信號(hào)與系統(tǒng)：第二章-連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)卷積積分卷積積分的性質(zhì)2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一、微分方程的經(jīng)典解 微分方程的經(jīng)典解：y(t)(完全解) = yh(t)(齊次解) + yp(t)(特解）齊次解是齊次微分方程yh(t)的函數(shù)形式由上述微分方程的特征根確定。特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。 1. 齊次解齊次方程：特征方程：特征根：后由初始條件定特征根n個(gè)單實(shí)特征根齊次解 r重實(shí)根1對(duì)共軛復(fù)根r重共軛復(fù)根齊次解的形式由特征根決定: 待定系數(shù)Ci在求得全解2. 特解特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)形式有關(guān)如下表，將特解函數(shù)式代入原方程，比較定出待定系數(shù)。激勵(lì)f(t)響應(yīng)

2、y(t)的特解yp(t)常數(shù)常數(shù)特征根均不為0特征根=特征根=r重特征根特征根j有r重特征根為03. 全解全響應(yīng)齊次解(自由響應(yīng))特解(強(qiáng)迫響應(yīng))注意： 齊次解的函數(shù)形式：特解中待定系數(shù)：特解代入非齊次方程，對(duì)比求；齊次解中待定系數(shù)：在全解求得后由初始條件定。與激勵(lì)f(t)的函數(shù)形式無(wú)關(guān)又叫固有響應(yīng)或自由響應(yīng)特解的函數(shù)形式：又叫強(qiáng)迫響應(yīng)由激勵(lì)確定僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)例2.1.1描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)，求（1）當(dāng)f(t) = 2 ，t0；y(0)=2，y(0)= -1時(shí)的全解；（2）當(dāng)f(t) = ，t0；y(0)= 1，y(0)=0時(shí)的

3、全解。 解: (1) 特征方程為 + 5+ 6 = 0 其特征根1= 2，2= 3。齊次解為由表2-2可知，當(dāng)f(t) = 2 時(shí)，其特解可設(shè)為將其代入微分方程得解得 P=1于是特解為全解為： 其中待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y(0) = 2C1 3C2 1= 1解得 C1 = 3 ，C2 = 2最后得全解（2）齊次解同上。 當(dāng)激勵(lì)f(t)= 時(shí)，其指數(shù)與特征根之一相重。 由表知：其特解為 yp(t) = (P1t + P0) 代入微分方程可得 P1 =所以 P1= 1 但P0不能求得。全解為將初始條件代入，得： y(0) = (C1+P0)

4、+ C2=1 ， y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得 C1 + P0 = 2 C2= 1 最后得微分方程的全解為 上式第一項(xiàng)的系數(shù)C1+P0= 2，不能區(qū)分C1和P0，因而也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。二、關(guān)于 0- 和 0+ 初始值 1、0 狀態(tài)和 0 狀態(tài)0 狀態(tài)稱為零輸入時(shí)的初始狀態(tài)。即初始值是由系統(tǒng)的儲(chǔ)能產(chǎn)生的；0 狀態(tài)稱為加入輸入后的初始狀態(tài)。即初始值不僅有系統(tǒng)的儲(chǔ)能，還受激勵(lì)的影響。 從 0 狀態(tài)到 0 狀態(tài)的躍變系統(tǒng)的初始值從0 狀態(tài)到 0 狀態(tài)有沒(méi)有跳變決定于激勵(lì)信號(hào)及其導(dǎo)數(shù)是否包含(t)及其各階導(dǎo)數(shù)。如果包含有(t)及其各階導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明相應(yīng)的0狀態(tài)到0狀態(tài)發(fā)生了跳

5、變。0 狀態(tài)的確定已知 0 狀態(tài)求 0 狀態(tài)的值，可用沖激函數(shù)匹配法。求 0 狀態(tài)的值還可以用拉普拉斯變換中的初值定理求出。 各種響應(yīng)用初始值確定積分常數(shù)在經(jīng)典法求全響應(yīng)的積分常數(shù)時(shí)，用的是 0 狀態(tài)初始值。在求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)時(shí)，用的是 0 狀態(tài)初始值。在求系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，用的是 0 狀態(tài)初始值，這時(shí)的零狀態(tài)是指 0 狀態(tài)為零。2、沖激函數(shù)匹配法 目的： 用來(lái)求解初始值，求（0）和（0）時(shí)刻值 的關(guān)系。 應(yīng)用條件：如果微分方程右邊包含（t）及其各階導(dǎo) 數(shù)，那么（0）時(shí)刻的值不一定等于（0） 時(shí)刻的值。 原理： 利用t0時(shí)刻方程兩邊的（t）及各階導(dǎo)數(shù) 應(yīng)該平衡的原理來(lái)求解（0）狀態(tài)值mn，則設(shè)

6、mn，則設(shè)將y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)帶入原方程，求出C0.Cm ;對(duì)y(t)及各階導(dǎo)數(shù)求（0，0）的積分. 例2.1.2：描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)，已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。解： 將輸入f(t)=(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) 列式得： 代入原方程得 a=2，b=0 r0,r1,r2為與沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)無(wú)關(guān)的項(xiàng) 由上可見(jiàn)，當(dāng)微分方程等號(hào)右端含有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時(shí)，響應(yīng)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些

7、在t=0處將發(fā)生躍變。但如果右端不含時(shí)，則不會(huì)躍變。 從0-到0+積分，得： 三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)1、定義：（1）零輸入響應(yīng)：沒(méi)有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只有起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng)。（2）零狀態(tài)響應(yīng)：不考慮起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用，由系統(tǒng)外加激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)。 LTI的全響應(yīng)：y(t) = yzi(t) + yzs(t)2、零輸入響應(yīng)（1）即求解對(duì)應(yīng)齊次微分方程的解 特征方程的根為n個(gè)單根 當(dāng)特征方程的根(特征根)為n個(gè)單根(不論實(shí)根、虛根、復(fù)數(shù)根)1，2， ，n時(shí)，則yzi(t)的通解表達(dá)式為 特征方程的根為n重根 當(dāng)特征方程的根(特征根)為n個(gè)重根(不論實(shí)根、虛根、復(fù)數(shù)根) 1=2=n時(shí)

8、，yzi(t)的通解表達(dá)式為: （2）求yzi(t)的基本步驟 求系統(tǒng)的特征根，寫出yzi(t)的通解表達(dá)式。 將確定出的積分常數(shù)C1，C2， ，Cn代入通解表達(dá)式，即得yzi(t)。 由于激勵(lì)為零，所以零輸入的初始值： 確定積分常數(shù)C1，C2， ，Cn3、零狀態(tài)響應(yīng)（1）即求解對(duì)應(yīng)非齊次微分方程的解（2）求yzs(t)的基本步驟 求系統(tǒng)的特征根，寫出的通解表達(dá)式y(tǒng)zsh(t)。 根據(jù)f(t)的形式確定特解形式，代入方程解得特解yzsp(t) 將確定出的積分常數(shù)C1，C2， ，Cn代入全解表達(dá)式，即得。 求全解，若方程右邊有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時(shí)，根據(jù)沖激函數(shù)匹配法求得 ，確定積分常數(shù)C1

9、，C2， ，Cn 幾種典型自由項(xiàng)函數(shù)相應(yīng)的特解 例2.1.3：描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t),已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求該系統(tǒng)的全響應(yīng)，零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。 解：（1）y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6 (t) 利用系數(shù)匹配法分析列式得： y(t)=a(t）+r0(t)， y(t)=a (t)+r1 (t)， y(t)=r2(t) 代入原方程得a=2，b=0 根據(jù)微分方程經(jīng)典求法：齊次解： 齊次解形式為：特解：根據(jù)特解形式得到： 解得 B3解得全響應(yīng)為：利用初始值解

10、得：全響應(yīng)為： 瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量（2）零輸入響應(yīng)yx(t), 激勵(lì)為0 ， yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=0根據(jù)特征根求得通解為： 解得系數(shù)為 代入得（3）零狀態(tài)響應(yīng)yf(t) 滿足 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) 利用系數(shù)匹配法解得：對(duì)t0時(shí)，有 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 6其齊次解為 其特解為常數(shù) 3 ，于是有根據(jù)初始值求得:自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)(Natural+forced)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)(Zero-input+Zero-state)暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(Tr

11、ansient+Steady-state)四系統(tǒng)響應(yīng)劃分相互關(guān)系 零輸入響應(yīng)是自由響應(yīng)的一部分，零狀態(tài)響應(yīng)有自由響應(yīng)的一部分和強(qiáng)迫響應(yīng)構(gòu)成 。自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)一沖激響應(yīng) 1定義 系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)(t) 作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，一般用h(t)表示。2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 例2.2.1 描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其沖激響應(yīng)h(t)。解：根據(jù)h(t)的定義有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0， 利用沖激函數(shù)匹配法，設(shè)： h”(t) =a(t)+r

12、0(t) h(t) =a(t)+r1(t) h(t) =r2(t) 解得：a=1, b=-5 h(0+)=h(0-)=0 h(0+) =1 + h(0-) = 1 微分方程的特征根為故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為代入初始條件求得C1=1,C2=-1, 所以對(duì)t0時(shí)，h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0，故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為齊次解。例2.2.2 描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)，求其沖激響應(yīng)h(t)。解：根據(jù)h(t)的定義有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1)h(0-) = h

13、(0-) = 0先求h(0+)和h(0-)，根據(jù)沖激函數(shù)匹配法得： h”(t) = a”(t) +b (t) +c(t)+ r0(t) h(t) = a(t) +b(t) + c(t)+r1(t) h(t) = a(t) + b(t)+r2(t)帶入方程求得： a =1 ，b = - 3，c = 12，d=-42故 h(0+) = 3， h(0+) =12對(duì)t0時(shí)，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0微分方程的特征根為故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為代入初始條件h(0+) = 3， h(0+) =12求得C1=3，C2= 6, 所以 系統(tǒng)的輸入 u(t)=(t) ，其響應(yīng)為 y(t)=g(

14、t) 。系統(tǒng)方程的右端將包含階躍函數(shù)(t) ，所以除了齊次解外，還有特解項(xiàng)。 我們也可以根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)特性，利用沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)關(guān)系求階躍響應(yīng)。 二階躍響應(yīng)1定義 系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)，一般用g(t)表示。2階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系線性時(shí)不變系統(tǒng)滿足微、積分特性解：s由1轉(zhuǎn)向2后，列寫回路方程：R1 i(t)+vc(t)=e(t) vc(t)=L iL(t)+iL(t)R2列寫結(jié)點(diǎn)方程： i(t)=Cvc(t)+iL(t)例2.2.4電路如圖所示，求電流i(t)對(duì)激勵(lì)e(t)=(t)的階躍響應(yīng)，t0時(shí)，s由1轉(zhuǎn)向2。整理得到：i(t)+7i

15、(t)+10i(t)=e(t)+6e(t)+e(t)階躍響應(yīng)滿足： 時(shí)，有其特解為：特解B代入得： 10B4，B2/5利用沖激函數(shù)匹配法求解初始值，所以： a=1,b=-1,c=1 得： g(0+)=g(0-)+1=1 g(0+)=g(0-)-1=-1得到：A1+A2+2/5=1 -2A1-5A2=-1 解得： A1=2/3, A2=-1/15得： 2.3 卷積積分一、信號(hào)的時(shí)域分解1、任意信號(hào)的分解 根據(jù) 的定義：由時(shí)不變性：由齊次性：由疊加性：2、任意信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)3、卷積的定義（1）定義：已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個(gè)函數(shù)f1(t)和f2(t)，則定義卷積積分記為 ：例2.3.1

16、求卷積：解：（2）卷積積分的求解例2.3.2：解：（b）卷積積分的圖解：卷積過(guò)程可分解為四步：（1）換元： t換為得f1()， f2()（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2()反轉(zhuǎn) f2()右移t f2(t-)（3）乘積： f1() f2(t-)（4）積分： 從到對(duì)乘積項(xiàng)積分。 例2.3.3 f (t) ,h(t) 如圖所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。 解：例2.3.4：f1(t)、f2(t)如圖所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) . 解：（1）換元（2） f1()得f1()（3） f1()右移2得f1(2)（4） f1(2)乘f2()（5）積分，得f(2) =

17、0（面積為0） t0-2-2設(shè)有函數(shù) 如圖，求 的卷積矩形脈沖鋸齒波圖示法示例 （1）將函數(shù) 的自變量t用代換，將函數(shù) 以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)，就得到與 鏡像對(duì)稱的函數(shù) ，如圖所示：（2）將函數(shù) 沿正軸平移時(shí)間t（3）將 與函數(shù) 相乘，得函數(shù) 卷積積分中正確地選取參變量 t 的取值區(qū)間和相應(yīng)的積分上、下限是十分關(guān)鍵的步驟，這可借助于簡(jiǎn)略的圖形協(xié)助確定。例：求如圖所示函數(shù) 的卷積積分2.4 卷積積分的性質(zhì)1、卷積的代數(shù)性質(zhì)交換律：1(t)2(t)=2(t)1(t)分配律：1(t)2(t)+3(t)=1(t)2(t)+1(t)3(t)結(jié)合律：1(t)2(t)3(t)=1(t)2(t)3(t) 卷積交換律

18、證明：卷積分配律證明：卷積結(jié)合律證明：1、卷積的積分和微分若則其導(dǎo)數(shù)其積分 2、卷積的主要性質(zhì)證明卷積微分性質(zhì)：證明卷積積分性質(zhì)：根據(jù)卷積積分特性和微分特性得： 用類似推導(dǎo)還可得：注意：式 成立的條件是由于= 0 LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于激勵(lì)與系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積積分，稱為杜阿密爾積分，它表示LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于激勵(lì)的導(dǎo)數(shù)與系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的卷積積分。f(t)與階躍函數(shù)的卷積：f(t)與沖激函數(shù)的卷積： (t)(t)=f(t) (t)(t-t0)= (t-t0) (t-t1)(t-t2)= (t-t1-t2) (t-t1)(t-t2)= (t-t1-t2)f(t)與沖激偶函數(shù)的卷積： (t)(t)= f(t)(t)= (t) (t)(t)=(t)2、函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積3、時(shí)移性質(zhì)若1(t)2(t)=(t)，則有1(t-t1)2(t-t2)=(t-t1-t2) 利用卷積積分的性質(zhì)來(lái)計(jì)算卷積積分， 可使卷積積分的計(jì)算大大簡(jiǎn)化， 下面舉例說(shuō)明。 例 2.3.6 計(jì)算下列卷積積分： 解 ：(1) 先計(jì)算(t)* (t)。因?yàn)?-)=0，故可應(yīng)用卷積運(yùn)算的微積分性質(zhì)求得 根據(jù)時(shí)移特性得 (2) 利用卷積運(yùn)算的分配律和時(shí)移性質(zhì)， 可將給定的卷積計(jì)算式表示為 例2.3.7： 解：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入定義式得 注意：套用顯然是錯(cuò)誤的。二、相關(guān)函數(shù)