選修第1課空間向量的有關(guān)概念與線性運算

1、選修第1課空間向量的有關(guān)概念與線性運算一、教學(xué)目標(biāo)了解空間向量、共線向量、共面向量等概念；2 .理解空間向量的線性運算及其性質(zhì).。二、基礎(chǔ)知識回顧與梳理1、空間向量的有關(guān)概念空間向量：在空間中，既有大小又有方向的量叫做空間向量；相等向量：方向相同且模相等的向量共線向量：表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量；共面向量：能平移到同一平面內(nèi)的向量.下列命題中是否正確（1 ）分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量 I- I-i- fc-（2）若I a |=| b |，則a, b的長度相等且方向相同或相反（3）若兩個非零向量AB與CD滿足AB + CD =0

2、，則AB CD【教學(xué)建議】本題主要是幫助學(xué)生復(fù)習(xí)、了解空間向量的有關(guān)概念。教學(xué)時，教師可讓學(xué)生說明理由或舉 出反例。結(jié)合本題，強調(diào)定義中的關(guān)鍵詞：大小和方向。2、共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理 TOC o 1-5 h z lr fr f FF共線向量定理：對空間任意兩個向量a,b（a豐0）,b與a共線的充要條件是存在實數(shù)人，使b二人a ；共面向量定理：如果兩個向量a,b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對*I3, ），使得 p = xa + yb ；空間向量基本定理：如果三個向量a,b,項共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x, y, z），使得

3、p = xa + yb + zc，把a,b,c叫做空間的一個基底；下列命題：r若A、B、C、D是空間任意四點，則有AB + BC + CD + DA = 0;I a |-| b |=| a + b |是a、b共線的充 * fh- ir要條件；若a、b共線，則a與b所在直線平行；對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若 OP = xOA + yOB + zOC （其中x、y、zER）則p、B 仁四點共面.其中不正確命題的個數(shù)【教學(xué)建議】本題主要是復(fù)習(xí)空間向量基本定理及其應(yīng)用三、診斷練習(xí)1、教學(xué)處理：課前要求學(xué)生閱讀課本選修2-1P - P完成教材習(xí)題P T , P T , P T，再完成診斷

4、練習(xí)737873 276 478 34道小題，并要求將解題過程扼要地寫在學(xué)習(xí)筆記欄。課前抽查批閱部分同學(xué)的解答，了解學(xué)生的思路及 主要錯誤。將知識問題化，通過問題驅(qū)動，使教學(xué)言而有物，幫助學(xué)生內(nèi)化知識，初步形成能力。點評時 要簡潔，要點擊要害。2、診斷練習(xí)點評 題 1：化簡（AB - CD） - （AC - BD） =.答案：0【分析與點評】向量的加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則都需要共起點，首尾相接的向量相加 等于起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量【變式】：化簡AF - BF - AC = .答案：CB （教材P73練習(xí)1第（2 ）小題）則OE =題2.已知空間四邊形OABC中，D

5、是線段BC的中點，E是線段AD的中點，若向量OA = a,OB = b,OC 則OE =答案：；a + 了 b + 丁 c244 - 一 - 一 - 【分析與點評】利用平行四邊形法則，表示出三角形一邊上的中線對應(yīng)的向量是基本方法?！咀兪健浚阂阎臻g四邊形ABCD中，AB = a - 2c, CD = 5a + 6b - 8c ,對角線AC、BD的中點分別是P、Q，Q，則 PQ =fff答案 PQ = 3a + 3b - 5cD【分析與點評】(1 )用AB,CD表示PQ,關(guān)鍵是將三向量平移到一個三角形中D-A由于P、Q是中點，利用中點平移向量AB, CD .題3.如圖，ABCD - ABCD是平

6、行六面體，給出下列命題: iiii(1) AC = AD + DC + CC ； (2) AC = AB + AD + AA AC = AC + CD + DC ； (4) AC = AB + B D + AA其中正確的命題個數(shù)有個答案：:3 . 1【分析與點評】(1)向量的加法、減法一般用三角形法則和平行四邊形法則；(2 )首尾相接若干向量相加等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量可以認為是平面向量的 加法的平行四邊形法則在空間的推廣。題4 .在正方體ABCD - A1BCD1中，M,N分別是線段A1D, DC上的點，且AM = 3 A? D N = | DC,2 1 _則向量MN與向

7、量DA, DC之間的關(guān)系是. 答案：MN = -DA + -DC .【分析與點評】取叫的一個三等分點，運用三角形法則可解，也可用回路法，即：MN = ND + DC + CN . 總之，空間向量加減法的運算與平面向量完全類似.3、要點歸納一 (1 )在掌握向量加減法時首先應(yīng)掌握有特殊位置關(guān)系的兩個向量的和或差，如共線、共起點、共終點等 (2 )向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法，注意向量的三角形法則和平行四邊形法則要點.對于向量加法用 平行四邊形法則要求兩向量共起點，運用三角形法則要求首尾順次相接對于向量減法要求兩向量共起點.(3 )平面向量的運算僅限于在它所在的平面內(nèi)進行，空間向量的運算常常將研

8、究的向量進行平移，轉(zhuǎn)化 為平面向量問題解決.BDC(4)空間向量的線性運算方法和思想是由平面向量的線性運算推廣而來，空間向量的性質(zhì)、運BDCA比平面向量的運算、性質(zhì).四、范例導(dǎo)析例1、如圖所示，在平行六面體ABCD - ABCD中，P是CA的中點， 11111M是CD1的中點，N是CR的中點，點Q在CA1上，且CQ : QA1 = 4:1 設(shè)AB = a, AD = b, AA = c，用基底a,b,c寶示以下向量：(1) AP ； (2) AM ； ( 3 ) AN ；(4) AQ .【教學(xué)處理】本題是教材選修2-1習(xí)題3.1 P8T第(1 )題、第(2 )題可讓學(xué)生板演，教師點評；第(3

9、X (4 )兩題可提問學(xué)生，先交流討論，再教師板書。點評或板書時，要示范解題步驟、方法.【引導(dǎo)分析與精講建議】1、第(1X(2)題，AAAf, AACD1中，p、M分別是Af CR中點，利用平行四邊形法則轉(zhuǎn)化為平行 六面體面上的向量再化為棱上的向量運算.第(3 X第(4 )題分析時，先提出以下問題問題1 : AN , AQ如何與基底取得聯(lián)系？問題2 : AN , AQ放在哪一個三角形中進行轉(zhuǎn)化？問題3:能否用平行四邊形法則？或首尾相接的空間多邊形？不同路徑得到的結(jié)果是否相同？為什么？【說明】：第（3）、（4）兩題，在提出問題討論交流后，教師可板書示范其中的一種解法，其它的解法可讓學(xué) 生嘗試練習(xí)

10、、板演后點評.D1B1例2：在三棱柱ABC - A1B1C1中，D是AC的中點，用向量證明：Ag II面CBD.D1B1【教學(xué)處理】要求學(xué)生獨立思考并解題，指名學(xué)生板演，老師巡視指導(dǎo)了解學(xué)情；再結(jié)合板演情況進行點評。也可在學(xué)生對解題方向遇到困難時，教師適時介入與學(xué)生交流或進行講解，并示范板書?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】1、引導(dǎo)學(xué)生從共面向量的概念和定理出發(fā)尋找思路。強調(diào)并示范用向量證明線面平行的一般方法和解題步驟；2、本題在用向量證明后可以讓學(xué)生嘗試用綜合法來證明，對兩種方法進行比較.【變式】：設(shè)A,B, C及a b C分別是異面直線l,l上的三點，而M,N,P,Q分別是線段AA ,BA ,BB

11、,CC 1 1 11 21111的中點.求證：M,N,P,Q四點共面.【點評】：變式題中給出四點共面問題可化為三向量共面問題解決.根據(jù)空間向量共面的基本定理幾何，結(jié) 合圖形根據(jù)中點找到四點M,N,P,Q構(gòu)成的三向量MN,NP,PQ之間的線性關(guān)系即可得證.例3已知矩形ABCD,P為平面ABCD外的一點，M, N分別為PC, PD上的點，且PM = 2MC, PN = ND. 求滿足MN = xAB + yAD + zAP的實數(shù)x, y, z的值.【教學(xué)處理】要求學(xué)生獨立讀題并畫出圖形，引導(dǎo)學(xué)生思考：怎樣將空間向量轉(zhuǎn)化到一個個平面上的 向量去處理？【引導(dǎo)分析與精講建議】1、容易表示出MN = AN

12、 - AM，這里的基底AP, AD, AB確定了三個平面，向量AN在平面APD內(nèi)，一 1 1 1 2因而用平面向量基本定理可得AN = -AP + AD；向量AM在平面APC中，AM =-AP + AC,向*22*33DNCBC量AC在基底AD,AB確定的平面ABDp，因而回路接通。這里的表示，要突出空間向量是如何轉(zhuǎn)化到 平面向量上去的.DNCBC2、* 案中提供的方法，可仿照上面的分析，引導(dǎo)學(xué)生作類似的轉(zhuǎn)化.【備用題】已知ABCD - A1 B孔是平行六面體.，一.”一 12 （1）在圖上標(biāo)出式子2AA1+ BC + 3 AB的結(jié)果；（2）設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCCB對角線BC

13、上3的分點，設(shè)MN = aAB +PAD+yAA試求a,P,y的值。41【教學(xué)處理】第（1）題可以讓學(xué)生板演，教師點評作圖依據(jù).第二題從式子的特征、向量MN,AB,AD,AA1 位置關(guān)系入手弄清解題意圖和解題方向，指導(dǎo)學(xué)生獨立思考，指名回答，教師點評并板書解題過程?！疽龑?dǎo)分析與精講建議】可提出以下問題與學(xué)生交流：問題1 ：式子mN=a aB+PaD+y A!表示什么含義？四個向量mN , aB, ad, aa1之間有什么關(guān)系？問題2 :由偵,P,Y的值確定嗎？為什么？問題3 : MN向量如何利用三角形、平行四邊形或空間多邊形轉(zhuǎn)化到AB,AD,俱?五、解題反思1、用已知向量表示未知向量一定要結(jié)合圖形。以圖形為依托指導(dǎo)解題是關(guān)鍵廠要熟練掌