考研數(shù)學(xué)三試題及全面解析(word版)

1、資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除資料收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除只供學(xué)習(xí)與交流只供學(xué)習(xí)與交流2018年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三考研真題與全面解析（Word版）、選擇題:18小題，每小題 4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題、選擇題:目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.1.下列函數(shù)中在X=0處不可導(dǎo)的是（）(A) f (x) = x sin(B) f(x)= xsinxf(x)=cosxf(x)=8S, x【答案】（D）【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,A.f(x)- f(0)=limx.0 x sin xlim 乜 0 x 0，可導(dǎo);B. limx

2、)0f(x)-f(0)二x|sin J|x|x=0,可導(dǎo);C.f(x)-f(0)【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,A.f(x)- f(0)=limx.0 x sin xlim 乜 0 x 0，可導(dǎo);B. limx )0f(x)-f(0)二x|sin J|x|x=0,可導(dǎo);C.f(x)-f(0)D.xxx10cosjxcos x -1=limx J0=0 ,可導(dǎo);2.設(shè)函數(shù)f （x）在0,1上二階可導(dǎo)。且x1x2,極限不存在。故選（D ）.f (x)dx = 0 ,則1(A)1(A)當(dāng) f (x) 0 時(shí)，f (一) 2.、一 一 1(B)當(dāng) f (x) 0時(shí)，f (一) 0時(shí)，f (3) 0，所以 f (

3、一) 0 ,應(yīng)選(D).0 2!22【解析二】排除法。(A)錯(cuò)誤。令f(x)1- ,、/-1J。f (x)dx = 0, f(x)=-10,但是 f (一)= 0。(B)錯(cuò)誤。令f(x)1f (x)dx = 0 , f (x) = 2 0O2故選錯(cuò)誤。令f(x)f (x)dx=0 , f (x) = 1 a 0,但是.1f(一)= 0。2(D).3.設(shè)Mdx, K3112T(1 + dcosx)dx,則(A) M N K(B)M K N(C) KMaN(D)K N M【解析】積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間，先利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)，能求出積分最好，不能求出積分則最簡(jiǎn)化積分。_ 2 (1x)二 1x2-1 _ 2

4、(1x)二 1x2-1 x2 2x dx= 2x 2x2 JL1 x2dx = .2二(12x2)dx = n ,K =12n(1 +Jcosx)dx J2n1Udx = n ,令 f (x)= 令 f (x)= ex -1 - x, x (-時(shí)，f(x)0,一,一),則 f x) e x 1 ，當(dāng) x (一2 2當(dāng) x (0,一)2時(shí)，（x） A 0,故對(duì)xx（-，-），有 f （x）至 f（0）= 0，因而一 11 x.N = ( Kdx N o 應(yīng)選(C)x文e交4.設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù) C（Q）可導(dǎo)，其中Q為產(chǎn)量。若產(chǎn)量為 Q0時(shí)平均成本最小，則 （）(A) C(Q) = 0 (B) C

5、(Q) = C(Q) (C) C(Q) = QC(Q) (D) QC(Q) = C(Q)【答案】(D) C(Q) dC(Q) C (Q)Q-C(Q)【解析】平均成本 C(Q)二年”(j wQdQQ2由于產(chǎn)量為Q0時(shí)平均成本最小，因此 C（Q0）Qo - C（Qo） = 0,故選（D)1105.下列矩陣中陣，與矩陣。 11相似的是（_00111-11 0(A) |。 11(B) |。 1_0 01_0 0-111-110-11(C),10(D)|。101_001_001【答案】（A）1【解析】記矩陣H = 0,01 011 ，則秩r(H) = 3,跡tr(H) = 3,特征值0 1（三重）。觀察

6、 A, B,C,D四個(gè)選項(xiàng)，它們與矩陣 H的秩相等、跡相等、行列式相等，特征值也相等，進(jìn)一步分析可得：r（，E H） = 2,r（八E A）=2, r（九EB）=1r（九E C） = 1, r（uE D） = 1。如果矩陣A與矩陣X相似，則必有kE A與kE X相似（k為任意常數(shù)），從而r（kE A） = r（kE X）,故選（a）,6.設(shè)A,B是n階矩陣，記r（X）為矩陣X的秩，（X,Y）表示分塊矩陣，則（）(A) r(A,AB) = r(A)(B)r(A,BA) = r(A)(C)r(A, B) =maxr(A), r(B)(D)r(A,B) = r(AT ,BT)【答案】(A)則向量【解

7、析】把矩陣A,AB按列分塊，記A= (口1尸2小卜n),AB= (P1,P2,ll|Pn)，則向量組P1, P2, | (|Pn可以由向量組a1,a2,|a n線性表出,從而a 1,a 2,| (| n與2，IIBn，%/2川巴，等價(jià)，于是 r(A,AB) = r(A),故選(A)。27.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn) (x)滿足f (1 x) = f (1 + x),且f (x)dx = 0.6 0則 PX : 0=()(A) 0.2(B) 0.3(C) 0.4(D) 0.5【答案】(A)f (x)關(guān)于x = 1對(duì)稱,結(jié)合概率密度函數(shù)的性質(zhì) f (x)dx = 1及已知條件-oOf (x)關(guān)于x

8、= 1對(duì)稱,結(jié)合概率密度函數(shù)的性質(zhì) f (x)dx = 1及已知條件-oOf (x)dx = 0.2,故選(A)。S* =(Xi - N)2 ,則 n y【解析】由(C)jn（x-）t(n)(D)：n(X -)t(n-1)X N( 2)=二2X N(J,)=X - N (0,1),2 CT【解析】由(C)jn（x-）t(n)(D)：n(X -)t(n-1)X N( 2)=二2X N(J,)=X - N (0,1),2 CT(n-1)S2(n-1)S2二、填空題:(n -1),且 -產(chǎn) 與 n(n-1)S2相互獨(dú)立，所以(n-1)=、n（x -i） t（n -1）,故選（B）。914小題，每小題

9、4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.9.曲線y =2x +2lnx在其拐點(diǎn)處的切線方程為【答案】y = 4x-3.224解析函數(shù)的定義域?yàn)?（0,十）, y =2x + , y =2二；y 二=。 xxx令y” = 0,解得x = 1,而y（1） 0 ,故點(diǎn)（1,1”曲線唯一的拐點(diǎn)。曲線在該點(diǎn)處的斜率y（1） = 4,所以切線方程為 y = 4x 3。10.ex arctan 1 - e2xdx =【解析】e10.ex arctan 1 - e2xdx =【解析】ex arctan. 1 - e2xdx = Jarctan 1 - e2xdex=ex arctan 1 - e2x -

10、 exd arctan . 12x_ e=ex arctan . 1 - e2x-ex 1d . 1 - e2x1-(1-e2x)= ex arctan 1 - e2x - . d . 1 - e2x二 ex arctan . 1 - e2x - 1 - e2x C11、差分方程A2yx yx = 5的通解是 【答案】yx = C|_2x - 5,其中C為任意常數(shù)。 2【解析】由于 Nx八 34 3江八Nx(yx+2 - yx+i) (yx書yx) = vn - 2丫乂+/ l，原方程化為 yx+2 - 2yx十1 = 5,即 yx+1 - 2yx = 5。該一階線性非齊次差分方程對(duì)應(yīng)的齊次差

11、分方程為yx書-2yx = 0,其通解為yx = Cj2x。 * _ _ _ _ _設(shè)原萬(wàn)程的多寸解為 y = C1,代入原方程得 C1 一 2C1 = 5n C1 = 一5.故原方程的通解為 yx = C|_2x - 5。.設(shè)函數(shù) f (x)滿足 f (x + &x) - f (x) = 2xf (x)&x + ogx) (Axt 0),且 f (0) = 2, 則 f (1) =?！敬鸢浮?e o解析由 f (x + Ax) _ f (x) = 2xf (x)x + 口(Ax)(Axt 0)可得f (x x) - f(x)=2xf (x)f (x x) - f(x)=2xf (x)二(x)

12、(x 0)f (x x) - f (x)兩邊取極限得 lim = 2xf (x),即 f (x) = 2xf (x) TOC o 1-5 h z lx 0/. x2xdx2解一階線性齊次微分方程，有 f (x) = Ce= Cex，代入f (0) = 2= C = 2 ,x2故 f(x)= 2e = i)= e22(x y z)二 22(x y z)二 xy z 2(xy yz zx) = 0- xy yz zx=-/nL , 1 T , 上 上、，1 匚，irk由輪換對(duì)稱性可得：x xyds= ( (xy+ yz+zx)ds= d ds= U271 =。u 36匚L63.設(shè)A為3階矩陣，31

13、產(chǎn)2產(chǎn)3是線性無(wú)關(guān)的向量組，若A1 = a1 +a 2, A 2 =Cf 2 +aI 2311222A3 =、+口3,則 A = 【答案】2.1 0 1【解析】已知（A 1，A 2A 3）= A（： - 2，二 3）=（二2/ 3）1100 1 1因?yàn)椤?產(chǎn)2產(chǎn)3線性無(wú)關(guān)，所以矩陣P=（豆1尸2產(chǎn)3）可逆，P # 0，1 0A= P 1 1_0 110 1 0A= P 1 1_0 110 P=11囿=同10p-110 = 2.11.設(shè)隨機(jī)事件A, B,C相互獨(dú)立，P(A) = P(B) = P(C)=, 2則 P(AC|A|JB) =, P(ACAUB)=PP(ACUABC), P(ACAUB

14、)=PP(ACUABC)P(A) P(B)- P(AB)P(AC) 1P(A) P(B) P(A)P(B) 3三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙 指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過 程或演算步驟.1.（本題滿分io分）已知實(shí)數(shù)滿足xlim（ ax+b）ex x =2.，求a,b?！窘馕鲆弧苛?. . (a bt) 【解析一】令1. . (a bt) te- 1t = x，可得L瓶一t2(1)于是則(a +bt)8 -1 = a -1 于是則(a +bt)8 -1 = a -1 =0= a = 1對(duì)（1）式使用洛必達(dá)法則，有(a bt )e - 1ttt嗯t=amibe

15、+(a+bt)e=b+a=2故 a = 1,b = 1。1【解析二】令t =,可得 xlim 1【解析二】令t =,可得 xlim (a 山) limt_.：,： ott_.：,： o(a bt)1 t ;(t) -116.=limJ.： 0(a-1) (a b)t 二a-1 = 0a b = 2a = 1,b = 1。（本題滿分io分）設(shè)平面區(qū)域 D由曲線y =3（1- x2）與直線y = J3x及y軸圍成，計(jì)算二重積分Wx2d?！窘馕觥糠e分區(qū)域如圖示,I 二 02 dx23(1 -xI 二 02 dx23(1 -x2)x2dy =2o2x2( ,3(1-x2) - 3x)dx二023(1-

16、x)2dx-_2出產(chǎn)x3dx，其中0=其中0=sin2 2td2t =8 432 x 與int _ _-x2)dx = = = 3 o4sin2tcos2tdt_ 二1616 2V3102 x3dx1616 217.（本題滿分io分）將長(zhǎng)為2m的鐵絲分成三段，依次圍成圓、正方形與正三角形，三個(gè)圖形的面積之和是否存在最小值？若存在，求出最小值?！敬鸢浮棵娣e之和存在最小值,Smin1二 4 3:3【解析】設(shè)圓的半徑為 x,正方形的邊長(zhǎng)為【答案】面積之和存在最小值,Smin1二 4 3:3【解析】設(shè)圓的半徑為 x,正方形的邊長(zhǎng)為y,三角形的邊長(zhǎng)為z ,則2nx + 4y + 3z = 2,三個(gè)圖形的

17、面積之和為2S(x, y, z)=二 x23 2y z ,4則問題轉(zhuǎn)化為 “在條件2n x + 4y + 3z = 2, xA0,y0,z0下，求三元函數(shù)S(x, y, z)= 一S(x, y, z)= 一+ z2的最小值”。42z ( 2 二 x 4 y 3 z -2)LxLy解方程組Lz= 2x2： = 0=2y 4 =0LxLy解方程組Lz= 2x2： = 0=2y 4 =0,3=z 3 = 0 2,得到唯一駐點(diǎn)y =L ； 2二 x 4y 3z - 2 = 0由實(shí)際問題可知，最小值一定存在，且在該駐點(diǎn)處取得最小值。最小面積和Smin二 4 3.3ji24 3,3234 3.3為18.(

18、本題滿分1018.(本題滿分10分)已知cos2x-2(1 x)CO=a anxn(-1 x 1),求 an。n =01【解析】將 cos2 x和-2展開成哥級(jí)數(shù),(1 x)oOcos 2x = n =0需(2x)oOcos 2x = n =0需(2x)2n一(-1)n 22nx2nn4(2n)!1 _2d (-1)122= 1 -x2!2 _4(-1)24!x4 口6!+HI + ( 1) 2 x2n +|, - x +a0 (2n)!1/1/1、(1 + x)2 口+ x/ oO、 oOoO/dnn，dnnTdnn工(-1) x I = (-1) nx = (-1) (n + 1)xn =

19、0n=n =0=1 + 2x 3x2 +4x3 5x4 +6x5 7x6 III十(1)n+(n + 1)xn + III, -1 x滿足 X1 0,2=exn -i（n = 1,2,3,|）。證明xn收斂，并求lim xn。 n ； nx2 eX1 -1【證明一】因?yàn)?x1 0,所以ex2 =。X1e% -1-x2l ；-根據(jù)拉格朗日中值te理，存在 一三（0,x）,使得 = ee=e= x2 = t,x1因此 0 “ x1。完全類似，假設(shè) 0 xn書 xn,則exn1 _ 1exn* = e （0 父 xn書），即 0 xn+2 0：ex1 -1_x1當(dāng) n = 1 時(shí)，x1A 0。根據(jù)題

20、設(shè) x2 = In，由 e - 1 x1 可知 x2 ln1 = 0 ；x1假設(shè)當(dāng)n = k時(shí)，xk 0 ；, . exk -1xk ,人中 ln1 = 0。則當(dāng)n = k +1時(shí)，xk+=ln，其中e 1 人中 ln1 = 0。xk根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任意的 n w N 0。再證明數(shù)列xn的單調(diào)性:exn -1exn -1 xexn -1、書Xn=ln% = lnlne = In-，xnxnXne(離散函數(shù)連續(xù)化)設(shè) f (x) = ex 1 xex(x 0),則當(dāng) x 0 時(shí)，f(x) = xex 0,f (x)單調(diào)遞減，f (x) f (0) = 0,即 ex -1 xexoex1 -1從

21、而 xn書xn = In ln1 = 0,故xn書笛，得aea = ea 1 ,解 nn方程得 唯一解 a = 0 ,故lim xn = 0。ncj20.(本題滿分11分)設(shè)二次型222f (x1,x2, x3) = (x1 - x2 + x3) +(x2+x3) +(為 + 2%),其中 a是參數(shù)。(I)求 f (x1,x2,x3) = 0 的解；(II)求 f(x1,x2,x3)的規(guī)范型?！窘馕觥?I)由f (%42,%) = 0可得x1 - x2 x3 = 0 x2 x3 u 0、x1 + ax3 = 0對(duì)上述齊次線性方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換得11-1A= 01J 0當(dāng) a#2 時(shí)，

22、f (x1,x2,x3) = 0 只有零解：x=(0,0,0)T。10 2、當(dāng) a =2時(shí)，At 0 11,900f (x1,x2,x3) = 0 有非零解：x = k(2,1,1)T , k為任意常數(shù)。(II)當(dāng)a #2時(shí)，若x1,x2,x3不全為0,則二次型f (x1,x2,x3)恒大于0,即二次型f（x1,x2,x3）為正定二次型，其規(guī)范型為 f（弘，丫2,丫3）= y； + y2 + y2。當(dāng)a = 2時(shí)，f (Xi，X2，X3)= (Xi - X2 X3) a、 0可經(jīng)過初等列變換化為矩陣7 一力1 a 2 B = 011。(I)求a ; ( II )求滿足AP = B的可逆矩陣P

23、?L 1 a、0可經(jīng)過初等列變換化為矩陣7 一力1 a 2 B = 011。(I)求a ; ( II )求滿足AP = B的可逆矩陣P ?L 1 L【解析】（I）由于矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，故 對(duì)矩陣A, B作初等行變換，得2-13二次型對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣B=|-12 0，其特征方程為 TOC o 1-5 h z _ 30 6九-21-31 九-20=九。-10 九+18)= 0-30，6解得特征值九1 = 5 + J7，九2 = 5 - J7, K3 = 0,可知二次型的規(guī)范型為I23f （馬工4）=121.（本題滿分ii分）設(shè)a是常數(shù)，且矩陣 a= 1r(A) = r(B)。,112,

24、100100-a0，2111010【0212a顯然r(A) = 2,要使r(B)= 2,必有2-a二0=a=2。(II)將矩陣B(II)將矩陣B按列分塊:易知，齊次線性方程組 Ax = 0的基礎(chǔ)解系為0 二(-6,2,1)T ，三個(gè)非齊次線性方程組的B=(P1,P2,P3),求解矩陣方程 AP = B可化為解三個(gè)同系數(shù)的I ， 2， 3非齊次線性方程組：Ax = p j, j = 1,2,3。對(duì)下列矩陣施以初等行變換得 TOC o 1-5 h z 122 12210(A,B) = 130 m11 0127-2-1110 0因此，三個(gè)非齊次線性方程組的通解為-6k2 2 因此，三個(gè)非齊次線性方程

25、組的通解為-6k2 2 +、1 ,P：X= 1P：X =特解分別為：* = (3, 1,0)T J 2 = (4, 一 1,0)T J 3 = (4, 1,0)T。-6=k3 2 +、1 ,3-6k1 4-6k2 4-6k3 1從而可得可逆矩陣 P= j1 + 2K 1 +2k2 1 + 2k3 ，其中k2#k3。IL k2k3X的概率分布為(22)(本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量 X,YX的概率分布為Y服從參數(shù)為九的泊松分布。令Z = XY, (I)求Cov(X,Z)； (ii)求Z的概率分布。【解析】(I)由X,Y相互獨(dú)立，可得E(XY)= E(X)E(Y).。由協(xié)方差計(jì)算公式可知Cov(X,Z) = E(XZ) - E(X)E(Z) = E(X2Y) - E(X)E(XY)二 E(X2)E(Y)-E2(X)E(Y),其中 E(X) = 0,E(X2)=1,E(Y)=?l，代入上式可得 Cov(X,Z) = z。(ii )由于X,Y是離散型隨機(jī)變量，因此Z = XY也是離散型隨機(jī)變量。 X的可能取值為1,-1,.ke；、Y的概率分布為 PY = k = -,k = 0,1,2,|故Z的可能取值為0,1,2,3JHk!于是，Z的概率分布為 TOC o 1-5 h z 11pz = 0 = PX = 1,Y = 0 + PX = 1 ,