數(shù)學第四章日常生活中的數(shù)學模型

1、第四章 日常生活中的數(shù)學模型 4.2 鉛球投擲的模型鉛球的投擲一. 背景、問題： 投擲園 7呎=2.135m，有效扇形 450， 坻趾板1010cm, 鉛球重16磅=7.264kg。 運動員單手托住鉛球，在投擲園內(nèi)將鉛球擲出并使鉛球落入有效區(qū)內(nèi)。 以鉛球落地點與投擲園間的距離度量鉛球投擲的遠度。 以鉛球投擲的遠度評定運動員的成績。 問題：建模分析如何使鉛球投擲得最遠？二. 模型與分析： 1. 拋射體模型：鉛球出手后的運動過程 假設： 1. 鉛球是個質(zhì)點。 2. 忽略空氣阻力。 3. 出手角度與出手速度無關。 變量、參量： 出手角度 ，出手高度 h，出手速度 v， 出手時間 t，投擲遠度 s。

2、坐標系：（x，y） 鉛球運動的軌跡為 ( x(t), y(t) ). 平衡關系：力與運動的牛頓定律 有解 模型:鉛球投擲的遠度為拋物線與x軸交點的橫坐標檢驗:姓 名 v(m/s) h(m) (0) s(m) 實測李梅素 13.75 1.90 37.60 20.68 20.95李梅素 13.52 2.00 38.96 20.22 20.30 斯盧皮 13.77 2.06 40.00 21.25 21.41 分析: 1. 最佳出手角度: 求函數(shù) s() 的極大值點 滿足方程化簡可得給定出手高度, 最佳出手角度隨出手速度增大而增大。給定出手速度，最佳出手角度隨出手高度增大而減小。 2. 最佳投擲模式

3、 給定出手高度h、出手速度v 從而可以計算最佳出手角度 。這三個量就構成最佳的鉛球投擲模式。hv 10 11 12 13 14 14.5 15 1.9 40.48 41.16 41.71 42.15 42.51 42.76 42.80 11.95 14.11 16.48 19.05 21.81 23.27 24.78 2.0 40.28 40.99 41.55 42.01 42.39 42.55 42.70 12.03 14.20 16.57 19.14 21.90 23.36 24.87 2.1 40.08 40.82 41.40 41.88 42.27 42.44 42.59 12.12

4、14.29 16.65 19.29 22.00 23.46 24.97 3. 主要因素分析模型的參數(shù)靈敏度分析 參數(shù)變化對模型值的影響。 模型對參數(shù)變化率的分析。 模型對參數(shù)的極差分析：比較參數(shù)在可能的變化范圍內(nèi)變化時模型值改變量的極差。 37 38 39 40 41 42 43 10 11.89 11.92 11.94 11.95 11.95 11.94 11.92 0.06 11 14.01 14.05 14.09 14.11 14.12 14.12 14.10 0.1112 16.31 16.38 16.43 16.46 16.48 16.48 16.47 0.1713 18.80 18

5、.89 18.96 19.01 19.04 19.05 19.04 0.2514 21.48 21.59 21.68 21.75 21.79 21.81 21.82 0.3415 24.36 24.49 24.60 24.68 24.74 24.78 24.78 0.42 12.47 12.57 12.66 12.73 12.79 12.84 12.86 出手速度：12.4712.89 出手角度：0.060.42 出手高度：0.160.22模型 s(v,h,) 在點 (v0,h0,0) 關于參數(shù) v, h, 的靈敏度。 S(s,v)=(s/v)0(v0/s0)關于在0=400處，對不同的 v

6、有 0 0.03 0.05 0.06 0.07 0.09關于 v 在 v=12 處，對不同的 有 1.83 1.84 1.91 1.86 1.86 1.87 1.87結論： 1. 出手速度最重要。 2. 出手角度的調(diào)整對取得穩(wěn)定的成績是重要的. 但在最佳出手角度上下 20 范圍內(nèi)遠度的變化很小。不必過分準確。 3. 在前面的基礎上，盡量提高出手的高度 分析 問題： 1. 李梅素的數(shù)據(jù) h=1.9m, a=37.60, v=13.75m/s, s=20.68m a=42.40， s=20.95m h=2.0m, a=39.70, v=13.52m/s，s=20.22 a=42.40 s=20.3

7、0m 出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度， 但投擲的遠度減小了。 出手的速度隨著出手角度的增加減小了！ 2. 鉛球的投擲不是簡單的拋射體。出手速度、出手角度和出手高度是不獨立的。是運動員投擲鉛球過程中用力過程的綜合的結果。 需要組建鉛球投擲的模型。 2. 鉛球投擲模型 假設： 1. 滑步階段為水平運動，鉛球隨人體產(chǎn)生一個水平的初速度。 2. 在用力階段，運動員從開始用力推鉛球到鉛球出手有一段時間。 3. 在用力的時間內(nèi)作用在鉛球上的推力大小不變，力的方向與鉛球出手方向相同。 參量: v0 初速度, t0 用力時間, F 推力, m 鉛球質(zhì)量。 發(fā)力期間平衡關系：模型令t=0時開始用力，t=

8、t0 鉛球出手。在區(qū)間0，t0積分模型，可得由此可得鉛球的出手速度 檢驗: v h s李梅素 40.27 13.16 2.20 19.40隋新梅 39.00 13.95 2.04 21.66李梅素 38.69 13.51 2.00 20.30黃志紅 37.75 13.58 2.02 20.76李梅素 37.60 13.75 1.90 20.95李梅素 35.13 14.08 1.95 21.76 分析: 1. v 隨著 F 和 t0 的增加而增大; 2. v 隨著 v0 的增加而增大; 3. v 隨著 a 的增加而減小.女子鉛球的技術特征: 滑步的低、平、快；過渡階段隨著左腿低而快地直頂?shù)种喊?/p>

9、下沿，推髖側移，使鉛球低而遠地遠離出手點；最后用力階段突出向前性。 問題：組建完整的鉛球投擲的數(shù)學模型（包括出手速度、出手高度的形成），并進行分析討論。5.3 湖水的污染一. 問題與背景： 問題：建模描述湖泊污染的狀況。 背景： 湖泊: 提供水源, 水產(chǎn)養(yǎng)殖, 交通運輸, 休閑旅游. 承受容納生活垃圾, 工業(yè)排出物等污染物質(zhì). 形成磷酸鹽污染, 殺蟲劑污染和重金屬污染. 湖泊污染的特征: 水體覆蓋面積大, 污染源復雜, 不易控制. 水體流動性差, 不利于水體的更新和自凈.二. 假設: 10. 污染物同質(zhì),以污染物的含量標志污染的狀況. 20. 單流入, 單流出, 流速不變. 30. 變化充分光

10、滑. 40. 湖水體積定常. 50. 不考慮水體自凈問題和其他因素的作用三. 建模 物理模型: 池水含鹽問題 數(shù)學模型: 湖水體積：V， 湖水濃度：P(t)， 流入速度：r， 流入濃度：PI(t), 流出速度: r, 流出濃度：P(t). 則有 為湖水保留時間.四. 分析: 1. 情形 I : 自由傾倒 PI = K, P(0) = Ps. 解得 利用初始條件, 得 10. Ps K 時, P(t) 減少。 稱 K 為飽和污染狀況。20. 稱 為湖水在時刻 t 的污染水平。不難得到 當 時，為飽和水平； 為超飽和狀態(tài)，P(t) 將會下降。30. 令 Ps=0 （一池清水），則 t 時刻的污染水

11、平為給定 ，記 為達到水平污染的時間，則有當 = 時，有 對于密執(zhí)安湖，有 T1/2=21年。 對于蘇比利爾湖，有T1/2=132年。一般來說，對于 Ps 0, 則 將遞減并且趨于零.令 , 它表示污染狀況相對降低的強度. 則不難看出給出了污染水平降低到初始狀態(tài)的 倍時所用的時間. 取 =1/2, 則有 .由此可知, 在完全斷絕污染物流入的前提下, 湖泊污染狀況緩解一半所用的時間是湖水保留時間的0.7倍. 2. 情形II. 控制污染：PI(t) = K0e-t. 流入的污染物逐年降低, 污染狀況以強度 逐年得到控制. 模型:令P(0)=K0, 則模型有解由此不難證明，當 時，P(t) 是的減函

12、數(shù)，而且有 。它表明只要控制污的強度足夠大湖水的污染程度將會不斷得到改善。3. 情形III 混合情形：在初期，湖泊屬于自由污染階段，當湖水被污染到一定的水平，將對污染源加強管理和控制，降低排污量。 模型：如果在初期我們有 Ps = 0，PI=K1，則湖水將在 達到 水平的污染，即有 。此后對污染源加強管理，將排污量降低為 則有如下的輸入函數(shù)模型有解 五. 討論 1. 蒸發(fā)與滲漏：輸出正比于湖水體積 ro=kv(t), 模型中有輸出項Ap(t)V(t) 2. 離散動態(tài):有差分方程 pk+1=(1-1/)pk+PI/ 3. 污染物的影響：DDT：被動物吸收，溶解與脂肪中，有機磷：引起水藻激增，貯存

13、于水藻體內(nèi)。 4. 混和過程：濃度是空間點的函數(shù)。問題：P143 第 4 題： 伊利湖和安大略湖的污染。路燈照明4.5 路燈照明的數(shù)學模型路燈照明一. 問題、背景： 1. 問題：兩盞路燈照明一條水平的道路。建模分析兩盞燈之間照明的情況，給出這兩盞燈的最優(yōu)設計。路燈照明 2. 背景： 光強度：光源在一定方向范圍內(nèi)發(fā)出可見光輻射強弱的物理量。以光源在某一方向上單位立體角內(nèi)所輻射的能量（坎德拉 cd）來度量。 立體角：一個錐面所圍成的空間部分，它以以錐頂為心的單位球面被錐面所截的面積的面積來度量。 光通量：人眼所能感覺的光輻射的功率。單位時間光輻射的能量和相對視見率的乘積：流明 Lm。 照度：單位面

14、積上得到的光通量：勒克司 Lx。路燈照明 照度定律：點光源 O 與被照明平面中心 A 的距離為 h 時，平面上 A 點的照度 E= (I / h2) cos a, 其中，I 為 O 點的光強度，a 為平面的法線方向與光源到 A點連線之間的夾角。路燈照明二. 模型 1. 假設： 10. 燈為點光源， 20. 沒有反射， 30. 忽略燈具的效率和發(fā)光效率。 2. 參量、變量： Pk：光強度，hk：光源高度，s：兩燈的水平距離。 坐標系（x，y）：燈桿 1 為 y 軸，路為 x 軸。 兩個光源的位置：G1: (0, h1), G2: (s, h2); 兩燈間路面上一點: X: (x, 0), 0 x

15、 s; ak: GkX 與 x 軸的夾角. 路燈照明 3. 模型 G1 在 X 點的照度 G2 在 X 點的照度 G1,G2在X點的照度路燈照明 4. 分析 10. 照明的狀況. G1： G2： E = E1+E2：雙峰函數(shù)，中部有最低點。路燈照明 20. 最低照明點令 P1=2000W，P2=3000W，h1=5m，h2=6m，s=20m.可求得 x =（0.028， 9.34，19.98） E =（81.98，18.24，84.48） xe = 9.00路燈照明 30. 關于 h2 極大化 E（x） 給定 h1, 對于每個 h2 都存在一個最小照明點 xm(h2) 求 h2*使得在其最小照明點xm(h2*)處照度最高. 即該點一定在函數(shù) E( x, h2) 的穩(wěn)定點中. 計算 可以得到 P2( s - xm)2 - 2h2*2 = 0 a2=35.260 路燈照明 40. 照明的優(yōu)化 道路上的照明均勻是非常重要的，但是當使用點光源時是不可能的。對于給定亮度和給定間隔的光源，是否可以通過調(diào)整光源的高度來使最小照明強度的點的亮度達到最大？ 考慮三個變量 x，h1，h2 的照度函數(shù) E(x, h1, h2).