2021-2022學年江蘇省蘇州市常熟市高一下學期期中數(shù)學試題【含答案】

1、2021-2022學年江蘇省蘇州市常熟市高一下學期期中數(shù)學試題一、單選題1，是兩個單位向量，則下列四個結(jié)論中正確的是（）ABCDDA分析方向；B分析夾角；C根據(jù)數(shù)量積計算結(jié)果進行判斷；D根據(jù)模長運算進行判斷.【詳解】A可能方向不同，故錯誤；B，兩向量夾角未知，故錯誤；C，所以，故錯誤；D由C知，故正確，故選：D.本題考查向量的模長和數(shù)量積運算以及向量相等的概念，主要考查學生對向量的綜合理解，難度較易.2若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限B【分析】化簡復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，可得，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)

2、對應(yīng)的點為位于第二象限.故選：B.3已知平面向量，滿足，則向量與的夾角為（）ABCDC【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律求出，再根據(jù)夾角公式計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以，設(shè)向量與的夾角為，則，因為，所以；故選：C4如圖所示的ABC中，點D是線段AB上靠近A的三等分點，點E是線段BC的中點，則（）ABCDB【分析】依題意可得，根據(jù)平面向量的加減運算可得.【詳解】由已知可得，所以故選：B5一正四棱柱的底面邊長為2，高為4，則該正四棱柱的外接球的表面積為（）A6B12CD24D【分析】由于正四棱柱的體對角線就是其外接球的直徑，所以先求出體對角線，從而可求得球的半徑，進而可求出外接球的表面積【詳解】

3、設(shè)正四棱柱的外接球半徑為因為正四棱柱的底面邊長為2，高為4，所以，得，所以該正四棱柱的外接球的表面積為，故選：D6已知，且，則（）ABCDC【分析】根據(jù)同角平方和關(guān)系可求，然后根據(jù)正弦的和角公式即可求解.【詳解】由，可得：，所以，故選：C7某教師組織本班學生開展課外實地測量活動，如圖是要測山高MN，現(xiàn)選擇點A和另一座山的山頂（點）C作為測量觀測點，從A測得點M的仰角MAN=45，點C的仰角CAB=30，測得MAC=75，MCA=60，已知另一座山高米，則山高MN等于（）ABC200DA【分析】在ABC中，利用正弦定理求得，然后在MAC中，利用正弦定理求得，然后在在RtAMN中求出山高【詳解】解

4、：在ABC中，BCAB，CAB30，BC100，所以可得AC200，在MAC中，MAC75，MCA60，所以AMC180756045，由正弦定理可得：，即，所以可得AM100，在RtAMN中，MAN45，所以MNAMsinMAN100100；故選：A8在邊長為2的等邊ABC中，D為AC的中點，M為AB邊上一動點，則的最小值為（）ABC2DD【分析】以為基底向量，利用向量的線性運算可得，再根據(jù)數(shù)量積可得，結(jié)合二次函數(shù)求最小值【詳解】如圖：以為基底向量，設(shè)當時，取到最小值故選：D二、多選題9圓柱的側(cè)面展開圖是長6cm，寬4cm的矩形，則這個圓柱的體積可能是（）ABCDAC【分析】由已知可求出圓柱的

5、高和底面半徑，從而可求出圓柱的體積【詳解】因為圓柱的側(cè)面展開圖是長6cm，寬4cm的矩形，所以當圓柱的高為4cm，則底面周長為6cm，設(shè)底面半徑為，則，得，所以此時圓柱的體積為，當圓柱的高為6cm，則底面周長為4cm，設(shè)底面半徑為，則，得，所以此時圓柱的體積為，綜上，圓柱的體積可能為或，故選：AC10已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）A若，則B若，則，且C若是實數(shù)，則D若，則BD【分析】對于A，舉例判斷，對于B，由復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷，對于C，舉例判斷，對于D，利用復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)和模的運算進行判斷【詳解】對于A，若，則，而此時，所以A錯誤，對于B，因為，所以，所以，且，所以B正確，

6、對于C，若，則，而此時，所以C錯誤，對于D，設(shè)，則，所以，因為，所以，所以D正確，故選：BD11下列計算正確的是（）ABCDACD【分析】根據(jù)互余關(guān)系以及兩角差的正弦可化簡A,根據(jù)正切的二倍角公式可求解B，根據(jù)余弦的二倍角公式可化簡C，根據(jù)同角平方關(guān)系以及正弦的二倍角公式即可化簡D.【詳解】,故A對，故B錯，故C對，故D對，故選：ACD12如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成60角的兩條數(shù)軸，分別是與x軸y軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標系xOy中的坐標.若在坐標系xOy中，則下列結(jié)論正確的是（）ABCD與的夾角為BCD【分析】根據(jù)對應(yīng)的坐標是的坐標，進而可得，進而根據(jù)數(shù)

7、量積的公式即可求解A,C,根據(jù)模長公式可求B,根據(jù)夾角公式可求D.【詳解】,故A錯，C對，故B對，由于，故，故D對.故選：BCD三、填空題13已知向量，若，則實數(shù)_.【分析】先求出的坐標，再由，得可求出的值【詳解】因為，所以，因為，所以，解得，故14已知ABC的面積為，則邊BC長是_.【分析】根據(jù)三角形面積公式及余弦定理，即得.【詳解】因為ABC的面積為，由三角形面積公式，又，即.故答案為.15學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，打印所用原料密度為.在不考慮打印損耗的情況

8、下，制作該模型所需原料的質(zhì)量是_g.209【分析】根據(jù)題意可知模型的體積為長方體體積與四棱錐體積之差進而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量.【詳解】由題意得， ，四棱錐OEFG的高4cm， 又長方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為故209四、雙空題16在代數(shù)發(fā)展史上，解一元多項式方程一直是人們研究的一個中心問題.數(shù)學有如下代數(shù)基本定理：任何一元次復(fù)系數(shù)方程至少有一個復(fù)數(shù)根.進而可得到：一元n項式方程有n個復(fù)數(shù)根（重根按重數(shù)計）.早在古巴比倫時期，人們就會解一元二次方程.16世紀上半葉，數(shù)學家得到了一元三次方程一元四次方程的解法，實系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根，滿足，實系數(shù)一元三次方程在復(fù)

9、數(shù)集C內(nèi)的根滿足，則方程的實數(shù)根為_，虛數(shù)根_. -2 【分析】因式分解求解實數(shù)根和虛數(shù)根即可【詳解】即，解得實數(shù)根，又有，故，解得故；五、解答題17已知復(fù)數(shù)z滿足，為虛數(shù)單位.(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若復(fù)數(shù)z，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為A，B，O為坐標原點，求OAB的面積.(1)(2)【分析】（1）設(shè)復(fù)數(shù),代入條件，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得出關(guān)于方程，從而得出答案.（2）根據(jù)條件得出點的坐標，從而得出的坐標，得出的值，從而可求出三角形的面積.【詳解】(1)設(shè)復(fù)數(shù)，由題意，得 ，解得，所以.(2)由（1）可得，所點，.因為，所以，所以18已知，是同一平面內(nèi)的三個不同向量，其中.(1)若，且，求；(2)若，且，求

10、的最小值，并求出此時與夾角的余弦值.(1)或(2)，此時【分析】（1）先設(shè),根據(jù)坐標求模公式，即可求解.(2) 根據(jù)題意，條件可化簡為，再根據(jù)基本不等式，即可求解.【詳解】(1)因為，且，所以設(shè)，所以，解得，所以或.(2)由，得，所以，因為，可得，因為，所以，當且僅當，時取等號.所以.設(shè)與夾角為，則此時.19某港口海水的深度是時間t（時）（）的函數(shù)，記為.已知某日海水深度的數(shù)據(jù)如下：t（時）0246810121416182022249.512.51412.59.58.09.512.514.012.59.58.09.5經(jīng)長期觀察，的曲線可近似地看成函數(shù)的圖象.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)的表達式

11、；(2)一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5或5以上時認為是安全的（船舶?？繒r，船底只需不碰海底即可）.某船吃水深度（船底離水面的距離）為7.5，如果該船希望在同一天內(nèi)安全進出港，請問：它至多能在港內(nèi)停留多長時間（忽略進出港所需時間）？(1)(2)16小時【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可判斷出周期以及最值，即可代入求解；（2）假設(shè)能滯留的的情形，進而根據(jù)正弦型不等式求解范圍，即可求解.【詳解】(1)由題設(shè)的數(shù)據(jù)可得，故，周期，故，故，因為時，所以，因為，所以，.(2)令，則，得.所以，即，因為，所以故或，故船舶至多能在港內(nèi)停留16小時.20在，這三個條件中，有且只有一個符合題意，請選擇符合

12、題意的條件，補充在下面的問題中，并求解.在銳角ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，_.(1)求角C；(2)若M是AB邊上的一點，且，求CM的長.(1)選，(2)【分析】（1）根據(jù)正余弦定理邊角互化，即可從三個條件中選擇符合的，（2）根據(jù)向量的線性表示進而求模長【詳解】(1)若選，由正弦定理，可得，因為，所以，可得.因為ABC為銳角三角形，所以C無解，不符合題意.若選，由正弦定理，可得.因為，所以.所以，因為ABC為銳角三角形，所以C無解，不符合題意.若選，由正弦定理，可得，又，可得因為，所以，可得，因為，所以.(2)（法一）因為，所以.所以.所以.（法二）在ABC中，所以.所以,在

13、中，所以，所以.21如圖，某圓形小區(qū)有兩塊空余綠化扇形草地（圓心角為）和（圓心角為），為圓的直徑.現(xiàn)分別要設(shè)計出兩塊社區(qū)活動區(qū)域，其中一塊為矩形區(qū)域，一塊為平行四邊形區(qū)域，已知圓的直徑百米，且點在劣弧上（不含端點），點在上點在上點和在上點在上，記.(1)經(jīng)設(shè)計，當達到最大值時，取得最佳觀賞效果，求取何值時，最大，最大值是多少？(2)設(shè)矩形和平行四邊形面積和為，求的最大值及此時的值.(1)時，最大值為百米(2)百米，【分析】對于小問1，分別用變量來表達，代入，得關(guān)于的函數(shù)，進行三角恒等變換整理成型函數(shù)求最大值；對于小問2，分別用變量來表達矩形和平行四邊形面積相加，得關(guān)于的函數(shù)，進行三角恒等變換整理成型函數(shù)求最大值.【詳解】(1)在矩形OEFG中，所以.因為MNPQ，所以，在OQP中，由正弦定理可知：，即，得.所以因為，所以，當，時，最大值為百米.(2)設(shè)平行四邊形MNPQ邊MN上的高為h，所以有，所以平行四邊形MNPQ的面積為，在矩形OEFG中，所以矩形OEFG的面積