通信原理課件第4節(jié)-3章2

1、1通信原理第3章 隨機(jī)過(guò)程2第3章 隨機(jī)過(guò)程3.3 高斯隨機(jī)過(guò)程（正態(tài)隨機(jī)過(guò)程）定義：高斯過(guò)程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為式中a 均值 2 方差曲線如右圖：3第3章 隨機(jī)過(guò)程重要性質(zhì)由高斯過(guò)程的定義式可以看出,高斯過(guò)程的分布只依賴各個(gè)隨機(jī)變量的均值、方差和歸一化協(xié)方差。因此，對(duì)于高斯過(guò)程，只需要研究它的數(shù)字特征就可以了。廣義平穩(wěn)的高斯過(guò)程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因?yàn)椋舾咚惯^(guò)程是廣義平穩(wěn)的，即其均值與時(shí)間無(wú)關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，則它的分布也與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，故它也是嚴(yán)平穩(wěn)的。所以，高斯過(guò)程若是廣義平穩(wěn)的，則也嚴(yán)平穩(wěn)。4第3章

2、 隨機(jī)過(guò)程如果高斯過(guò)程在不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。高斯過(guò)程經(jīng)過(guò)線性變換后生成的過(guò)程仍是高斯過(guò)程。也可以說(shuō)，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過(guò)程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過(guò)程。5第3章 隨機(jī)過(guò)程 3.3.3 高斯隨機(jī)變量定義：高斯過(guò)程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，也稱高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為式中a 均值 2 方差曲線如右圖：6第3章 隨機(jī)過(guò)程性質(zhì)f (x)對(duì)稱于直線 x = a，即 a表示分布中心， 稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著 的減小而變高和變窄。當(dāng)a = 0和 = 1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布：7第3章 隨機(jī)過(guò)程正態(tài)分布函數(shù)這個(gè)積分的值無(wú)法用閉合形式計(jì)

3、算，通常利用其他特殊函數(shù)，用查表的方法求出：用誤差函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：令 則有 及 式中 誤差函數(shù)，可以查表求出其值。一維概率密度函數(shù)01/28第3章 隨機(jī)過(guò)程用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示正態(tài)分布函數(shù)： 式中9第3章 隨機(jī)過(guò)程用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：Q函數(shù)定義：Q函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：Q函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：Q函數(shù)值也可以從查表得到。引入她的原因？上述這幾個(gè)函數(shù)在分析通信系統(tǒng)噪聲特性時(shí)將會(huì)經(jīng)常用到。10第3章 隨機(jī)過(guò)程3.5 窄帶隨機(jī)過(guò)程 什么是窄帶隨機(jī)過(guò)程？ 若隨機(jī)過(guò)程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對(duì)窄的頻帶范圍f 內(nèi)，即滿足f fc的條件，且 fc 遠(yuǎn)離零頻率，

4、則稱該(t)為窄帶隨機(jī)過(guò)程。 11第3章 隨機(jī)過(guò)程典型的窄帶隨機(jī)過(guò)程的譜密度和樣本函數(shù) 12第3章 隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程的表示式式中，a (t) 隨機(jī)包絡(luò)， (t) 隨機(jī)相位 c 中心角頻率顯然， a (t)和 (t)的變化相對(duì)于載波cos ct的變化要緩慢得多。13第3章 隨機(jī)過(guò)程窄帶隨機(jī)過(guò)程表示式展開(kāi)可以展開(kāi)為式中 (t)的同相分量 (t)的正交分量可以看出：(t)的統(tǒng)計(jì)特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。若(t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。 1415第3章 隨機(jī)過(guò)程3.5.1 c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性結(jié)論：

5、 一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程(t) ，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過(guò)程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻上得到的c和s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 （1）其均值與t無(wú)關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)16第3章 隨機(jī)過(guò)程3.5.2 a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性結(jié)論一個(gè)均值為零，方差為2的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程(t)，其包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，相位(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言， a(t)與(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 ，即有 17第3章 隨機(jī)過(guò)程a的一維概率密度函數(shù)可見(jiàn)， a服從瑞利(Rayleigh)分布。18第3章 隨機(jī)過(guò)程的一維概

6、率密度函數(shù)可見(jiàn)， 服從均勻分布。19第3章 隨機(jī)過(guò)程3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲的表示式式中 窄帶高斯噪聲 正弦波的隨機(jī)相位，均勻分布在0 2間 A和c 確知振幅和角頻率于是有式中20第3章 隨機(jī)過(guò)程正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位表示式包絡(luò)：相位：21第3章 隨機(jī)過(guò)程正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性包絡(luò)的概率密度函數(shù) f (z)利用上一節(jié)的結(jié)果，如果值已給定，則zc、zs是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，且有所以，在給定相位 的條件下的zc和zs的聯(lián)合概率密度函數(shù)為n(t)均值為零，方差也相同二維高斯分布，見(jiàn)公式3.3.1(P45)22第3章 隨機(jī)過(guò)程利用與上一節(jié)分析a和相似

7、的方法，根據(jù)zc，zs與z，之間的隨機(jī)變量關(guān)系可以求得在給定相位 的條件下的z與的聯(lián)合概率密度函數(shù)然后求給定條件下的邊際分布， 即23第3章 隨機(jī)過(guò)程由于故有式中I0(x) 第一類零階修正貝塞爾函數(shù)因此由上式可見(jiàn)，f (, z)與無(wú)關(guān)，故的包絡(luò)z的概率密度函數(shù)為稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯（Rice）分布。 24第3章 隨機(jī)過(guò)程討論當(dāng)信號(hào)很小時(shí)，即A 0時(shí)，上式中(Az/n2)很小，I0 (Az/n2) 1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。當(dāng)(Az/n2)很大時(shí)，有這時(shí)上式近似為高斯分布，即25第3章 隨機(jī)過(guò)程包絡(luò)概率密度函數(shù) f (z)曲線26第3章 隨機(jī)過(guò)程正弦波加窄帶高斯噪聲的相位的統(tǒng)計(jì)特性

8、F()27第3章 隨機(jī)過(guò)程3.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲白噪聲n (t)定義：功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)的噪聲，即 雙邊功率譜密度或 單邊功率譜密度式中 n0 正常數(shù)白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：對(duì)雙邊功率譜密度取傅里葉反變換，得到相關(guān)函數(shù)：系統(tǒng)熱噪聲-白噪聲取值服從高斯分布28第3章 隨機(jī)過(guò)程白噪聲和其自相關(guān)函數(shù)的曲線：29第3章 隨機(jī)過(guò)程白噪聲的功率由于白噪聲的帶寬無(wú)限，其平均功率為無(wú)窮大，即或因此，真正“白”的噪聲是不存在的，它只是構(gòu)造的一種理想化的噪聲形式。 實(shí)際中，只要噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。如果白噪聲取值的概率分布服從高斯分布，

9、則稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的隨機(jī)變量之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 30第3章 隨機(jī)過(guò)程低通白噪聲定義：如果白噪聲通過(guò)理想矩形的低通濾波器或理想低通信道，則輸出的噪聲稱為低通白噪聲。 功率譜密度由上式可見(jiàn)，白噪聲的功率譜密度被限制在| f | fH內(nèi)，通常把這樣的噪聲也稱為帶限白噪聲。 自相關(guān)函數(shù)31第3章 隨機(jī)過(guò)程功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)曲線由曲線看出，這種帶限白噪聲只有在上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。 32第3章 隨機(jī)過(guò)程帶通白噪聲定義：如果白噪聲通過(guò)理想矩形的帶通濾波器或理想帶通信道，則其輸出的噪聲稱為帶通白噪聲。 功率譜密度設(shè)理想帶通濾波器的傳輸特性為式中fc 中心頻率，B 通帶寬度則其