高中數(shù)學(xué) 離散型隨機(jī)變量的方差 課件

1、 主講人：深圳市光明區(qū)高級中學(xué) 周理園深圳市高中數(shù)學(xué)在線教學(xué) 選擇性必修第三冊 7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差溫故知新1.離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望）2.離散型隨機(jī)變量均值的運(yùn)算性質(zhì)E(aXb)aE(X)b(1)確定取值：根據(jù)隨機(jī)變量X的意義,寫出X可能取得的全部值；(2)求概率：求X取每個值的概率；(3)寫分布列：寫出X的分布列；(4)求均值：由均值的定義求出E(X).3.求離散型隨機(jī)變量的均值的步驟數(shù)學(xué)期望是反映離散型隨機(jī)變量的平均水平Xx1x2xixnPp1p2pipn 隨機(jī)變量的均值是一個重要的數(shù)字特征，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”.因?yàn)殡S機(jī)變量的取值圍繞其均

2、值波動，而隨機(jī)變量的均值無法反映波動幅度的大小.所以我們還需要尋找反映隨機(jī)變量取值波動大小的數(shù)字特征.溫故知新如何評價這兩名同學(xué)的射擊水平？因?yàn)閮蓚€均值相等，所以根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.問題1：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表1和表2所示：表1表26789100.090.240.320.280.16789100.070.220.380.300.03探究新知如何評價這兩名同學(xué)的射擊水平？問題1：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下

3、表1和表2所示：表1表26789100.090.240.320.280.16789100.070.220.380.300.03評價射擊水平除了要考慮擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度.下圖一和圖二分別是X和Y的概率分布圖：發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的設(shè)計(jì)成績更穩(wěn)定.圖一圖二探究新知問題2：怎樣定量刻畫離散型隨機(jī)變量取值的離散程度？ 我們知道,樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2 ,xn 的離散程度,它是通過計(jì)算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實(shí)現(xiàn)的.即樣本的方差 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示.x1x2.xnp1p2.pn所以可以用這個加權(quán)平

4、均數(shù)來衡量隨機(jī)變量X取值與其均值E(X) 的偏離程度. 樣本方差反映了這組數(shù)據(jù)的波動情況。一個自然的想法是，隨機(jī)變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢?概念生成 一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示.稱x1x2.xnp1p2.pn D (X )= (x1E(X) )2 p1 + (x2E(X) )2 p2 + + (xnE(X) )2 pn隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與分散的程度.解惑提高(1)隨機(jī)變量X的方差D(X)是數(shù)值，是隨機(jī)變量的一個重要特征數(shù)；(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度，反映了

5、隨機(jī)變量取值的離散程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散.(3)隨機(jī)變量方差和樣本方差的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：隨機(jī)變量的方差是常數(shù)，而樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此樣本的方差是隨機(jī)變量.聯(lián)系：對于簡單隨機(jī)抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本的方差越來越接近于總體的方差，因此，我們常用樣本的方差來估計(jì)總體的方差.解決問題因此，問題1中可以用兩名同學(xué)射擊成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫它們成績的穩(wěn)定性。由方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義，兩名同學(xué)射擊成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為問題1：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和

6、Y的分布列如下表1和表2所示：表1表26789100.090.240.320.280.16789100.070.220.380.300.03 因?yàn)镈(Y)E(Y),所以投資股票A的期望收益較大.典型例題例2 投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示：收益X/元-102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3表1 股票A收益的分布列（1）投資哪種股票的期望收益大？（2）投資哪種股票的風(fēng)險較高？表2 股票B收益的分布列解：（2)股票A和股票B投資收益的方差分別為 D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29, D(Y)=02x0.

7、3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.因?yàn)镋(X)和E(Y)相差不大，且D(X)D(Y),所以資股票A比投資股票B的風(fēng)險高.總結(jié)提升(1)比較均值離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，因此，在實(shí)際決策問題中，需先計(jì)算均值，看一下誰的平均水平高1.利用均值和方差的意義解決實(shí)際問題的步驟(2)在均值相等或接近的情況下計(jì)算方差.方差反映了離散型隨機(jī)變量的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.通過計(jì)算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.(3)得出結(jié)論依據(jù)均值和方差做出判斷.2.離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征x的期望與方差對比 名稱數(shù)學(xué)期望方差定義E(x)=D(x)=性質(zhì)(1)E(a)=a(

8、a為常數(shù))(2)E(ax)=aE(x)(a0)(3)E(ax+b)=aE(x)+b(a，b為常數(shù),且a0)(4)若服從兩點(diǎn)分布，則E(x)=np(1)D(a)=0(a為常數(shù))(2)D(ax)=a2D(x)(a0)(3)D(ax+b)=a2D()(a，b為常數(shù),且a0)(4)若x服從兩點(diǎn)分布，則D (x)=np(1-p)數(shù)學(xué)意義 E(x)是一個常數(shù),它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平 D(x)是一個常數(shù),它反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度總結(jié)提升樣本離散型隨機(jī)變量均值公式意義方差或標(biāo)準(zhǔn)差公式意義隨著不同樣本值的變化而變化是一個常數(shù)隨著不同樣本值的變化而變化，反映數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的平均程

9、度，方差越小，偏離程度越小.是一個常數(shù)，反映隨變量取值偏離均值的平均程度，方差越小，偏離程度越小.1給出下列四個命題：離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值偏離于均值的平均程度則正確命題應(yīng)該是()ABC DD課堂評價A 練習(xí) 4、請分別計(jì)算探究中兩名同學(xué)各自的射擊成績的方差.P56789100.030.090.200.310.270.10P567890.010.050.200.410.33因此第一名同學(xué)的射擊成績穩(wěn)定性較差，第二名同學(xué)的射擊成績穩(wěn)定性較好，穩(wěn)定于8環(huán)左右.思考思考？如果其他班級參賽選手的射擊成績都在9環(huán)左右，本班應(yīng)該派哪一名選手參賽？如果其他班級參賽選手的成績在7環(huán)左右，又應(yīng)該派哪一名選手參賽？課堂小結(jié)1.離散型隨機(jī)變量的方差 (x1E(X) )2 p1 + (x2E(X) )2 p2 + + (xnE(X) )2 pn(1)D (X )= 2.離散型