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文檔簡介
1、- . 三角求值與解三角形專項訓練1 三角公式運用【通俗原理】1三角函數(shù)的定義:設P x y ,記xOPR ,r|OP|. x2y2,那么 siny,cosx, tany x x0rr2根本公式:sin22 cos1,tansin. cos3誘導公式:4兩角和差公式:sinsincoscossin,coscoscossinsin,tan1tantan. tantan2,5二倍角公式:sin 22sincos,cos22 cossin22cos2112sin2costan212tan2. tan6幫助角公式:asinbcosa22 bsin,其中由 tanb及點 , a b 所在象限確定 . a
2、asinbcosacosbsina2b其中由 tanb及點 a b所在象限確定 . a【典型例題】1R ,證明: sin2cos. -.可修編 - . - 2假設0,- , tan2 ,求 sincos的值 . . 23 sin1,sin1,求tan tan的值 . 24求 cos15 tan15 的值 . 5證明:cos34cos33cos. - -.可修編 - . - . 【跟蹤練習】1sin33,求 cos6的值 . 52假設sin 21,求 tan的值 . 2三角求值與解三角形專項訓練2.解三角形1三角形邊角關系:在ABC中,A ,B,C 的對邊分別為a b c , ABC. ;假設
3、abc ,那么 abc ;等邊對等角,大邊對大角. 2正弦定理:abB 2 Rc2R R 是ABC外接圓的半徑 . sin sinA A ,sin bsin Csin B c變形:a2R2RsinC . 3余弦定理:a22 bc22 bccosA.變形:cosAb2c2a2,其他同理可得2 ba2c22 accosB2bcc2a2b22 abcos C4三角形面積公式:SABC1absinC1bc sin2sin 2 BA1ac sin B2B 或 2 A. 2B ;25與三角形有關的三角方程:sin 2AA cos2Acos2BAB . 6與三角形有關的不等式:absinAsinBcosAc
4、osB . 7解三角形的三種題型:知三個條件知三個角除外 ,求其他 角、邊、面積、周長等知兩個條件,求某個特定元素或圍;- -.可修編 - . - . . 知一邊及其對角,求角、邊、周長、面積的圍或最值【典型例題】1在ABC中,假設acosAbcosB ,試判定ABC的外形 . cosB . 2在中,證明:abABsinAcosAABCsinB3在ABC中,a1,A6,b3,求角 C 的大小 . 4在ABC中,C2A ,c2 a ,求角 A 的大小 . 5在ABC中,aAcC,求角 A 的大小 . 3 cossin- -.可修編 - . 6在ABC- c3,C3. . 中,I求ABC 面積的最
5、大值;II 求ABC 周長的取值圍 . 【跟蹤練習】1在ABC中,asinAsinBcbsinCsinB ,求角 C . -.可修編 - . - 2在ABC- a2c2b2ac . 中,I求B 的大小;的最大值B2,b2 3. II 求cosAcosC2 ca23 bc ,3在ABC中,b23I求 BC 邊上的中線AD 的長;- II 求BAC 的角平分線AE 的長 . -.可修編 - . - . 參考答案5.1 三角公式,y Px,y 【典型例題】1證明:如圖,在單位圓中,記xOP,xOQ=2,有P x y,Q y ,x ,O 2x 那么 sin2x ,而 cosx,Qy,x sin2cos
6、. 2解法一:0,2, tan2 ,有 sin2cos代入sin22 cos1 得2 cos1,那么cos5,sin2 5 5,559 5,sincos3 5. 5解法二:0,2, tan2 ,sincos 212sincos12sincos12 tan1sin22 costan2-.可修編 - . 又 sincos0 ,有sincos3 5. 53解:由 sin1,sin1,2- - 3,cossin1,. sincoscossin1得sincoscossin1,那么sincos442tan tansinsincos3. cos sincossinsin45 sin30cos4解: cos1
7、5cos4530 cos45 cos302321246,2222323,tan15tan4530 tan 45tan3031tan 45 tan3033 cos15tan1524623. sin 25證明: cos3cos2 coscos2sincos 2cos212cos2 sin3 2coscos2cos12 cos4cos33cos. 【跟蹤練習】1解: 632,且sin33,221,-.可修編 - . 5cos6cos23sin33. 52解:由sin 21得2sincos1,即sincos22sin2cos4tan11,即2 tan4tan3 . 10,解得 tantan24- -
8、5. 25 5,即sin5sincos5. ,由cos5得cos2k. 555由sin2 5得sin2k22 5 5,即cos2 52 55552sincos455.3 解三角形【典型例題】1解:由 a cos A b cos B 及正弦定理得 sin A cos A sin B cos B ,即 sin 2 A sin2 B ,又 A B 0, ,有 2 A 2 B 或 2 A 2 B ,即 A B 或 A B,2ABC 是等腰三角形或直角三角形 . 2證明: a b A B ,由 a b 及正弦定理得 2 R sin A 2 R sin B sin A sin B ,而函數(shù) f x cos
9、 x在 0, 上單調(diào)遞減,有 0 B A f B f A ,A B cos A cos,a b A B sin A sin B cos A cos B . 3解:由正弦定理得 a b,得 sin B b sin A 3 1 3sin A sin B a 2 2由于 b 3 a 1,所以 B A ,故 B 或3 3當 B 時,C A B 3 6 3 22 2當 B 時,C A B 3 6 3 6角 C 為 或 . 2 64解:c 2 a, 由正弦定理有 sinC= 2 sinA又 C=2 A,即 sin2A= 2 sinA,于是 2sinAcosA= 2 sinA,- -.可修編 - . - .
10、 b 時等號成立 . 在 ABC 中, sinA 0,于是 cosA=2 , A= 245解:由條件結合正弦定理得,aAcCaA,3cossinsin從而 sinA3 cosA, tanA3, 0A,A3. 6解: Ic3,C3,由余弦定理得32a2b22abcos3,3a22 bab2ababab,僅當 ab 時等號成立,ABC的面積S1absinC1absin3333 3,2244當ab3時,ABC面積的最大值為3 3;4II 由I得3a22 bab,即3ab2 3 ab,ab1 3ab21a2b2,那么ab 212,即ab2 3,僅當 aABC的周長abc2 333 3,僅當ab3時等號
11、成立,而abc3,故abc2 3,ABC周長的取值圍是2 3,3 3 . 【跟蹤練習】1解:由以及正弦定理,得1a ab0cbcb ,即a2b2c2;ab . ,cosCa2b2c2C. ,又C,所以2 ab23c2b21,0B,B2-.可修編 - . 2解: I由得 :cosBa22ac23- - 3sinC. II 由I知:AC3,故A3C, 0C3,3,所以cosAcos Ccos3CcosC3sinC3cosC223. 2. 0C3,3sinC31,3cosAcosC22a23,3解: I由b2c2a23 bc 及余弦定理得cosAb2c22bc2又A0, ,A6,那么CAB6,即 a
12、c ,即ac而b2 3,由aAbBcC得a62 3c6sinsinsinsinsin3sinAD 是 BC 邊上的中線,那么AD1 2ABAC ,AD21 4c2b22 bccos67,有 |AD|7,bcsin6,即 BC 邊上的中線長為7 ;II 由I得c2,b2 3,A6,又 AE 是BAC 的平分線,由SABESCAESABC得1 2c AEsin121b AEsin12122 231sin12AE2 3,即 31sin12AE3,又sin12sin343212642,2222-.可修編 - . AE6,即BAC 的角平分線AE6. - - . 5.2 三角函數(shù)的圖象與性質【通俗原理】
13、1三個根本三角函數(shù)的圖象與性質ysinxycosx1奇偶性:奇函數(shù),圖象關于原點對稱;1奇偶性:偶函數(shù),圖象關于y 軸對稱;- 2對稱性:關于k,0中心對稱,關于2對稱性:關于k2,0中心對稱,. xk2軸對稱; kZ ,下同 關于 xk軸對稱; kZ ,下同 3周期性:周期為T2;3周期性:周期為T2;4單調(diào)性:在 2k,2k上遞減,4 單 調(diào) 性 :在 2k2,2k2上 遞在 2k,2k2 上遞增;增,在 2k2,2k2上遞減;5最值性:當x2 k時,ymax1,5最值性:當x2k2時,ymax1,當x2 k時,y max1;當x2k2時,y max1;6有界性:當xR 時, sin-.可
14、修編 - . x 1,16有界性:當xR 時, sinx 1,1. - ytanxytan xy x. sinxy1奇偶性:奇函數(shù),圖象關于原點對稱;1切線:曲線ysinx 在x0處的切線為 yx ,曲線ytanx 在x0處的切2對稱性:關于k,0中心對稱,不是線也為 yx ;xtanx ,22不等式:當x0,2時,sinx軸對稱圖形; kZ ,下同 3周期性:周期為T;4單調(diào)性:在 k2,k2上遞增 . 當x2,0時, tanxxsinx ,當x0時, sinxxtanx . 2函數(shù)圖象平移與伸縮變換1左右平移:yf x 向右平移 個單位yf xa;同理有如下結果:2上下平移:y f x 向
15、上平移 b 個單位 y b f x ,即 y f x b ;說明:當 a 0 時,y f x 向右平移 a 個單位得 y f x a ,當 a 0 時,y f x 向左平移 | a 個單位得 y f x a ;當 b 0 時,y f x 向上平移 b 個單位得 y b f x ,即 y f x b ,當 b 0 時,y f x 向下平移 | b 個單位得 y b f x ,即 y f x b . 13橫向伸縮:y f x 橫向 伸長到原先的 A 倍 y f x ;A14縱向伸縮:y f x 縱向 伸長到原先的 B 倍 y f x ,即 y Bf x . B說明:當 A 1 時,表示伸長,當 0
16、 A 1 時,表示縮短;當 B 1 時,表示伸長,當 0 B 1時,表示縮短 . 【典型例題】- -.可修編 - . - g x . 1x1的圖1函數(shù)f x sin2x3. 2cos1求f x 的對稱軸及對稱中心;2求f x 的單調(diào)遞增區(qū)間及在0, 上的單調(diào)遞增區(qū)間;3求f x 在 2,0上的最大值與最小值,并求出相應的x 的值 . 3把函數(shù)f x sinx 的圖象經(jīng)過怎樣的平移與伸縮變換可得到函數(shù)3象?【跟蹤練習】1函數(shù)y| tan2x 的對稱軸是 . x,把yf x 的圖象向右平移a 個單位得到一個偶2a0,0 ,函數(shù)f x sin函數(shù)yg x 的圖象,把yf x 的圖象向左平移a個單位得
17、到一個奇函數(shù)yh x 的圖象,- -.可修編 - . - 2 xy2f x 在 0,2 上的單調(diào)遞減區(qū)間. . 倍縱坐標當 |取得最小值時,求3假設把函數(shù)f x x的圖象向左平移1 個單位,再把橫坐標縮短為原先的12不變 得到函數(shù)yg x 的圖象,求函數(shù)yg x 的解析式 . 5.2 三角函數(shù)的圖象與性質【典型例題】1解: 1由 2x3k2得xk12,即f x 的對稱軸為xk12,22由 2x3k得xk6,即f x 的對稱軸為 k6,0, kZ ;22-.可修編 - . 2由 2k22x32k2得k12xk12,f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為k12,k12,kZ ,當x0,時, 2x33,3,由32
18、x32或22x33得 0 x12或12x,f x 在 0, 上的單調(diào)遞增區(qū)間是0,1212,;3由x2,0得 2x33,3,當 2x33,即x0時,f x maxf0sin33,2當 2x32,即x12時,f x minf12sin21. 2證明:銳角ABC中,有2AB,即 02AB2,又函數(shù)f x sinx 在 0,2上單調(diào)遞增,有f2A fB ,- - . sin A sin B cos A sin B ,2同理 cos B sin C , cos C sin A , sin A sin B sin C cos A cos B cos C . 3解:方法一 先平移再伸縮 :f x sin x cos x cos x ,2 2把 x a代換x得,y cos x a ,把1 x 代換 x 得 y cos 1x a ,與 y cos 1x2 A A 2 3a 0比照得 2,a2,即把 f x sin x 的圖象向左平移 個單位,再將橫坐標1 1 A 3 2A 3伸長到原先的 3 倍得 y cos 1x 的圖象,再將縱坐標伸長到原先的 2 倍得 y 2cos 1x 的圖象,3 31后向上平移 1 個單位
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