置信區(qū)間詳細(xì)定義以及計(jì)算

1、關(guān)于置信區(qū)間詳細(xì)定義及計(jì)算第一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月一、置信區(qū)間的概念這種形式的估計(jì)稱為區(qū)間估計(jì).前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì).它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù).但是點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.范圍通常用區(qū)間的形式給出的。較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比 這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平. 習(xí)慣上把置信水平記作 ，這里 是一個(gè)很小的正數(shù)，稱為顯著水平。第二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月2定義7.6若由總體X的樣本 X1

2、,X2,Xn 確定的則稱 為隨機(jī)區(qū)間。兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)區(qū)間與常數(shù)區(qū)間不同，其長度與在數(shù)軸上的位置與樣本有關(guān)。當(dāng)一旦獲得樣本值那么，都是常數(shù)。為常數(shù)區(qū)間。第三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月3定義7.7若滿足設(shè) 是總體X的 一個(gè)未知參數(shù)，的置信區(qū)間.（雙側(cè)置信區(qū)間）. 的置信水平（置信度）為分別稱為置信下限和置信上限為顯著水平.為置信度，則稱區(qū)間 是若存在隨機(jī)區(qū)間對(duì)于給定的第四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月4置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，使一個(gè)盡可能小的區(qū)間 由于正態(tài)隨機(jī)變量廣泛存在，指標(biāo)服從正態(tài)分布，特別是很多產(chǎn)品的我們重點(diǎn)研究一個(gè)正態(tài)總體情形由給定

3、的置信水平，我們求出即取置信水平 或 0.95，0.9 等.例如，通?？扇★@著水平 等.數(shù)學(xué)期望 和方差 的區(qū)間估計(jì)。第五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月5設(shè)為總體的樣本，分別是樣本均值和樣本方差。對(duì)于任意給定的，我們的任務(wù)是通過樣本尋找一它以1的概率包含總體X的數(shù)學(xué)期望。個(gè)區(qū)間，第六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月6一、數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間設(shè)則隨機(jī)變量1、已知2時(shí)，的置信區(qū)間令第七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月7令這就是說隨機(jī)區(qū)間它以1的概率包含總體 X的數(shù)學(xué)期望。由定義可知，此區(qū)間即為的置信區(qū)間。第八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月8這就是說隨機(jī)區(qū)間

4、置信區(qū)間也可簡記為它以1的概率包含總體X的數(shù)學(xué)期望。由定義可知，此區(qū)間即為的置信區(qū)間。其置信度為 1。置信下限置信上限第九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月9若取查表得若由一個(gè)樣本值算得樣本均值的觀察值則得到一個(gè)區(qū)間我們稱其為置信度為0.95的的置信區(qū)間。其含義是：若反復(fù)抽樣多次，每個(gè)樣本值（n =16) 按公式即確定一個(gè)區(qū)間。第十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月10確定一個(gè)區(qū)間。在這么多的區(qū)間內(nèi)包含的占0.95,不包含的占0.05。本題中屬于那些包含的區(qū)間的可信程度為0.95.或“該區(qū)間包含”這一事實(shí)的可信程度注： 的置信水平1的置信區(qū)間不唯一。為0.95.第十一張，PPT

5、共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月11由中心極限定理知，當(dāng) n 充分大時(shí)，無論X服從什么分布，都近似有的置信區(qū)間是總體的前提下提出的。均可看作EX的置信區(qū)間。第十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月12例1 設(shè)總體X N(,0.09)， 有一組樣本值： 12.6，13.4，12.8，13.2， 求參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間.解的置信區(qū)間為 代入樣本值算得 , 12.706，13.294.得到的一個(gè)區(qū)間估計(jì)為注：該區(qū)間不一定包含.有 1= 0.95，0= 0.3，n = 4,第十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月13又如，上例中同樣給定可以取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上分位點(diǎn)z0.04

6、和 z0.01 ,則又有則的置信度為0.95的置信區(qū)間為與上一個(gè)置信區(qū)間比較，同樣是其區(qū)間長度不一樣，上例比此例短。第十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月14置信區(qū)間短表示估計(jì)的精度高，第一個(gè)區(qū)間為優(yōu)（單峰對(duì)稱的）?？梢?，像 N(0,1)分布那樣概率密度的圖形是單峰且對(duì)稱的情況。當(dāng)n固定時(shí)以的區(qū)間長度為最短，我們一般選擇它。若以L為區(qū)間長度，則可見L隨 n 的增大而減少（ 給定時(shí)），有時(shí)我們嫌置信度0.95偏低或偏高，也可采用0.99或0.9.對(duì)于 1 不同的值，可以得到不同的置信區(qū)間。第十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月15估計(jì)在區(qū)間 內(nèi).這里有兩個(gè)要求:只依賴于樣本的

7、界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量)可見，對(duì)參數(shù) 作區(qū)間估計(jì)， 就是要設(shè)法找出兩個(gè)一旦有了樣本，就把2. 估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.1. 要求 很大的可能被包含在區(qū)間 內(nèi)，就是說，概率即要求估計(jì)盡量可靠. 要盡可能大.可靠度與精度是一對(duì)矛盾，條件下盡可能提高精度.一般是在保證可靠度的第十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月16例2已知某種油漆的干燥時(shí)間X（單位:小時(shí)）服從正態(tài)分布其中未知,現(xiàn)在抽取25個(gè)樣品做試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)后計(jì)算得取求的置信區(qū)間。解所求為第十七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月17例3中隨機(jī)地抽查了9人，其高度分別為：已知幼兒身高現(xiàn)從

8、56歲的幼兒115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;第十八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月182、未知2時(shí)，的置信區(qū)間當(dāng)總體X的方差未知時(shí)，容易想到用樣本方差 2代替2。已知?jiǎng)t對(duì)給定的，令查t 分布表，可得的值。則的置信度為1 的置信區(qū)間為第十九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月19例4 40名旅游者。解本題是在2未知的條件下求正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間。選取統(tǒng)計(jì)量為由公式知的置信區(qū)間為查表則所求的置信區(qū)間為為了調(diào)查某地旅游者的消費(fèi)額為X，隨機(jī)訪問了得平均消費(fèi)額為元，樣本方差設(shè)求該地旅游者的平均消費(fèi)額的置信區(qū)間。若225的置信區(qū)

9、間為即第二十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月20例5 用某儀器間接測(cè)量溫度，重復(fù)測(cè)量5次得求溫度真值的置信度為 0.99 的置信區(qū)間。解設(shè)為溫度的真值，X表示測(cè)量值，通常是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量 問題是在未知方差的條件下求的置信區(qū)間。由公式查表則所求的置信區(qū)間為第二十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月21例6解本題是在2未知的條件下求正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間。由公式知的置信區(qū)間為查表則所求的置信區(qū)間為為了估計(jì)一批鋼索所能承受的平均張力（單位kg/cm2),設(shè)鋼索所能承受的張力X，分別估計(jì)這批鋼索所能承受的平均張力的范圍與所能承受的平均張力。隨機(jī)選取了9個(gè)樣本作試驗(yàn)，即則鋼索所能承受

10、的平均張力為 6650.9 kg/cm2由試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)得第二十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月22三、方差2的置信區(qū)間下面我們將根據(jù)樣本找出2 的置信區(qū)間，這在研究生產(chǎn)的穩(wěn)定性與精度問題是需要的。已知總體我們利用樣本方差對(duì)2進(jìn)行估計(jì)，由于不知道S2與2差多少？容易看出把看成隨機(jī)變量，又能找到它的概率分布，則問題可以迎刃而解了。的概率分布是難以計(jì)算的，而對(duì)于給定的第二十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月23即則得到2隨機(jī)區(qū)間以 的概率包含未知方差2，這就是2的置信度為1的置信區(qū)間。第二十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月24例1 某自動(dòng)車床加工零件，抽查16個(gè)測(cè)得

11、長度（毫米）怎樣估計(jì)該車床加工零件長度的方差。解 先求2的估計(jì)值或查表第二十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月25所求2的置信度為0.95的 置信區(qū)間所求標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為0.95的 置信區(qū)間由得得第二十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月26例2 為了估計(jì)燈泡使用時(shí)數(shù)（小時(shí)）的均值和解查表測(cè)試了10個(gè)燈泡得方差2，若已知燈泡的使用時(shí)數(shù)為X，求和2的置信區(qū)間。由公式知的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為查表即由公式知2的置信區(qū)間為2的置信區(qū)間為第二十七張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月27例3 電動(dòng)機(jī)由于連續(xù)工作時(shí)間（小時(shí)）過長會(huì)燒壞，解查表燒壞前連續(xù)工作的時(shí)間X，得求和2的置信區(qū)

12、間。今隨機(jī)地從某種型號(hào)的電動(dòng)機(jī)中抽取9臺(tái)，測(cè)試了它們?cè)谠O(shè)由公式知的置信區(qū)間為即所求2的置信度為0.95的 置信區(qū)間得第二十八張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月28尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定誤差限入手.使得稱 為 與 之間的誤差限 . ，可以找到一個(gè)正數(shù) ，只要知道 的概率分布，確定誤差限并不難. 我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量，根據(jù)置信水平由不等式可以解出 ：這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間.第二十九張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月29單正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)被估參數(shù)條件統(tǒng)計(jì)量置信區(qū)間已知2未知22未知第三十張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月30作業(yè)P294 4 5

13、6 8 10 12第三十一張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月31嬰兒體重的估計(jì)例4 假定初生嬰兒的體重服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取12 名嬰兒，測(cè)得體重為：（單位：克） 3100, 2520, 3000, 3000, 3600, 3160, 3560, 3320, 2880, 2600, 3400, 2540 試以 95% 的置信度估計(jì)初生嬰兒的平均體重以及方差.解 設(shè)初生嬰兒體重為X 克，則 XN( , 2 ),(1) 需估計(jì) ,而未知 2.第三十二張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月32作為統(tǒng)計(jì)量. 有 = ，n= ，t0.025(11)= ，即的置信區(qū)間。(1) 需估計(jì) ,而未知

14、 2.第三十三張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月33(2) 需估計(jì)2 ,而未知 ，有 20.025(11)= ，20.975(11)= ，第三十四張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月34例5 解由置信區(qū)間的概念，所求的0.99的 置信區(qū)間為在交通工程中需要測(cè)定車速（單位 km/h),由以往2、現(xiàn)在作了150次觀測(cè)，試問平均測(cè)量值的誤差在 的經(jīng)驗(yàn)知道，即測(cè)量值為X，測(cè)量值的誤差在 之間。1、至少作多少次觀測(cè)，才能以0.99的可靠性保證平均之間的概率有多大？由題意要求用平均測(cè)量值 來估計(jì)其誤差由題意知第三十五張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月35至少要作86次觀測(cè)，才能以0. 99的可靠性保持平均測(cè)量誤差在之間。即則鋼索所能承受的平均張力為 6650.9 kg/cm2令第三十六張，PPT共三十九頁，創(chuàng)作于2022年6月36例6