(xué)生的理

2、論思維能力，為從事數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)和研究打下一定的理論基礎(chǔ)學(xué)習(xí)本課程的要求是：泛函分析是綜合運(yùn)用高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)和微分方程的課程,從而為進(jìn)一步從事科學(xué)研究做準(zhǔn)備因此學(xué)生必須深刻理解并牢固掌握泛函分析的基本概念、重要定理和證明這些定理的思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的對(duì)無(wú)窮維空間的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生掌握泛函分析的基本思想和基本內(nèi)容，開(kāi)闊學(xué)生的眼界，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)先修課程要求：高等代數(shù)，數(shù)學(xué)分析，實(shí)變函數(shù)本課程計(jì)劃：周4學(xué)時(shí)計(jì)72學(xué)時(shí)，4學(xué)分選用教材：劉炳初編著，泛函分析，科學(xué)出版社，2000教學(xué)手段：講解為主，講解和討論相結(jié)合考核方法：考試教學(xué)進(jìn)程安排表周次學(xué)時(shí)數(shù)教學(xué)主要內(nèi)容教學(xué)方法備注14介紹泛函

3、分析的研究對(duì)象及主要內(nèi)容；引入距離的定義，并介紹常見(jiàn)的距離空間；介紹按距離收斂的定義及按距離收斂的性質(zhì)講課24講解作業(yè)和習(xí)題；介紹距離空間中開(kāi)集和閉集、稠密、可分的概念和性質(zhì)，常見(jiàn)的可分空間講課，習(xí)題課34介紹Cauchy列的定義，完備距離空間的定義及性質(zhì)，常見(jiàn)的完備的距離空間，閉球套定理，疏集的定義，第一綱集和第二綱集距離空間的完備化；壓縮映射原理及其應(yīng)用講課46距離空間中緊性的基本概念和性質(zhì)；Ca,b中列緊的判別法的重要定理：Arzela定理講解課后習(xí)題講課，習(xí)題課5國(guó)慶節(jié)放假64賦范空間的基本概念；Holder和Minkowski不等式及由此引入的P方可積函數(shù)空間講課74賦范空間的性質(zhì)及有限維賦范空間的性質(zhì)講課84講解作業(yè)及部分課后習(xí)題習(xí)題課94有界線性算子及有界線性泛函講課104一致有界定理；逆算子的定義及線性算子譜的概念講課114開(kāi)映射定理、閉圖象定理Hahn-Banach定理及其推論講課124某些賦范空間上有界線性泛函的一般形式講課134自反性、弱收斂講課144緊算子的定義及性質(zhì)；講解作業(yè)及部分課后習(xí)題講課，習(xí)題課1