線性規(guī)劃二階段法

1、關(guān)于線性規(guī)劃的二階段法第一張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 線性規(guī)劃的人工變量法目前有兩種方法：大M法和二階段法。人工變量法在討論單純形法時，我們總是假定AXb的系數(shù)矩陣A的秩r(A)=mn,或者已有一個可行基。但是，在許多問題中，初始可行基是不容易找到的，或者A不滿秩。這樣單純形法就很難進行。所以，我們要探討如何尋找第一個可行基？第二張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月大M法（1）把原問題化為下列形式：其中M是任意大的正數(shù)第三張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月大M法（2）關(guān)于大M法的幾點注釋：(1)在引入人工變量之前，約束條件已是等式，為了這些等式得到滿足，因此在最優(yōu)

2、解中人工變量取值必須為零；為此在目標函數(shù)中人工變量的取值為充分小的負數(shù)，用“-M”代表；(2)若在單純形表中有j0，且存在非零人工變量，則原問題無可行解；若基變量中不再含有非零的人工變量，這表示原問題有解；(3)引入的人工變量個數(shù)越少越好，只要出現(xiàn)單位矩陣作為基陣即可。第四張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月大M法舉例（1）例解：將原問題化為標準形為：第五張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月大M法舉例（2）引入的人工變量個數(shù)越少越好引入人工變量y2,y30,由大M法得輔助問題為：其中大M為任意大的正數(shù)得上述輔助問題的單純形初表為：第六張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月大M法

3、舉例（3） T(B1)XB b x1 x2 x3 x4 x5 y2 y3x4 y2 y3419 -z10M 1 1 1 1 0 0 0 -2 1 -1 0 -1 1 0 0 3 1 0 0 0 1-2M-3 4M 1 0 -M 0 0 T(B2)x4 x2 y3 -z3 3 0 2 1 1 -1 0 1 -2 1 -1 0 -1 1 0 6 6 0 4 0 3 -3 1 6M6M-30 4M+1 03M-4M0人工變量優(yōu)先出基第七張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月大M法舉例（4） T(B3)XB b x1 x2 x3 x4 x5 y2 y3x4 x2 x1031 -z 30 0 0 1

4、 -1/2 1/2 -1/2 0 1 1/3 0 0 0 1/31 0 2/3 0 1/2 -1/2 1/60 0 3 0 3/2 -M-3/2 -M+1/2 T(B4)x4 x2 x3 -z00 0 0 1 -1/2 1/2 -1/2 5/2-1/2 1 0 0 -1/4 1/4 1/4 3/23/2 0 1 0 3/4 -3/4 1/4 -3/2-9/20 0 0-3/4-M+3/4 -M-1/4第八張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月大M法舉例（5）原線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解為因為在單純形表T(B4)中，非基變量檢驗數(shù)均小于等于零，且人工變量均為非基變量，取值為零，故原線性規(guī)劃問題達到

5、最優(yōu)。第九張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月線性規(guī)劃的二階段法(1)原線性規(guī)劃問題為第一階段:y1， y2， ym稱為人工變量構(gòu)造原(LP)的輔助問題第十張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月線性規(guī)劃的二階段法(2)原(LP)的輔助問題的標準形式為：輔助問題必有最優(yōu)解第十一張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月線性規(guī)劃的二階段法(初始單純形表1)輔助問題的標準形式的系數(shù)矩陣為：第十二張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月線性規(guī)劃的二階段法(初始單純形表2)用單純形法求解,最終得到輔助問題的最優(yōu)單純形表T(B*)第十三張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月二階段法的計算步

6、驟:第二步 若 w*0,則原線性規(guī)劃無可行解,停止求解,否則轉(zhuǎn)第三步.第一步 用單純形法求輔助問題的最優(yōu)單純形表T(B*)和最優(yōu)值w*. 第三步 T(B*)中基變量中不含人工變量y,則把T(B*)中人工變量所在列劃去,把檢驗數(shù)行用原規(guī)劃的目標函數(shù)的系數(shù)替代再把基變量的檢驗數(shù)化為0,即得原規(guī)劃的一個可行基的單純形表.再用單純形法迭代,直到終止.否則轉(zhuǎn)第四步. 第四步 w*=0,T(B*)中基變量中含有人工變量yr,若yr所在行的對應(yīng)的X系數(shù)全為0 ,則劃去T(B*)中yr所在行和所在的列,轉(zhuǎn)第三步。否則以某變量xS的系數(shù)brs0為軸心項進行換基迭代后轉(zhuǎn)第三步。 第十四張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于

7、2022年6月線性規(guī)劃的二階段法舉例（1）例1. 用二階段法求解下列(LP)問題 解: 化原問題為標準形式 則第一階段的輔助問題為 第十五張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月線性規(guī)劃的二階段法舉例（1-2） 輔助問題的標準形式為 第十六張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月線性規(guī)劃的二階段法舉例（例1-3）則輔助問題的單純表 T(B1)XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 y2 y3x4 y2 y3643 w 7 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 -1 0 1 0 0 1 -1 0 0 -1 0 1 1 1 -2 0 -1 -1 0 0 T(B2)x4 x1

8、y3 w2 0 1 2 1 1 0 -1 04 1 0 -1 0 -1 0 1 03 0 1 -1 0 0 -1 0 1 301 -1 0 0-1-10第十七張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月二階段法舉例（例1-4） T(B2)x4 XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 y2 y3x1 y3 w2 0 1 2 1 1 0 -1 04 1 0 -1 0 -1 0 1 03 0 1 -1 0 0 -1 0 1 30 1 -1 00 -1-10 x2 T(B3)x1y3w2 0 1 2 1 1 0 -1 04 1 0 -1 0 -1 0 1 01 0 0 -3 -1 -1 -1 1

9、1 1 0 0 -3 -1 -1 -1 0 0 因為輔助問題的最優(yōu)值W*=10，則原問題無可行解。第十八張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月線性規(guī)劃的二階段法 例2-1例2 用二階段法解線性規(guī)劃 解:引進人工變量y20，建立第一階段的輔助問題為 第十九張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月線性規(guī)劃的二階段法舉例（例2-2） 輔助問題的標準形式為 則第一階段的初始單純形表 為T（B1）第二十張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月 XB b x1 x2 x3 x4 y2 x2 y2 2 31/2 1 1/2 -2/3 0 3/2 0 3/4 0 1 w 33/2 0 3/4 0 0例

10、2-3 T(B1) x2 x1w 1 0 1 1/4 -2/3 -1/321 0 1/2 0 2/3 00000 T(B2)-1第二十一張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例2-4得w*=0，且基變量中不含有人工變量，則劃去T(B2)中y2所在列,把檢驗數(shù)行用原問題的目標函數(shù)的系數(shù)替代再把基變量的檢驗數(shù)化為0,即得第二階段的初始單純形表. T(B2)c-4-300 XB b x1 x2 x3 x4 y2 x2 x1 1 20 1 1/4 -2/3 -1/3 1 0 1/2 0 2/3 w 00 0 0 0 -1-z 11 0 0 11/4 -2 第二十二張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于202

11、2年6月例2-5則原問題的一個初始單純形表如下x2 x1 12 0 1 1/4 -2/3 1 0 1/2 0 -z 0 0 11/4 -2 XBb x1 x2 x3 x4 x2 x3 -z 110-1/2 1 0 -2/3 4 2 0 1 0 0-11/2 0 0 -2 原問題最優(yōu)解X*=(0,0,4,0)T原問題最優(yōu)值為z*=0第二十三張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例3-1例3 用二階段法解下列線性規(guī)劃 解: 該問題的標準形式為：第二十四張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月線性規(guī)劃的二階段法舉例（例3-2） 輔助問題的標準形式為 則第一階段的單純形初表為T（B1）引進人工變

12、量y1,y2,y3，建立第一階段的輔助問題為：第二十五張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例3-3 XB b x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y1 y2 y3 1 2 1-1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 0 -1 1 0 0 1 w 4 2 2 0 2 0 0 0 T(B1)y1 y2w3/2 0 1 1/2 1/2 1 0 1/23/20 1 1/2 1/2 0 1 -1/2 3021 10 T(B2)0 x11/2 1 0 -1/2 1/2 0 0 1/2 -1第二十六張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例3-4 XB bx1 x2 x3

13、x4 y1 y2 y3 y1 y2 x1 3/2 3/2 1/2 0 1 1/2 1/2 1 0 1/2 0 1 1/2 1/2 0 1 -1/2 1 0 -1/2 1/2 0 0 1/2 w 3 0 2 1 1 0 0 -1 T(B2)x2 y2w3/2 0 1 1/2 1/2 1 0 1/200 0 0 0 -1 1 -1 0000 00 T(B3)0 x11/21 0 -1/2 1/2 0 0 1/2 -2第二十七張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例3-5x2 y2w3/2 0 1 1/2 1/2 1 0 1/200 0 0 0 -1 1 -1 000 0 00 T(B3)0 x

14、11/21 0 -1/2 1/2 0 0 1/2 -2 c 2 100得w*=0，T(B3)中基變量中含有人工變量y2,且y2所在行的對應(yīng)的X系數(shù)全為0 ,則劃去T(B3)中y2所在行，此時，基變量中不再含有人工變量，則劃去T(B3)中人工變量所在列,把檢驗數(shù)行用原問題的標準形式的目標函數(shù)的系數(shù)替代再把基變量的檢驗數(shù)化為0,即得第二階段的初始單純形表.XBb x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3第二十八張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月例3-6 XB bx1 x2 x3 x4 x2 x1 3/2 1/20 1 1/2 1/2 1 0 -1/2 1/2 c 0 2 1 0 0 T(B3) T(B4)z00-5/21/2-3/2x3x1320 2 1 11 1 0 1 z-40 -1 0 -2原最優(yōu)解X*=(2,0,3,0)T最優(yōu)值為z*=-4第二十九張，PPT共三十二頁，創(chuàng)作于2022年6月Yes Yes NO NO Yes NO 二階段法的框圖表示為如下:開始w*