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1、.:.;.當(dāng)知道了兩者任務(wù)效率之比,從比例角度思索問(wèn)題,也 需時(shí)間是 因此,在下面例題的講述中,不完全采用通常教科書(shū)中“把任務(wù)量設(shè)為整體1的做法,而偏重于“整數(shù)化或“從比例角度出發(fā),也許會(huì)使我們的解題思緒更靈敏一些. 一、兩個(gè)人的問(wèn)題 標(biāo)題上說(shuō)的“兩個(gè)人,也可以是兩個(gè)組、兩個(gè)隊(duì)等等的兩個(gè)集體. 例1 一件任務(wù),甲做9天可以完成,乙做6天可以完成。如今甲先做了3天,余下的任務(wù)由乙繼續(xù)完成,乙需求做幾天可以完成全部任務(wù)? 解一:把這件任務(wù)看作1,甲每天可完成這件任務(wù)的九分之一,做3天完成的1/3。 乙每天可完成這件任務(wù)的六分之一,1-1/31/6=4天 答:乙需求做4天可完成全部任務(wù). 解二:9與
2、6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部任務(wù)量是18份.甲每天完成2份,乙每天完成3份.乙完成余下任務(wù)所需時(shí)間是 18- 2 3 3= 4天. 解三:甲與乙的任務(wù)效率之比是 6 9= 2 3. 甲做了3天,相當(dāng)于乙做了2天.乙完成余下任務(wù)所需時(shí)間是6-2=4天. 例2 一件任務(wù),甲、乙兩人協(xié)作30天可以完成,共同做了6天后,甲分開(kāi)了,由乙繼續(xù)做了40天才完成.假設(shè)這件任務(wù)由甲或乙單獨(dú)完成各需求多少天? 解:共做了6天后, 原來(lái),甲做 24天,乙做 24天, 如今,甲做0天,乙做40=24+16天. 這闡明原來(lái)甲24天做的任務(wù),可由乙做16天來(lái)替代.因此甲的任務(wù)效率 假設(shè)乙獨(dú)做,所需時(shí)間是 50天 假設(shè)甲獨(dú)
3、做,所需時(shí)間是 75天 答:甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是75天和50天. 例3 某工程先由甲獨(dú)做63天,再由乙單獨(dú)做28天即可完成;假設(shè)由甲、乙兩人協(xié)作,需48天完成.如今甲先單獨(dú)做42天,然后再由乙來(lái)單獨(dú)完成,那么乙還需求做多少天? 解:先對(duì)比方下: 甲做63天,乙做28天; 甲做48天,乙做48天. 就知道甲少做63-48=15天,乙要多做48-28=20天,由此得出甲的 甲先單獨(dú)做42天,比63天少做了63-42=21天,相當(dāng)于乙要做 因此,乙還要做 28+28= 56 天. 答:乙還需求做 56天. 例4 一件工程,甲隊(duì)單獨(dú)做10天完成,乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.如今兩隊(duì)協(xié)作,其間甲隊(duì)休憩了2
4、天,乙隊(duì)休憩了8天不存在兩隊(duì)同一天休憩.問(wèn)開(kāi)場(chǎng)到完工共用了多少天時(shí)間? 解一:甲隊(duì)單獨(dú)做8天,乙隊(duì)單獨(dú)做2天,共完成任務(wù)量 余下的任務(wù)量是兩隊(duì)共同協(xié)作的,需求的天數(shù)是 2+8+ 1= 11天. 答:從開(kāi)場(chǎng)到完工共用了11天. 解二:設(shè)全部任務(wù)量為30份.甲每天完成3份,乙每天完成1份.在甲隊(duì)單獨(dú)做8天,乙隊(duì)單獨(dú)做2天之后,還需兩隊(duì)協(xié)作 30- 3 8- 1 23+1= 1天. 解三:甲隊(duì)做1天相當(dāng)于乙隊(duì)做3天. 在甲隊(duì)單獨(dú)做 8天后,還余下甲隊(duì) 10-8= 2天任務(wù)量.相當(dāng)于乙隊(duì)要做23=6天.乙隊(duì)單獨(dú)做2天后,還余下乙隊(duì)6-2=4天任務(wù)量. 4=3+1, 其中3天可由甲隊(duì)1天完成,因此兩隊(duì)只
5、需再協(xié)作1天. 例5 一項(xiàng)工程,甲隊(duì)單獨(dú)做20天完成,乙隊(duì)單獨(dú)做30天完成.如今他們兩隊(duì)一同做,其間甲隊(duì)休憩了3天,乙隊(duì)休憩了假設(shè)干天.從開(kāi)場(chǎng)到完成共用了16天.問(wèn)乙隊(duì)休憩了多少天? 解一:假設(shè)16天兩隊(duì)都不休憩,可以完成的任務(wù)量是 12016+13016=4/3 由于兩隊(duì)休憩期間未做的任務(wù)量是4/3-1=1/3 乙隊(duì)休憩期間未做的任務(wù)量是 1/3-1/203=11/60 乙隊(duì)休憩的天數(shù)是 11/60(1/30)=11/2 答:乙隊(duì)休憩了5天半. 解二:設(shè)全部任務(wù)量為60份.甲每天完成3份,乙每天完成2份. 兩隊(duì)休憩期間未做的任務(wù)量是 3+216- 60= 20份. 因此乙休憩天數(shù)是 20-
6、3 3 2= 5.5天. 解三:甲隊(duì)做2天,相當(dāng)于乙隊(duì)做3天. 甲隊(duì)休憩3天,相當(dāng)于乙隊(duì)休憩4.5天. 假設(shè)甲隊(duì)16天都不休憩,只余下甲隊(duì)4天任務(wù)量,相當(dāng)于乙隊(duì)6天任務(wù)量,乙休憩天數(shù)是 16-6-4.5=5.5天. 例6 有甲、乙兩項(xiàng)任務(wù),張單獨(dú)完成甲任務(wù)要10天,單獨(dú)完成乙任務(wù)要15天;李單獨(dú)完成甲任務(wù)要 8天,單獨(dú)完成乙任務(wù)要20天.假設(shè)每項(xiàng)任務(wù)都可以由兩人協(xié)作,那么這兩項(xiàng)任務(wù)都完成最少需求多少天? 解:很明顯,李做甲任務(wù)的任務(wù)效率高,張做乙任務(wù)的任務(wù)效率高.因此讓李先做甲, HYPERLINK baike.baidu/view/9725.htm t _blank 張先做乙. 設(shè)乙的任務(wù)量
7、為60份15與20的最小公倍數(shù),張每天完成4份,李每天完成3份. 8天,李就能完成甲任務(wù).此時(shí)張還余下乙任務(wù)60-48份.由張、李協(xié)作需求 60-484+3=4天. 8+4=12天. 答:這兩項(xiàng)任務(wù)都完成最少需求12天. 例7 一項(xiàng)工程,甲獨(dú)做需10天,乙獨(dú)做需15天,假設(shè)兩人協(xié)作,他 要8天完成這項(xiàng)工程,兩人協(xié)作天數(shù)盡能夠少,那么兩人要協(xié)作多少天? 解:設(shè)這項(xiàng)工程的任務(wù)量為30份,甲每天完成3份,乙每天完成2份. 兩人協(xié)作,共完成 3 0.8 + 2 0.9= 4.2份. 由于兩人協(xié)作天數(shù)要盡能夠少,獨(dú)做的應(yīng)是任務(wù)效率較高的甲.由于要在8天內(nèi)完成,所以?xún)扇藚f(xié)作的天數(shù)是 30-384.2-3=
8、5天. 很明顯,最后轉(zhuǎn)化成“ HYPERLINK baike.baidu/view/325901.htm t _blank 雞兔同籠型問(wèn)題. 例8 甲、乙協(xié)作一件任務(wù),由于配合得好,甲的任務(wù)效率比單獨(dú)做時(shí)快 假設(shè)這件任務(wù)一直由甲一人單獨(dú)來(lái)做,需求多少小時(shí)? 解:乙6小時(shí)單獨(dú)任務(wù)完成的任務(wù)量是 乙每小時(shí)完成的任務(wù)量是 兩人協(xié)作6小時(shí),甲完成的任務(wù)量是 甲單獨(dú)做時(shí)每小時(shí)完成的任務(wù)量 甲單獨(dú)做這件任務(wù)需求的時(shí)間是 答:甲單獨(dú)完成這件任務(wù)需求33小時(shí). 這一節(jié)的多數(shù)例題都進(jìn)展了“整數(shù)化的處置.但是,“整數(shù)化并不能使一切工程問(wèn)題的計(jì)算簡(jiǎn)便. 例8就是如此.例8也可以整數(shù)化,當(dāng)求出乙每 有一點(diǎn)方便,但益處
9、不大.不用多此一舉. 二、多人的工程問(wèn)題 我們說(shuō)的多人,至少有3個(gè)人,當(dāng)然多人問(wèn)題要比2人問(wèn)題復(fù)雜一些,但是解題的根本思緒還是差不多. 例9 一件任務(wù),甲、乙兩人協(xié)作36天完成,乙、丙兩人協(xié)作45天完成,甲、丙兩人協(xié)作要60天完成.問(wèn)甲一人獨(dú)做需求多少天完成? 解:設(shè)這件任務(wù)的任務(wù)量是1. 甲、乙、丙三人協(xié)作每天完成 減去乙、丙兩人每天完成的任務(wù)量,甲每天完成 答:甲一人獨(dú)做需求90天完成. 例9也可以整數(shù)化,設(shè)全部任務(wù)量為180份,甲、乙協(xié)作每天完成5份,乙、丙協(xié)作每天完成4份,甲、丙協(xié)作每天完成3份.請(qǐng)?jiān)囈辉?,?jì)算能否會(huì)方便些? 例10 一件任務(wù),甲獨(dú)做要12天,乙獨(dú)做要18天,丙獨(dú)做要2
10、4天.這件任務(wù)由甲先做了假設(shè)干天,然后由乙接著做,乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍,再由丙接著做,丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍,終于做完了這件任務(wù).問(wèn)總共用了多少天? 解:甲做1天,乙就做3天,丙就做32=6天. 闡明甲做了2天,乙做了23=6天,丙做26=12(天,三人一共做了 2+6+12=20天. 答:完成這項(xiàng)任務(wù)用了20天. 此題整數(shù)化會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的方便.12,18,24這三數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部任務(wù)量為72.甲每天完成6,乙每天完成4,丙每天完成3.總共用了 例11 一項(xiàng)工程,甲、乙、丙三人協(xié)作需求13天完成.假設(shè)丙休憩2天,乙就要多做4天,或者由甲、乙兩人協(xié)作1天.問(wèn)
11、這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需求多少天? 解:丙2天的任務(wù)量,相當(dāng)乙4天的任務(wù)量.丙的任務(wù)效率是乙的任務(wù)效率的42=2倍,甲、乙協(xié)作1天,與乙做4天一樣.也就是甲做1天,相當(dāng)于乙做3天,甲的任務(wù)效率是乙的任務(wù)效率的3倍. 他們共同做13天的任務(wù)量,由甲單獨(dú)完成,甲需求 答:甲獨(dú)做需求26天. 現(xiàn)實(shí)上,當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人任務(wù)效率之比是321,就知甲做1天,相當(dāng)于乙、丙協(xié)作1天.三人協(xié)作需13天,其中乙、丙兩人完成的任務(wù)量,可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來(lái)完成. 例12 某項(xiàng)任務(wù),甲組3人8天能完成任務(wù),乙組4人7天也能完成任務(wù).問(wèn)甲組2人和乙組7人協(xié)作多少時(shí)間能完成這項(xiàng)任務(wù)? 解一:設(shè)這項(xiàng)任務(wù)的任務(wù)量是1. 甲
12、組每人每天能完成 乙組每人每天能完成 甲組2人和乙組7人每天能完成 答:協(xié)作3天能完成這項(xiàng)任務(wù). 解二:甲組3人8天能完成,因此2人12天能完成;乙組4人7天能完成,因此7人4天能完成. 如今已不需顧及人數(shù),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為: 甲組獨(dú)做12天,乙組獨(dú)做4天,問(wèn)協(xié)作幾天完成? 小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈敏運(yùn)用的典型,假設(shè)他心算較好,很快就能得出答數(shù). 例13 制造一批零件,甲車(chē)間要10天完成,假設(shè)甲車(chē)間與乙車(chē)間一同做只需6天就能完成.乙車(chē)間與丙車(chē)間一同做,需求8天才干完成.如今三個(gè)車(chē)間一同做,完成后發(fā)現(xiàn)甲車(chē)間比乙車(chē)間多制造零件2400個(gè).問(wèn)丙車(chē)間制造了多少個(gè)零件? 解一:仍設(shè)總?cè)?/p>
13、務(wù)量為1. 甲每天比乙多完成 因此這批零件的總數(shù)是 丙車(chē)間制造的零件數(shù)目是 答:丙車(chē)間制造了4200個(gè)零件. 解二:10與6最小公倍數(shù)是30.設(shè)制造零件全部任務(wù)量為30份.甲每天完成 3份,甲、乙一同每天完成5份,由此得出乙每天完成2份. 乙、丙一同,8天完成.乙完成82=16份,丙完成30-16=14份,就知 乙、丙任務(wù)效率之比是1614=87. 知 甲、乙任務(wù)效率之比是 32= 128. 綜合一同,甲、乙、丙三人任務(wù)效率之比是 1287. 當(dāng)三個(gè)車(chē)間一同做時(shí),丙制造的零件個(gè)數(shù)是 240012- 8 7= 4200個(gè). 例14 搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物,甲需求10小時(shí),乙需求12小時(shí),丙需求15小時(shí).有同樣的倉(cāng)庫(kù)A和B,甲在A倉(cāng)庫(kù)、乙在B倉(cāng)庫(kù)同時(shí)開(kāi)場(chǎng)搬運(yùn)貨物,丙開(kāi)場(chǎng)協(xié)助 甲搬運(yùn),中途又轉(zhuǎn)向協(xié)助 乙搬運(yùn).最后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)貨物同時(shí)搬完.問(wèn)丙協(xié)助 甲、乙各多少時(shí)間? 解:設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物的任
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