冪級數(shù)以及其收斂性

1、關(guān)于冪級數(shù)及其收斂性課件第一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月一般形式為冪級數(shù)，冪級數(shù)更一般的形式為它顯然可以通過變量代換 y = x - x0 方法化為式 .一、冪級數(shù)及其收斂性第二張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 則稱冪級數(shù)為不缺項(xiàng)的，否則稱為缺項(xiàng)的冪級數(shù).例如冪級數(shù)缺 x 的奇次冪，叫缺項(xiàng)的冪級數(shù)，又如是不缺項(xiàng)的冪級數(shù).第三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定理 如果 該冪級數(shù)收斂;該冪級數(shù)發(fā)散.記作 R , R=. 即第四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 因?yàn)樗灰欢ㄊ钦?xiàng)級數(shù)，證 若將 x 看成是一個(gè)確定的值，那么就得到一個(gè)數(shù)項(xiàng)級數(shù)， 為此，我們可

2、對冪級數(shù)的各項(xiàng)取絕對值，得這是一個(gè)正項(xiàng)級數(shù).運(yùn)用比值審斂法.因?yàn)榈谖鍙垼琍PT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月也就是說顯然，此時(shí)所給冪級數(shù)各項(xiàng)的絕對值越來越大，一般項(xiàng)不趨近于零 . 由級數(shù)收斂的必要條件可知該冪級數(shù)發(fā)散.因此它必然收斂 .第六張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 可運(yùn)用上述定理求收斂半徑例 2 試求冪級數(shù)的收斂區(qū)間 .解 所給的冪級數(shù)為不缺項(xiàng)的， 它是發(fā)散的.此為調(diào)和級數(shù)，第七張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第八張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 例 3求冪級解所給冪級數(shù)缺少 x 的奇次冪項(xiàng)， 對此正項(xiàng)級數(shù)利用比值審斂法因此不能直接利用公式求收斂半徑 R

3、.是一個(gè)缺項(xiàng)冪級數(shù)，第九張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 所求冪級數(shù)絕對收斂 . 第十張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 冪級數(shù)收斂 . 例 4 解運(yùn)用正項(xiàng)級數(shù)的比值審斂法 .第十一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月區(qū)間端點(diǎn)處:當(dāng) x = 0 時(shí)，第十二張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月一、 麥克勞林 (Maclaurin) 公式二、 直接展開法三、 間接展開法8.2.2、 函數(shù)的冪級數(shù)展開第十三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月泰勒 (Taylor) 公式 如果函數(shù) f(x) 在 x = x0有直到 (n + 1) 階的導(dǎo)數(shù)， 則在這個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有如下公

4、式 :一、 麥克勞林(Maclaurin)公式第十四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 其中稱為拉格朗日型余項(xiàng) . 式稱為泰勒公式 .就得到第十五張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 式稱為麥克勞林公式 .冪級數(shù)我們稱之為麥克勞林級數(shù) . 那么它是否以函數(shù) f(x) 為和函數(shù)呢 ?第十六張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月即那么， 級數(shù) 收斂于函數(shù) f(x) 的條件為若令麥克勞林級數(shù) 的前n + 1 項(xiàng)和為第十七張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 注意到麥克勞林公式 與麥克勞林級數(shù) 的關(guān)系，可知于是，當(dāng)時(shí)，有反之，若必有第十八張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6

5、月這表明，麥克勞林級數(shù) 以 f(x) 為和函數(shù)的充要條件，這樣，我們就得到了函數(shù) f(x) 的冪級數(shù)展開式 ：第十九張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 也表示了函數(shù)的冪級數(shù)展開式是唯一的 .它就是函數(shù) f(x) 的冪級數(shù)表達(dá)式 .冪級數(shù) :稱為泰勒級數(shù) .第二十張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 利用麥克勞林公式將函數(shù) f(x) 展開成冪級數(shù)的方法，稱為直接展開法 .解例 1試將函數(shù) f(x) = ex 展開成 x 的冪級數(shù).可以得到二、 直接展開法第二十一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月因此我們可以得到冪級數(shù)顯然，這個(gè)冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 (,+ ) .因?yàn)榈诙?/p>

6、，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月注意到，對任一確定的 x 值，而級數(shù) 是絕對收斂的， 因此其一般項(xiàng)當(dāng) n 時(shí)，所以，當(dāng)n 時(shí), 第二十三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月由此可知因此有,e)( xxf=確實(shí)收斂于這表明級數(shù)第二十四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解于是可以得到冪級數(shù)例 2 試將第二十五張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月且它的收斂區(qū)間為 因?yàn)樗o函數(shù)的麥克勞林公式的余項(xiàng)為所以可以推知第二十六張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月因此得到第二十七張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解而 所以根據(jù)冪級數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)的法則，可得例 3 試求函數(shù)

7、三、 間接展開法第二十八張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月因?yàn)閮缂墧?shù)逐項(xiàng)積分后收斂半徑不變， 所以，上式右端級數(shù)的收斂半徑仍為 R = 1; 故收斂域?yàn)?1 x 1 . 當(dāng) x = 1 時(shí)，該級數(shù)收斂 . 而當(dāng) x = 1 時(shí)該級數(shù)發(fā)散，第二十九張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解 因?yàn)槔?6 試將函數(shù) x 的冪級數(shù) .展開成第三十張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月所以且第三十一張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 根據(jù)冪級數(shù)和的運(yùn)算法則，其收斂半徑應(yīng)取較小的一個(gè)，故 R = 1， 因此所得冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 1 x 1 .第三十二張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月解 令 x 1 = y ， 則 x = y + 1，代入得例 7 將函數(shù)收斂區(qū)間為 (0 , 2) .所以因第三十三張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例 8 試將函數(shù)解則原題就轉(zhuǎn)化成將函數(shù) 于是有第三十四張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十五張，PPT共三十八頁，創(chuàng)作于202