量子力學(xué)講義V 定態(tài)微擾論

1、V.定態(tài)微擾論證明：非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾中，基態(tài)的能量二級(jí)修正永為負(fù)。答：已知，微擾論中，對(duì)能量為占;的牌態(tài)，能量二級(jí)修正I . 2_ V1 I丑瞅5 f f如范態(tài)為基態(tài)，占;最低，在上式的取和中，狀打的任一項(xiàng)均有反?一敦，故&=永為負(fù)。證明：定態(tài)微擾論中，能量的一級(jí)近似是總哈密頓算符H = HH對(duì)零級(jí)波因數(shù)的平均值.8答：設(shè)滿足口外*外的正交歸一化零級(jí)波函數(shù)以n 7表出。已知微”。則H = (n H以=(2晃園+ S丑小=虎+底/咨”正是能量一級(jí)近似.能級(jí)簡(jiǎn)并沒(méi)有解除的解是否必定是近似解？反之，近似解是否必定是能級(jí)簡(jiǎn)并的？答：能級(jí)簡(jiǎn)并與波方程的近似解這兩個(gè)概念的意義是不同的，沒(méi)有什么直接的關(guān)聯(lián).我

2、們知道，能級(jí)簡(jiǎn)并主要是由于 體系哈密頓量具有某種對(duì)稱性.只要保持這種對(duì)稱以那么即使是精確解，其能級(jí)也是簡(jiǎn)并的.如氫原子.如果對(duì)稱性受到徹底 破壞或部分破壞，那么一般說(shuō)來(lái)，簡(jiǎn)并應(yīng)當(dāng)消除或部分消除.應(yīng)用微擾法求解定態(tài)問(wèn)題時(shí)，得到的解一般均是近似解非簡(jiǎn)并 態(tài)微擾的近似解，能級(jí)當(dāng)然是非簡(jiǎn)并的簡(jiǎn)并態(tài)微擾法中由于微擾的作用.不管能級(jí)簡(jiǎn)并是否能解除，或解除多少，得到的解 一般也是近似解.口籽次12 2丑。二一廠孫+日洗部X 一維諧振子，其能量算符為 歡 2(1)丑 =4幽履己同冬1(2)試求各能級(jí)的微擾修正(三級(jí)近似)，并和精確解比較。解：在口的本征函數(shù)、本征值記為歡評(píng)。如眾所周知W=卸+ = 0,1,2,

3、 - - TOC o 1-5 h z I 2）（3）在丑o表象（以必為基矢）中，的矩陣元中不等于0的類型為_+1 h 葉 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 、+Lx = E+1 =-I 2他磯（4）因此，不等于0的微擾矩陣元有下列類型：1 丸 2 ST1丸（1允 fQ）/ 工工知二 w +=逾rar -、故 a.- ijk! -、G!-（ a*孔孔 Hs =只心#=3用以=丁 J3 + D3 + 2）膈（6）按照非簡(jiǎn)并態(tài)能級(jí)三級(jí)微擾修正公式，能級(jí)的各級(jí)微擾修正為:理=H = k + 膈 TOC o 1-5 h z flIULI-!-（八 3（7

4、）本題顯然可以精確求解，因?yàn)殓璩?1H =+2m dx 2丑可以寫成(10)和式（1）比較，差別在于ITS，因此丑的本征值為= 壓+ hs)= 壓+ /1+丁再部M I 2； I 2；（11）切1J1 + /因?yàn)?，將作二項(xiàng)式展開，即得:旦=1V ?3 + 1+-+膈2 8 16 I(12)和微擾論結(jié)果完全一致。5.氫原子處于基態(tài).沿z方向加一個(gè)均勻弱電場(chǎng)E，視電場(chǎng)為微擾，求電場(chǎng)作用后的基態(tài)波函數(shù)（一級(jí)近似）.能級(jí)（二級(jí)近似）， 平均電矩和電極化系數(shù).（不考慮自旋）解：加電場(chǎng)前，基態(tài)波函數(shù)為心曷（波爾半徑）（1）滿足能量方程M舟=*)(2)其中mW2%視外電場(chǎng)為微擾，微擾作勢(shì)為由于妙為偶宇稱，

5、丑為奇宇稱，所以一級(jí)能量修正為0,波函數(shù)的一級(jí)微擾修正滿足方程國(guó)-砂，摘）二情-們/七-漁*/）（）除了一個(gè)常系數(shù)外，喝/即球諧函數(shù)Ko,考慮到冏口和都是球?qū)ΨQ的，易知必可表示成a% TOC o 1-5 h z 代入（5）式并、計(jì)及V鋼）=門小睡印舟+舟寸何）8澎+V*。）其中 HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 1 /729 HYPERLINK l bookmark81 o Current Document V2/(r)cos= cos&/，lJ- Ff1FVcosN岬=cos= - cosLdr dr 氣 drf (r由式(5)可得滿足的方程r _x|f i：v）-mu為邊界條件為一u處，用級(jí)數(shù)解法或試探法，不難求出式（7）的解為(8)玲=妒丑|網(wǎng)（10）按照微擾論公式，能級(jí)的二級(jí)修正為17將式（3），（9）代入上式，即得薩)=sE 儼)|z2/ (r)/r| 護(hù))利用#的具體表示式（1），容易算出根據(jù)*和伊的對(duì)稱性，易得玲=_第說(shuō)因此 4（12）此即外電場(chǎng)引起的基態(tài)能級(jí)移動(dòng)，它和E成正比電偶極矩算符為技=一況，其平均值為（D1