【16、22專(zhuān)用】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）

1、 2.3.1 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和高二【16、22】專(zhuān)用吳川一中 陳智敏高斯（Gauss,17771855），德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他研究的內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”. 有一次，老師與高斯去買(mǎi)鉛筆，在商店發(fā)現(xiàn)了一個(gè)堆放鉛筆的V形架，V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支.老師問(wèn)：高斯，你知道這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆嗎？創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題就是：計(jì)算1 2 3 99 100高斯的算法計(jì)算： 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個(gè)數(shù)可以分為50組： 第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)一組； 第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二

2、個(gè)數(shù)一組； 第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組， 每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個(gè)101就等于5050了。高斯算法將加法問(wèn)題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果.首尾配對(duì)相加法中間的一組數(shù)是什么呢？若V形架的的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層有很多支鉛筆，老師說(shuō)有n支。問(wèn)：這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題就是：1 2 3 (n-1) n若用首尾配對(duì)相加法，需要分類(lèi)討論.三角形平行四邊形n (n-1) (n-2) 2 1倒序相加法 那么，對(duì)一般的等差數(shù)列，如何求它的前n項(xiàng)和呢？前n項(xiàng)和分析：這其實(shí)是求一個(gè)具體的等差數(shù)列前n項(xiàng)和.問(wèn)題分析已知等差數(shù)列 an

3、的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)是n，第n項(xiàng)為an，求前n項(xiàng)和Sn .如何才能將等式的右邊化簡(jiǎn)？已知等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)是n，第n項(xiàng)為an，求前n項(xiàng)和Sn . 各項(xiàng)組成新的等差數(shù)列倒序相加法求和公式等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：思考：（1）公式的文字語(yǔ)言；（2）公式的特點(diǎn)；不含d可知三求一公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式.na1an公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式.a1(n-1)dna1an將圖形分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形.公式應(yīng)用 根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2

4、）a1=100，d=2，n=50練一練5002550例1、計(jì)算（1） 5+6+7+79+80（2） 1+3+5+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+（2n-1）-2n-n例題講解n23230提示：n=76法二：例題講解 例2、2000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知，某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測(cè)算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬(wàn)元。為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬(wàn)元。那么，從2001年起的未來(lái)10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投

5、入是多少？分析：找關(guān)鍵句；求什么，如何求；解：由題意，該市在“校校通”工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列an，且a1=500,d=50,n=10.故，該市在未來(lái)10年內(nèi)的總投入為：答變式練習(xí) 一個(gè)屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪?，最上面一層鋪瓦?1塊，往下每一層多鋪1塊，斜面上鋪了19層，共鋪瓦片多少塊？解：由題意，該屋頂斜面每層所鋪的瓦片數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列an，且a1=21，d=1，n=19.于是，屋頂斜面共鋪瓦片：答：屋頂斜面共鋪瓦片570塊.例題講解例3、已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？解：由于S10310，S201220，將它們代入

6、公式可得所以例題講解例3、已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎？另解： 兩式相減得課堂練習(xí)答案: 27練習(xí)1、練習(xí)2、等差數(shù)列10，6，2，2，的前_項(xiàng)的和為54？答案: n=9，或n=-3（舍去）仍是知三求一課堂小結(jié) 1等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式； 2等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法倒序相加法； 3.公式的應(yīng)用(知三求一)；上頁(yè)下頁(yè)（兩個(gè)）上頁(yè)下頁(yè)課后作業(yè)P45 練習(xí) 1.P46 習(xí)題2.3 A組 1、2.補(bǔ)充作業(yè)【趣味數(shù)學(xué)】趣味數(shù)學(xué) 在右圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長(zhǎng)是1根火柴棍。問(wèn)：（1）最大三角形的面積是多少平方

7、厘米？（2）整個(gè)圖形由多少根火柴棍擺成？ 同學(xué)們！再見(jiàn)！2013-09-26課前回顧 1等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式； 2等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法倒序相加法； 3.公式的應(yīng)用(知三求一)；上頁(yè)下頁(yè)（兩個(gè)）【解】根據(jù)Sna1a2an與Sn1a1a2an1(n2)，可知當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1例1例題講解 若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn32n，求an.變式訓(xùn)練已知Sn求an利用數(shù)列前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)公式第一步：當(dāng)n1時(shí)，anSnSn1；第二步：檢驗(yàn)n1時(shí)，a1S1是否適合上式，若適合，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是anSnSn1；若不適合，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是總結(jié)思考 一般地，如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S

8、n=pn2+qn+r，其中p、q、r為常數(shù)，且p0，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？若是，則它的首項(xiàng)與公差分別是什么？分析：當(dāng)n1時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=p+q+r又當(dāng)n=1時(shí)，a1=2p-p+q=p+q 當(dāng)且僅當(dāng)r =0時(shí)，a1滿(mǎn)足an=2pn-p+q故只有當(dāng)r=0時(shí)該數(shù)列才是等差數(shù)列，此時(shí)首項(xiàng)a1=p+q，公差d=2p(p0)an=Sn-Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =2pn-p+q判斷以下命題是否為真命題，若為假命題請(qǐng)修繕一下條件，使之成為真命題.若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為關(guān)于n的二次函數(shù)，則該數(shù)列為等差數(shù)列.2.若數(shù)列an為等差數(shù)列，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和為

9、關(guān)于n 的二次函數(shù).探索 己知等差數(shù)列 5, 4 , 3 , 的前n項(xiàng)和為Sn, 求使得Sn最大的項(xiàng)數(shù)n的值.解:由題意知,等差數(shù)列5, 4 , 3 , 的公差為 ,所以sn= 25+(n-1)( ) = = ( n- )2+ 例2例題講解 在等差數(shù)列an中，a125，S17S9，求前n項(xiàng)和Sn的最大值【思路點(diǎn)撥】建立Sn關(guān)于n的二次函數(shù)式，利用二次函數(shù)求最小值，也可確定an0，an10時(shí)的n值，從而確定最大值變式訓(xùn)練總結(jié)課堂練習(xí)1、已知數(shù)列an中Sn=2n2+3n， 求證：an是 等差數(shù)列.2、（1）若Sn=n2-1，求an；（2）若Sn=2n2-3n， 求an.3、若等差數(shù)列an前4項(xiàng)和是2，前9項(xiàng)和是6，求其前n 項(xiàng)和的公式。的前n項(xiàng)和為 ,當(dāng)n為何值時(shí)， 最大。數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ； 已知 求：6、設(shè)等差數(shù)列4、等差數(shù)列an中，首項(xiàng)a1，S3 = S11，問(wèn)：這個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)的和最大？5、等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1 0, 前n項(xiàng)和為Sn，Sm= Sl ,問(wèn): n為何值時(shí)，Sn最大？課堂練習(xí)課堂小結(jié)1.已知Sn求an上頁(yè)下頁(yè)2.等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題 上頁(yè)下頁(yè)課后作業(yè)P45 練習(xí)