拋物線的雙切線模型及應(yīng)用

1、基于阿基米德三角形的 2021乙卷壓軸題分析（2021 全國(guó)乙卷21）已知拋物線C:x2 2py(p 0)的焦點(diǎn)F ，且F 與圓M :x2 (y4)2 1上的點(diǎn)的最短距離為4.（1）求 p；（2）若點(diǎn)P在M 上，,為C的切線，切點(diǎn)為 ,B，求面積的最大值.解：（1） p x2 4y（過(guò)程略）.x P( 0,y )， ( 1,y B(x ,y ) 1 x xx A x ：y y 1 ( ) :0 1 2 2 12 xy y2 2 (xx )，最后將點(diǎn)P(0,y )分別代入上面方程中可得：2 02x x0 1x x0 22(y02(y0y )01 的方程為： 0 x2(y y )0 x .那么聯(lián)立

2、 與0y )02x x2(y y )00 0 2拋物線方程可得： x 2x x 4y 00 0 x 4y2，則x 1 x 2x2 01x 4y | | 1 ( ) 4 (4 4 ) 2 x x x x x x y P到直k 2 2 22 0 1 2 1 2 0 0 0|x 4y |2線 的距離為d d . 故0 0 x 42031 ( 4 )20 y2S | |d .由于點(diǎn)P在02 23 ( 0 2y 12y )2圓M 0 y 8y y0 ，2 2S 0 0 0 2故當(dāng) 0 5 S .y 時(shí)，( ) 5如圖，假設(shè)拋物線方程為x2 2py(p 0)， 過(guò)1拋物線準(zhǔn)線py 上一點(diǎn)P(0,y )向拋

3、物線引兩條切線，切點(diǎn)分別記為 ,B02(1,y ),(x ,y . 則以點(diǎn)P和兩切點(diǎn) ,B圍成的三角形中，有如下的常見(jiàn)結(jié)論:) 1 2 2結(jié)論1.直線 過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F .證明：參見(jiàn)下面的例1.y y結(jié)論2.直線 的方程為0 2 p(y y)x p 0 .02證明：參見(jiàn)下面的例1.也可由極點(diǎn)與極線得到.x x2 2進(jìn)一步，設(shè) ,B：(x , , )，1 (x 21 p22p 2x x2 21 22p 2p x x則 .k 1 2 2x x p1 2則x x x2: y xx x x xx x 1 1 ( ) :2 ( ) ，顯然由于 過(guò)焦點(diǎn)21 1 2 1 22p 2pp)2，代入可得1x p

4、2.我們得到了拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)之間的基本關(guān)系.2上述結(jié)論的逆向也成立，即：結(jié)論 3.過(guò)F 的直線與拋物線交于 ,B兩點(diǎn)，以 ,B分別為切點(diǎn)做兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)P(0,y )的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線.0 A點(diǎn)的切線方程為 ( ) 2x p y y1x p y y B點(diǎn)的切線方程為x ( )1 2相除可得：1 x py y y x y x x 2 .這就證明了該結(jié)論.1 y 2 1 1y 1 2x y y x x 2p 22 2 1 2結(jié)論4. .證明：由結(jié)論 3，kx ，k0pp py y 0 2x 0y 12 0 .那么k k 0 1 .x p x p 20 0結(jié)論5. .證明：

5、kx x 1 ,k ,則2p pkx x x xk 2 2 .由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可知 1 1 2p p p2x x1x p ，代入上式即可得 12k k 2 1 ，故 . 2 2p結(jié)論6.直線 的中點(diǎn)為M ，則 平行于拋物線的對(duì)稱軸.證明：由結(jié)論3 的證明可知，過(guò)點(diǎn) ,B的切線的交點(diǎn)P在拋物線準(zhǔn)線上.且P 的坐標(biāo)為x x x x( 1 2 , 1 22 2p)，顯然 平行于拋物線的對(duì)稱軸.例 2（2019 年全國(guó)三卷）已知曲線：y=x22，D 為直線y=1 上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò) D 作C 的兩2條切線，切點(diǎn)分別為，B.1）證明：直線 過(guò)定點(diǎn)：522以E，)為圓心的圓與直線 ADBE的面積.(1)證明

6、：設(shè) 1t, ), 21 1(x ,y ),則 y x2又因?yàn)?y x2，所以 x.1 1 1 12 2故1y x (x t)，整理得1 1 12tx 2y 10.1 1設(shè)B(x ,y )，同理得2 2tx 2y 10.2 2(x ,y ),B(x ,y )都滿足直線方程2y10.1 1 2 2于是直線2y10過(guò)點(diǎn) ,B，而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線 方程為2y10即(2y 0， 1 ) 2當(dāng)2x2y10時(shí)等式恒成立所以直線 恒過(guò)定點(diǎn).（2）由（）得直線 的方程為1y tx .2y tx由x2 y 212，可得x2 10，于是x x t x x y y t x x t 1 2 2 ,

7、1 2 1 2 ( 1 2) 1 2 123| 1t |x x 1t (x x ) 4xx t .2 2 2 21 2 1 2 1 221,d2分別為點(diǎn)D,E到直線 的距離，則d t d 2設(shè)1 2 2t 1.1因此，四邊形 ADBE的面積 S | | d d t 3 t 1. 2 21 22設(shè) M為線段AB 的中點(diǎn)，則 2 1M t,t 2，由于EM AB EM t t ，與向量t) , 2 t t2 2 t 0得2t 0或t 1.當(dāng)t 0時(shí)，S 3；當(dāng)t 1時(shí)S 4 2因此，四邊形 的面積為3或4 2.練習(xí)題C： 2 2 0 x p 1P 作拋物線C的兩條切線，PB， 2A，B為切點(diǎn)，若直線 經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，則拋物線C的方程為（ ）結(jié)論 1 x2 8y Bx2 4y Cx2 2y Dx2 yAx2 4y P在直線 y 3P 作曲線的兩條切線l l 1, 2為 ,B，則直線 截圓x2 y2 6y50所得弦長(zhǎng)為（ ）結(jié)論 2A 3 B2 C4 D2 3已知點(diǎn)1是拋物線C:x2 2 的焦點(diǎn)，點(diǎn)2為拋物線C的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過(guò)F 作拋物線C A點(diǎn) A恰好在以21,2為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）A 21 B2 21 C 21 D6