6-數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)

1、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 陳亞萍第八章 數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)第八章 數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)6.1 數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)6.2 數(shù)學(xué)命題及教學(xué)6.3 數(shù)學(xué)中的推理和證明第六章 數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)一、教學(xué)目標(biāo)： 通過學(xué)習(xí)本節(jié)，使學(xué)生不僅掌握數(shù)學(xué)的概念，數(shù)學(xué)命題及數(shù)學(xué)中的證明等知識(shí)，更重要的是使學(xué)生提高這部分內(nèi)容的教學(xué)水平。 通過對(duì)本章的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念、判斷與命題、數(shù)學(xué)命題的概念，掌握數(shù)學(xué)概念的意義和結(jié)構(gòu)、概念間的關(guān)系、概念的定義、概念的劃分（分類）；對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)、數(shù)學(xué)命題的教學(xué)、數(shù)學(xué)中的證明的教學(xué)的實(shí)施有一定的認(rèn)識(shí)。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)及關(guān)鍵 重點(diǎn)：對(duì)數(shù)學(xué)概念的意義和結(jié)構(gòu)、概念間的關(guān) 系，概念

2、的定義的理解，對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)、數(shù)學(xué)命題的教學(xué)、數(shù)學(xué)中的證明的教學(xué)的具體操作。 難點(diǎn)：對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)、數(shù)學(xué)命題的教學(xué)、數(shù)學(xué)中的證明的教學(xué)的具體操作。 關(guān)鍵：要求學(xué)生有較扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。三、教學(xué)方法： 講授、閱讀講義、分類查閱相關(guān)文獻(xiàn)，選擇典型課見習(xí)、通過優(yōu)質(zhì)課錄象的觀看進(jìn)行學(xué)習(xí)交流。 四、教材分析： 數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)是指在學(xué)生有了扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上來對(duì)數(shù)學(xué)概念的意義和結(jié)構(gòu)、概念間的關(guān)系、概念的定義的進(jìn)一步分析理解，在此基礎(chǔ)上對(duì)在課堂上怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)、數(shù)學(xué)命題的教學(xué)、證明的教學(xué)進(jìn)行學(xué)習(xí)，具有可操作性，它是理論與實(shí)踐相結(jié)合的產(chǎn)物。我們結(jié)合了大量的實(shí)例對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)行講解，同時(shí)對(duì)學(xué)生

3、進(jìn)行試講、微格教學(xué)，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的直觀教學(xué)。 這章內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生以后的教學(xué)實(shí)習(xí)有極大的影響，教師在這部分的教學(xué)要采用多種方法進(jìn)行教學(xué)，特別是多進(jìn)行案例分析。 五、教學(xué)程序6.1 數(shù)學(xué)概念及其教學(xué)一、數(shù)學(xué)概念的意義和結(jié)構(gòu)1、數(shù)學(xué)概念的意義 概念是反映事物本質(zhì)屬性和特征的思維形式。 人們?cè)趯?shí)踐活動(dòng)中，首先通過感知接受客觀事物的各種信息，形成感性認(rèn)識(shí)，然后進(jìn)行比較、分析、綜合、概括等思維活動(dòng)，抽出一類事物的本質(zhì)屬性，形成關(guān)于這類事物的概念。 數(shù)學(xué)概念 數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維形式。 數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展有各種不同的途徑。 有的數(shù)學(xué)概念是直接從它的現(xiàn)實(shí)模型中抽象概括得來的

4、，例如幾何中的點(diǎn)、線、面、體等概念； 有的是在已有數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，經(jīng)過進(jìn)一步多層次的抽象概括而形成的，如近代數(shù)學(xué)中的群、環(huán)、域等概念； 有的概念是人們將客觀事物的屬性理想化、純粹化而得到的，如利用“直”可以“無限延伸”等特征來描述直線這個(gè)概念； 還有的概念是在一定的數(shù)學(xué)對(duì)象結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的，如“三線八角”等數(shù)學(xué)概念，有的概念則是根據(jù)數(shù)學(xué)本身的發(fā)展需要而產(chǎn)生的，如負(fù)數(shù)、虛數(shù)、維空間等。 數(shù)學(xué)概念是用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)的，其主要形式是語詞和符號(hào)。例如，角、三角形、平行、等于、階乘！等。概念是人類思維的基本結(jié)構(gòu)單位。概念又是命題、推理和論證的基礎(chǔ)，可以說每一門科學(xué)，都是一個(gè)概念的系統(tǒng)。2、概念的內(nèi)涵和外延

5、 凡是一個(gè)概念都必須要有確定的涵義，并能反映確定的對(duì)象范圍，這就是概念的內(nèi)涵和外延。任何一個(gè)科學(xué)概念，都應(yīng)該有這兩個(gè)邏輯特征的結(jié)構(gòu)。 概念的內(nèi)涵也稱內(nèi)包，是指概念所反映的這類事物的共同本質(zhì)，是對(duì)概念的質(zhì)的規(guī)定； 概念的外延也稱外包，是指概念所反映的這類事物的全體，是對(duì)概念的量的描述。 例如，在自然數(shù)系中，偶數(shù)這個(gè)概念的內(nèi)涵是“能被整除”這個(gè)性質(zhì)，它的外延是集合。又如，平行四邊形這一概念的內(nèi)涵是其本質(zhì)屬性：對(duì)邊平行、對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分等。它的外延是全體平行四邊形的概念。概念的內(nèi)涵和外延之間還表現(xiàn)為發(fā)展中的反變關(guān)系：當(dāng)增加一個(gè)概念的內(nèi)涵時(shí)，就會(huì)得到使概念的外延縮小的一個(gè)新概念，即概

6、念的限定：當(dāng)減少一個(gè)概念的內(nèi)涵時(shí)，就會(huì)得到使這一概念外延擴(kuò)大的新概念，即概念的還概括。例如，矩形增加了“有一組鄰邊相等”這個(gè)性質(zhì)后，就成為外延縮小的正方形的概念；在矩形內(nèi)涵中減少“有一個(gè)角是直角”的屬性，就又得到外延擴(kuò)大的平行四邊形的概念。二、概念間的關(guān)系 概念間的關(guān)系是指可比較概念外延間的關(guān)系。 根據(jù)概念的外延集有無重合之外，概念間的關(guān)系可分為相容關(guān)系和不相容關(guān)系。 設(shè)、為概念甲、乙、丙的外延集合。1.相容關(guān)系若，則稱概念甲與概念乙之間有相容關(guān)系。進(jìn)而又可分為同一關(guān)系，屬種關(guān)系和交叉關(guān)系（1）同一關(guān)系：A=B,概念甲與概念乙的外延集完全相同，就稱為兩概念為同一關(guān)系（或全同關(guān)系），如圖1。 （

7、2）屬種關(guān)系：概念乙的外延集是概念甲的外延集的真子集，就稱兩個(gè)概念為屬種關(guān)系，如圖2（3）交叉關(guān)系：即兩個(gè)概念的外延集相交但不重不含，則稱這兩概念為交叉關(guān)系，如圖3。 例如：長方形和矩形、多項(xiàng)式和有理整式、大于和不小于等，都是具有同一關(guān)系的兩個(gè)概念。數(shù)學(xué)中的恒等變形就是利用概念間的同一關(guān)系進(jìn)行的。又如：實(shí)數(shù)和有理數(shù)、根式和無根式、四變形和平行四邊形、三角形和等腰三角形等，都是具有屬種關(guān)系的概念。再如，矩形和菱形、非負(fù)有理數(shù)和非正有理數(shù)等，就是具有交叉關(guān)系的概念. 2.不相容關(guān)系若，且則將同一屬概念下的兩個(gè)種概念甲和乙間的關(guān)系，稱為不相容關(guān)系，也稱全異關(guān)系。進(jìn)而還可具體分為矛盾關(guān)系和反對(duì)關(guān)系。（

8、1）矛盾關(guān)系：（2）反對(duì)關(guān)系：相對(duì)于屬概念實(shí)數(shù)而言，有理數(shù)和無理數(shù)就是具有矛盾關(guān)系的兩個(gè)概念，而相對(duì)于屬概念三角形而言，銳角三角形和鈍角三角形又是具有反對(duì)關(guān)系的兩個(gè)概念。將數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，列表如下：三、概念的定義 概念的定義就是準(zhǔn)確揭示一個(gè)概念的內(nèi)涵或外延的邏輯方法。 1.定義的結(jié)構(gòu) 2.中學(xué)常見的幾種定義方式 3.定義的規(guī)則 4.原始概念四、概念的劃分（分類） 劃分（分類）是揭示概念外延的邏輯方法。它是將一個(gè)概念按照某一屬性分成若干個(gè)不相容關(guān)系的種概念，借以達(dá)到明確概念之目的。 1.劃分的三要素 2.劃分的規(guī)則 3.劃分的種類五、數(shù)學(xué)概念的教學(xué) 概念是最基本的思維形式。數(shù)學(xué)是由概念 、命

9、題組成的邏輯體系。加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，是提高教學(xué)質(zhì)量的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)注意以下幾個(gè)方面： 1.重視教學(xué)概念教學(xué)的引入現(xiàn)實(shí)性原則.注意數(shù)學(xué)概念的理解科學(xué)性原則.加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的運(yùn)算應(yīng)用性原則6.2 數(shù)學(xué)命題及教學(xué)一、判斷與命題概述判斷的意義及結(jié)構(gòu) 在邏輯學(xué)中，判斷是對(duì)思維對(duì)象有所判定的一種思維形式。即是說，判斷是對(duì)思維對(duì)象的某種屬性進(jìn)行肯定或否定的一種思維形式。 例如，“是無理數(shù)”、“是等邊三角形”、“不是質(zhì)數(shù)”、“是自然數(shù)”等都是表示判斷的語句 任何判斷都應(yīng)具有兩個(gè)基本的特征：一定“要有所判定”，否則不稱其為判斷。例如，“不是自然數(shù)嗎？”，“a比大嗎？”等都不是判斷； 判斷有

10、真假之分。如果一個(gè)判斷符合客觀實(shí)際，那么它是真實(shí)的，否則，就是虛假的。 例如，“是質(zhì)數(shù)”就是一個(gè)假判斷。 數(shù)學(xué)判斷的真與假，既要由實(shí)踐檢驗(yàn)，又要從理論上予以證明。即數(shù)學(xué)判斷的形式取邏輯真假，內(nèi)容也符合實(shí)際，才是真實(shí)的數(shù)學(xué)判斷。判斷可按不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。 例如，按判斷的組成形式，判斷可以分為簡單判斷和復(fù)合判斷； 對(duì)于簡單判斷，又可按其判斷內(nèi)容分為性質(zhì)判斷和關(guān)系判斷； 按判斷的性質(zhì)來分，判斷可以分為肯定判斷和否定判斷；按判斷的量來分，則又有全稱判斷和特稱判斷之分。在數(shù)學(xué)中，常用的判斷形式主要有四種：（）全稱肯定判斷（），其邏輯形式是：“所有的都是”，簡記為SAP；（）全稱否定判斷（），其邏輯形式

11、是：“所有的都不是”，簡記為SEP；（）特稱肯定判斷（I），其邏輯形式是：“有些是”，簡記為SIP；（4） 特稱肯定判斷（O），其邏輯形式是：“有些不是”，簡記為SOP。從以上四種命題判斷的邏輯形式，可知每種性質(zhì)判斷的結(jié)構(gòu)都由四部分組成；量項(xiàng)（所有、有些）、主項(xiàng)（S）、聯(lián)項(xiàng)（是、不是）和胃項(xiàng)（P），簡記為（判斷）=（量項(xiàng)）+（主項(xiàng)）+（聯(lián)項(xiàng)）+（胃項(xiàng)）2、命題及其基本運(yùn)算任何一個(gè)判斷，都是用語句表述的，表述判斷的語句稱為命題。數(shù)學(xué)判斷是關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象及其屬性的判斷，每一數(shù)學(xué)判斷的陳述語句則稱為數(shù)學(xué)命題。由于判斷有真假之分，所以命題應(yīng)具有可判性。 如“ ”和“ ”，由于含有變量，故無法判斷其真假，

12、這樣的語句稱為開句，不是命題，但若當(dāng)賦值后，則它們都成為數(shù)學(xué)命題了。命題運(yùn)算，就是將命題符號(hào)化、形式化，將若干簡單命題用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)起來構(gòu)建新的命題，由于關(guān)鍵是邏輯聯(lián)結(jié)詞的應(yīng)用，因此，命題運(yùn)算實(shí)際上是命題的邏輯聯(lián)結(jié)。命題的基本運(yùn)算有：否定、合取、析取、蘊(yùn)涵、等價(jià)。（1）否定（非“ ”）：給定一個(gè)命題，它與聯(lián)結(jié)詞“ ”構(gòu)成復(fù)合命題“ ”，稱為命題的否定，也稱為負(fù)命題。（2）合?。ㄅc“ ”）：給定兩個(gè)命題p、q，用聯(lián)結(jié)詞“ ”聯(lián)結(jié)起來，構(gòu)成復(fù)合命題“ ”，稱為命題，p和q的合取式，也稱為聯(lián)言命題。（3）析?。ɑ颉?”）：給定兩個(gè)命題p，q用聯(lián)結(jié)詞“ ”聯(lián)結(jié)起來，構(gòu)成復(fù)合命題“ ”，稱為命題p、q

13、的析取式，也稱為選言命題。（4）蘊(yùn)涵（若則“ ”）：給定兩個(gè)命題p、q，用聯(lián)結(jié)詞“ ”聯(lián)結(jié)起來，構(gòu)成復(fù)合命題“ ”，稱為命題p、q的蘊(yùn)涵式，也稱為假言命題。其中叫做前件（或條件），叫做后件（或結(jié)論）。（5）等價(jià)（當(dāng)且僅當(dāng)“ ”）：給定兩個(gè)命題p、q，用聯(lián)結(jié)詞“ ”聯(lián)結(jié)起來，構(gòu)成復(fù)合命題“ ”，稱為命題p、q的等值式，也稱充要條件假言命題。否定式、合取式、析取式、蘊(yùn)涵式和等價(jià)式，是復(fù)合命題中最簡單、最基本的形式。這些基本形式經(jīng)過各種組合，可得到更為復(fù)雜的復(fù)合命題。命題的四種形式及關(guān)系數(shù)學(xué)中的命題，一般都可以寫成的形式，就形式而言，這種形式的命題屬于邏輯命題中的蘊(yùn)涵式：的形式并稱其為原命題，則通過

14、將的“換質(zhì)”、“換位”，就可以構(gòu)造出另外三種不同形式的命題并稱為：逆命題：否命題：逆否命題：（）命題的制作逆命題的制作。 逆命題是相對(duì)于原命題而言的一種命題形式，它的制作按邏輯學(xué)是的規(guī)定，只要將原命題的結(jié)論與條件換位即可。 無論是簡單命題還是復(fù)合命題，它們的條件和結(jié)論都應(yīng)作為一個(gè)整體交換位置，從而得出唯一的逆命題，這樣的逆命題才具有“四種命題形式”中的等價(jià)關(guān)系。逆否命題制作。對(duì)于簡單命題，在制作逆否命題時(shí)，只需將條件、結(jié)論分別否定，再交換位置即可。 二、數(shù)學(xué)命題的教學(xué) 數(shù)學(xué)中的命題與概念、推理、證明有著密切的聯(lián)系：命題由概念組成，概念由命題揭示；命題是推理的要素，推理可獲得命題；命題是證明的依

15、據(jù)，而命題的真實(shí)性一般又要需經(jīng)證明而確認(rèn)，因此，數(shù)學(xué)命題的教學(xué)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要組成部分。數(shù)學(xué)命題教學(xué)的基本要求是：使學(xué)生認(rèn)識(shí)命題的條件和結(jié)論，掌握命題推理證明的方法，運(yùn)用所學(xué)命題進(jìn)行推理論證并解答實(shí)際問題，進(jìn)而弄清數(shù)學(xué)命題間的關(guān)系，將學(xué)過的命題系統(tǒng)化，形成結(jié)構(gòu)緊密的知識(shí)體系，從而發(fā)展和提高學(xué)生的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)能力。1.教學(xué)命題引入的教學(xué)（）發(fā)現(xiàn)式引入。即通過實(shí)踐去發(fā)現(xiàn)。 例如，可從日常生活中所熟知的實(shí)際實(shí)例或從給學(xué)生提供的實(shí)驗(yàn)資料等直觀因素中，歸納地引進(jìn)公理，說明建立這條公理的合理性；對(duì)于數(shù)學(xué)公式、定理的引入，也可選用實(shí)驗(yàn)、演算、作圖、設(shè)問等不同做法，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦，獨(dú)立思考，通過分

16、析、歸納，猜想出命題內(nèi)容，然后再設(shè)法證明，獲得定理。（）過渡性引入。新公式可以通過舊公式過渡遷移而引入。如勾股定理表達(dá)了直角三角形三邊的關(guān)系，由此聯(lián)想到任意三角形三邊之間的關(guān)系能否用公式表示，從而引出余弦定理的課題；又如從指數(shù)公式的反問題入手，自然地進(jìn)入對(duì)數(shù)公式的研究。這種引入使學(xué)生感到心公式是原有舊知識(shí)的延拓和發(fā)展，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生按知識(shí)系統(tǒng)合結(jié)構(gòu)去探索新知識(shí)的能力。2.數(shù)學(xué)命題證明與推導(dǎo)的教學(xué) 公式、定理的教學(xué)重點(diǎn)在于讓學(xué)生掌握證題的思路和方法，對(duì)于有典型意義的思想、方法要及時(shí)加以總結(jié)，以提高學(xué)生的解題能力。 教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)重點(diǎn)講解證明題的思路和方法。 例如，在分析“相交弦定理”的證明思路時(shí)

17、，首先利用轉(zhuǎn)化的思想，將等積式轉(zhuǎn)化為比例式，然后想到比例式可由相似三角形來得到，于是想到需要引輔助線構(gòu)造相似三角形。證明的思路清晰了，方法明確了，證明的過程就可以放手交給學(xué)生去獨(dú)立完成。又如，分析了數(shù)學(xué)運(yùn)算公式的證明思路和方法，應(yīng)著重強(qiáng)調(diào)解決對(duì)數(shù)的有關(guān)問題，一般要通過指數(shù)法“架橋”，即把對(duì)數(shù)計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為指數(shù)計(jì)算問題來解決。有了這樣的思路，對(duì)設(shè)中間變量就不再感到困惑了。3.數(shù)學(xué)命題應(yīng)用的教學(xué)數(shù)學(xué)命題是解決數(shù)學(xué)問題的工具，學(xué)習(xí)公式、定理的目的就在于應(yīng)用，它是理論聯(lián)系實(shí)際的重要環(huán)節(jié)。在公式、定理教學(xué)之后，可通過例題、練習(xí)題、習(xí)題的教學(xué)，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)所學(xué)定理、公式的應(yīng)用；然后注意培養(yǎng)學(xué)生活用、逆用

18、及變形使用公式定理；進(jìn)而注意引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)公式、定理的運(yùn)用范圍、注意事項(xiàng)，總結(jié)公式、定理所能解決問題的類型，發(fā)揮思維定勢的積極作用；最后，還應(yīng)讓學(xué)生探索所學(xué)公式、定理在生活、生產(chǎn)實(shí)際中的廣泛作用。例如，學(xué)習(xí)勾股定理之后，不僅要使學(xué)生認(rèn)識(shí)定理在解直角三角形中的應(yīng)用，還應(yīng)逐步掌握定理在三角函數(shù)求值、解析幾何中求兩點(diǎn)距離公式、在測量中作直角三角形以及有關(guān)計(jì)算等方面的具體應(yīng)用。4.建立數(shù)學(xué)命題系統(tǒng)知識(shí)的教學(xué)數(shù)學(xué)必須由概念、命題構(gòu)成的邏輯體系，要對(duì)公式、定理有較深刻的認(rèn)識(shí)，就必須了解公式、定理在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的地位、作用及相互間的邏輯聯(lián)系。例如，學(xué)習(xí)了幾何中的相交弦定理、切割線定理和切線長定理之后，可以通過運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，生動(dòng)巧妙地闡明它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并給予量化，最后統(tǒng)一成一個(gè)圓冪定理。6.3 數(shù)學(xué)中的推理和證明一、數(shù)學(xué)中的推理1.推理的意義和結(jié)構(gòu)推理是從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷作出一個(gè)新的判斷的思維形式。在推理的表述中，常用到的邏輯關(guān)聯(lián)詞有：“因?yàn)?，所以”，“由于，因此”等。一個(gè)正確的推理，必須是推理的前提真實(shí)，推理的形式有效。前一個(gè)推理由于推理的前提不真實(shí)，后一個(gè)推理因?yàn)橥评淼男问藉e(cuò)誤。所以，它們都不是正確的推理。2.推理的規(guī)則3.推理的種類（1）