8.1-8.2微分方程的概念

1、下周四11月20日的課程暫停，期末考試的時間延長到第14周周四（12月18日）晚上19：00-21：00，具體地點待定微分方程第八章8.1 微分方程的基本概念微分方程的概念一般地,含有未知函數(shù)及未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程稱為微分方程.微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階.我們把未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程.例如微分方程的概念常微分方程的一般形式是:其中為自變量,是未知函數(shù),在方程中,必須出現(xiàn),而其余變量可以不出現(xiàn),微分方程中,其余變量都沒有出現(xiàn).能從方程中就得到微分方程例如在階如果解出最高階導數(shù),以后我們討論的微分方程主要是形如的微分方微分方程的概念以后我們

2、討論的微分方程主要是形如的微分方微分方程的概念以后我們討論的微分方程主要是形如的微分方程,并且假設式右端的函數(shù)在所討論的范圍內連續(xù).如果方程可表示為如下形式:其中和知函數(shù).不能表示成形如的方程,統(tǒng)稱為非線性微分方程.均為自變量的已則稱方程為階線性微分方程.n例1 判斷下列方程是否為線性方程， 并指出其 階數(shù)微分方程解的概念代入微分方程能使微分方程成為恒等式的函數(shù)稱為該微分方程的解.微分方程的解可能含有也可能不含有任意常數(shù).一般地,微分方程的不含有任意常數(shù)的解稱為微分方程的特解.含有相互獨立的任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相等的解稱為微分方程的通解(一般解).所謂通解的意思是指:當其

3、中的任意常數(shù)取遍所有實數(shù)時,就可以得到微分方程的所有解(至多有個別例外).注:這里所說的相互獨立的任意常數(shù),是指它們不能通過合并而使得通解中的任意常數(shù)的個數(shù)減少.微分方程解的概念許多實際問題要求尋找滿足某些附加條件的解,這類附加條件就可以用來確定通解中的任意常數(shù),這類附加條件稱為初始條件,也稱為定解條件.一般地,一階微分方程的初始條件為其中都是已知常數(shù).二階微分方程的初始條件為微分方程解的概念二階微分方程的初始條件為微分方程解的概念二階微分方程的初始條件為帶有初始條件的微分方程稱為微分方程的初值問題. 例如,一階微分方程的初值問題,記為微分方程的解的圖形是一條曲線,稱為微分方程其中和 都是已知

4、常數(shù).微分方程解的概念微分方程的解的圖形是一條曲線,稱為微分方程微分方程解的概念微分方程的解的圖形是一條曲線,稱為微分方程的積分曲線.初值問題的幾何意義是:求微分方程的通過點的那條積分曲線.二階微分方程的初值問題,記為其幾何意義是:求微分方程的通過點且在該點處的切線斜率為的那條積分曲線.例2求曲線族滿足的微分方程,其中為任意常數(shù).例3驗證函數(shù)是方程的通解,滿足初始條件的特解.并求8.2 可分離變量的微分方程設有一階微分方程如果其右端函數(shù)能分解成即有則稱方程為可分離變量的微分方程,其中都是連續(xù)函數(shù).根據(jù)這種方程的特點,我們可通過積分來求解.設用除方程的兩端,用乘以方程的兩端,以使得未知函數(shù)與自變

5、量置于等號的兩邊,得可分離變量的微分方程用乘以方程的兩端,以使得未知函數(shù)與自變量置于等號的兩邊,得可分離變量的微分方程用乘以方程的兩端,以使得未知函數(shù)與自變量置于等號的兩邊，得兩邊積分,得如果則易知也是方程的解.求解可分離變量的方程的方法稱為分離變量法.上述例1求解微分方程的通解.例2求微分方程的通解.齊次方程1.形如的微分方程2.作變量代換則代入得可分離變量方程兩邊積分求出積分后,再將回代,便得所給齊次方程的通解.稱為齊次方程.定義解法齊次方程求出積分后,再將回代,便得所給齊次方程的通解.齊次方程求出積分后,再將回代,便得所給齊次方程的通解.注:如果有使得則顯然原方程的解,從而也是原方程的解;如果則原方程變成變量方程.也是這是一個可分離例3求微分方程滿足初始條件的特解.例4求解微分方程參考習題數(shù)