MathsSPA19 2019年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題（B卷）

1、2019 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試（B 卷）一、填空題：本大題共 8 小題，每小題 8 分，滿分 64 分1. 已知實(shí)數(shù)集合1, 2, 3, x 的最大元素等于該集合的所有元素之和，則 x 的 值為2. 若平面向量 a (2m , 1) 與 b (2m 1, 2m1 ) 垂直，其中 m 為實(shí)數(shù)，則 a 的模為 3. 設(shè) a, b (0, p) ，cosa, cos b 是方程 5x2 3x 10 的兩根，則 sin a sin b 的 值為4. 設(shè)三棱錐 P ABC 滿足 PA PB 3, AB BC CA 2 ，則該三棱錐的體積的最大值為5. 將 5 個(gè)數(shù) 2, 0, 1, 9, 2019

2、 按任意次序排成一行，拼成一個(gè) 8 位數(shù)（首位不為 0），則產(chǎn)生的不同的 8 位數(shù)的個(gè)數(shù)為 6. 設(shè)整數(shù) n 4 ，的展開式中 xn4 與 xy 兩項(xiàng)的系數(shù)相等,則 n的值為 7. 在平面直角坐標(biāo)系中，若以 (r 1, 0) 為圓心、 r 為半徑的圓上存在一點(diǎn)(a, b) 滿足 b2 4a ，則 r 的最小值為8. 設(shè)等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng) a1 2019 ，且對(duì)任意正整數(shù) n ，總存在正整數(shù) m ，使得 a1a2 an am 這樣的數(shù)列an 的個(gè)數(shù)為二、解答題：本大題共 3 小題，滿分 56 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過 程或演算步驟9.（本題滿分 16 分）在橢圓 中， F 為一

3、個(gè)焦點(diǎn)， A, B 為兩個(gè)頂點(diǎn)若FA 3, FB 2 ，求 AB 的所有可能值10. （本題滿分 20 分）設(shè) a, b, c 均大于 1，滿足lg a logb c 3, lg b loga c 4.求 lg a lg c 的最大值11. （本題滿分 20 分）設(shè)復(fù)數(shù)數(shù)列zn 滿足： z1 1 ，且對(duì)任意正整數(shù) n ，n1n n1n均有 4z2 2z zz2 0 證明：對(duì)任意正整數(shù) m ，均有2 3z1 z2 zm 32019 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽加試（B 卷） 一、（本題滿分 40 分）設(shè)正實(shí)數(shù) a1, a2 , , a100 滿足 ai a101i (i 1, 2, , 50) 記 .

4、證明：.二、（本題滿分 40 分）求滿足以下條件的所有正整數(shù) n ：(1)n 至少有 4 個(gè)正約數(shù)；(2) 若 d1 d2 dk 是 n 的所有正約數(shù)，則 d2 d1, d3 d2 , , dk dk 1 構(gòu) 成等比數(shù)列三、（本題滿分 50 分）如圖，點(diǎn) A, B, C, D, E 在一條直線上順次排列，滿足 BCCD點(diǎn) P 在該直線外，滿足 PB PD 點(diǎn) K, L 分別在線段PB, PD 上，滿足 KC 平分 BKE ， LC 平分 ALD 證明： A, K, L, E 四點(diǎn)共圓（答題時(shí)請(qǐng)將圖畫在答卷紙上）PKLABCDE四、（本題滿分 50 分）將一個(gè)凸 2019 邊形的每條邊任意染為紅、黃、藍(lán)三 種顏色之一，每種顏色的邊各 673 條證明：可作這個(gè)凸 2019 邊形的 2016 條在 內(nèi)部互不相交的對(duì)角線將其剖分