2023高考科學(xué)復(fù)習(xí)解決方案-數(shù)學(xué)(名校內(nèi)參版) 第七章 7.5正弦定理與余弦定理的應(yīng)用舉例（word含答案解析）

1、7.5正弦定理與余弦定理的應(yīng)用舉例(教師獨具內(nèi)容)1正弦定理、余弦定理是在學(xué)習(xí)了平面向量之后要掌握的兩個重要定理，運用這兩個定理可以初步解決幾何及工業(yè)測量等實際問題，是解決有關(guān)三角形問題的有力工具2重點提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)(教師獨具內(nèi)容)1本考點是近年高考的熱點，屬于中檔題目，以選擇題、填空題、解答題形式出現(xiàn)，命題的重點是三角形中基本量的求解2主要考查兩個方面：一是利用正、余弦定理求解與距離、高度、角度等有關(guān)的實際應(yīng)用問題；二是利用正、余弦定理解決圖形問題(教師獨具內(nèi)容)(教師獨具內(nèi)容)1仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在eq o(,sup3(01)水平線上方

2、的角叫仰角，在eq o(,sup3(02)水平線下方的角叫俯角(如圖)2方位角從指北方向線順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖)3方向角：相對于某一正方向的水平角(1)北偏東，即由eq o(,sup3(01)指北方向eq o(,sup3(02)順時針旋轉(zhuǎn)到達目標方向(如圖)(2)北偏西，即由eq o(,sup3(03)指北方向eq o(,sup3(04)逆時針旋轉(zhuǎn)到達目標方向(3)南偏西等其他方向角類似注：區(qū)分兩種角(1)方位角：從指北方向線順時針轉(zhuǎn)到目標方向線之間的水平夾角(2)方向角：從指定方向線到目標方向線所成的小于90的水平角4坡角與坡度(1)坡角：eq o(,sup3

3、(01)坡面與水平面所成的二面角(如圖，角為坡角)(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖，i為坡度)坡度又稱為坡比5利用正、余弦定理解決實際問題的一般步驟(1)分析理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖(2)建模根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在相關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型(3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解(4)檢驗檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為180.()(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為eq

4、 blcrc(avs4alco1(0，f(,2).()(3)方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關(guān)系()(4)方位角大小的范圍是0,2)，方向角大小的范圍一般是eq blcrc)(avs4alco1(0，f(,2).()答案(1)(2)(3)(4)2如圖，在200 m高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30，60，則塔高為()A.eq f(400,3) mBeq f(400r(3),3) mC.eq f(200r(3),3) mDeq f(200,3) m答案A解析如圖，設(shè)山頂為A，塔底為C，塔頂為D，過點A作CD的垂線，交CD的延長線于點B，則易得ABeq

5、f(BC,tan60)，BDABtan30eq f(BC,tan60)tan30eq f(200,r(3)eq f(r(3),3)eq f(200,3)(m)，所以CDBCBD200eq f(200,3)eq f(400,3)(m)故選A.3. 如圖所示，設(shè)A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計算出A，B兩點的距離為()A50eq r(2) mB50eq r(3) mC25eq r(2) mDeq f(25r(2),2) m答案A解析在ABC中，ABC30，由正弦定理得eq f(AC,sin30)eq f(A

6、B,sin45)，即eq f(50,f(1,2)eq f(AB,f(r(2),2)，所以AB50eq r(2) m故選A.4在一次抗洪搶險中，某救生艇發(fā)動機突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風(fēng)向是南偏西30，風(fēng)速是20 km/h，水的流向是正東，流速是20 km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向為北偏東_，速度大小為_km/h.答案6020eq r(3)解析如圖，AOB60，由余弦定理知OC2202202800cos1201200，故OC20eq r(3)，COy303060.1. (2021全國甲卷)2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最

7、新高程為8848.86(單位：m)，三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C滿足ACB45，ABC60.由C點測得B點的仰角為15，BB與CC的差為100；由B點測得A點的仰角為45，則A，C兩點到水平面ABC的高度差A(yù)ACC約為(eq r(3)1.732)()A346B373C446D473答案B解析過C作BB的垂線交BB于點M，過B作AA的垂線交AA于點N，設(shè)BCCMm，ABBNn，在ABC中，因為ACB45，ABC60，所以CAB75，所以eq f(m,sin75)eq f(n,sin45).在C

8、BM中，eq f(m,sin75)eq f(100,sin15)，所以eq f(n,sin45)eq f(100,sin15)，解得neq f(200,r(3)1)273.所以A，C兩點到水平面ABC的高度差A(yù)ACC約為273100373.故選B.2(2021全國乙卷)魏晉時期劉徽撰寫的海島算經(jīng)是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高如圖，點E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高AB()A.eq f(表高表距,表目距的差)表高B.eq f(表高表

9、距,表目距的差)表高C.eq f(表高表距,表目距的差)表距D.eq f(表高表距,表目距的差)表距答案A解析因為DEAB，所以eq f(DE,AB)eq f(EH,AH).因為FGAB，所以eq f(FG,AB)eq f(GC,CA).又DEFG，所以eq f(EH,AH)eq f(GC,CA)，即eq f(EH,AEEH)eq f(GC,AEEGGC)，解得AEeq f(EHEG,GCEH).又AHAEEH，所以ABeq f(DEAH,EH)eq f(DEAEEH,EH)eq f(DEEG,GCEH)DE.又DE為表高，EG為表距，GCEH為表目距的差，所以ABeq f(表高表距,表目距的

10、差)表高故選A.3. (2020全國卷)如圖，在三棱錐PABC的平面展開圖中，AC1，ABADeq r(3)，ABAC，ABAD，CAE30，則cosFCB_.答案eq f(1,4)解析ABAC，ABeq r(3)，AC1，由勾股定理得BCeq r(AB2AC2)2，同理得BDeq r(6)，BFBDeq r(6).在ACE中，AC1，AEADeq r(3)，CAE30，由余弦定理得CE2AC2AE22ACAEcos301321eq r(3)eq f(r(3),2)1，CFCE1.在BCF中，BC2，BFeq r(6)，CF1，由余弦定理得cosFCBeq f(CF2BC2BF2,2CFBC)

11、eq f(146,212)eq f(1,4).4(2021新高考卷)記ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2ac，點D在邊AC上，BDsinABCasinC.(1)證明：BDb；(2)若AD2DC，求cosABC.解(1)證明：在ABC中，由正弦定理，得BDbac.又b2ac，所以BDbb2，即BDb.(2)因為AD2DC，所以ADeq f(2,3)b，DCeq f(1,3)b.在ABD中，由余弦定理，得cosADBeq f(DA2DB2AB2,2DADB)eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)b)2b2c2,2f(2,3)bb)；在BCD中，由余弦定理，得

12、cosBDCeq f(DB2DC2BC2,2DBDC)eq f(b2blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)b)2a2,2bf(1,3)b).因為ADBBDC，所以eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)b)2b2c2,2f(2,3)bb)eq f(b2blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)b)2a2,2bf(1,3)b)0，即eq f(11,3)b22a2c2.又b2ac，所以eq f(11,3)ac2a2c2，即6a211ac3c20，即(3ac)(2a3c)0，所以3ac或2a3c.當3ac時，由eq f(11,3)b22a2c2，得a2eq f(1,

13、3)b2，c29a23b2，即aeq f(r(3),3)b，ceq r(3)b，此時abc，ABC不存在，故3ac時不成立當2a3c時，由eq f(11,3)b22a2c2，得a2eq f(3,2)b2，c2eq f(2,3)b2，在ABC中，由余弦定理，得cosABCeq f(a2c2b2,2ac)eq f(f(3,2)b2f(2,3)b2b2,2b2)eq f(f(7,6)b2,2b2)eq f(7,12).綜上，cosABCeq f(7,12).一、基礎(chǔ)知識鞏固考點測量距離、高度問題例1春秋以前中國已有“抱甕而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊桿桔槔，后發(fā)展成轆轤.19世紀末，由于電動機的

14、發(fā)明，離心泵得到了廣泛應(yīng)用，為發(fā)展機械提水灌溉提供了條件如圖為灌溉抽水管道在等高圖上的垂直投影，在A處測得B處的仰角為37，在A處測得C處的仰角為45，在B處測得C處的仰角為53，A點所在等高線值為20米，若BC管道長為50米，則B點所在等高線值約為eq blc(rc)(avs4alco1(參考數(shù)據(jù)：sin37f(3,5)()A30米B50米C60米D70米答案B解析由題意作出示意圖，如圖所示由已知得CAE45，BAE37，CBF53.設(shè)BDx米，則ADeq f(BD,tan37)eq f(BDcos37,sin37)eq f(4,3)x(米)，CFBCsin5350cos3750eq f(4

15、,5)40(米)，BFBCcos5350sin3750eq f(3,5)30(米)由AECE得eq f(4,3)x30 x40，解得x30.又A點所在等高線值為20米，故B點所在等高線值約為203050(米)故選B.例2幾千年的滄桑沉淀，凝練了黃山清幽秀麗的自然風(fēng)光和文化底蘊厚重的旅游環(huán)境自明清以來，文人雅士，群賢畢至，旅人游子，紛至沓來，使黃山成為名噪江南的旅游熱點如圖，游客從黃山風(fēng)景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑，一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A乘景區(qū)觀光車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50米/分鐘，在甲出發(fā)2分鐘后，乙從A乘

16、觀光車到B，在B處停留20分鐘后，再從B勻速步行到C.假設(shè)觀光車勻速直線運行的速度為250米/分鐘，山路AC長為2340米，經(jīng)測量cosAeq f(24,25)，cosCeq f(3,5).(1)求觀光車路線AB的長；(2)乙出發(fā)多少分鐘后，在觀光車上與甲的距離最短？解(1)在ABC中，因為cosAeq f(24,25)，cosCeq f(3,5)，所以sinAeq f(7,25)，sinCeq f(4,5)，從而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinCeq f(117,125)，由正弦定理eq f(AB,sinC)eq f(AC,sinB)，得ABeq f(AC,

17、sinB)sinCeq f(2340,f(117,125)eq f(4,5)2000(米)，所以觀光車路線AB的長為2000米(2)假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d，此時甲行走了(10050t)米，乙距離A處250t米，由余弦定理得，d2(10050t)2(250t)22250t(10050t)eq f(24,25)1000(41t238t10)1000eq blcrc(avs4alco1(41blc(rc)(avs4alco1(tf(19,41)2f(49,41)，因為teq blcrc(avs4alco1(0，f(2000,250)，即t0,8，所以當teq f(19,41)時，d

18、取得最小值，即乙出發(fā)eq f(19,41)分鐘后，在觀光車上與甲的距離最短1. (2022山東濟南模擬)濟南泉城廣場上的泉標是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟南的標志和象征李明同學(xué)想測量泉標的高度，于是他在廣場的A點測得泉標頂端的仰角為60，他又沿著泉標底部方向前進15.2 m，到達B點，又測得泉標頂部仰角為80.則李明同學(xué)求出泉標的高度為(sin200.3420，sin800.9848，結(jié)果精確到1 m)()A38 mB50 mC66 mD72 m答案A解析如圖所示，點C，D分別為泉標的底部和頂端依題意，BAD60，CBD80，AB15.2 m，則ABD100，故ADB180(60100

19、)20.在ABD中，根據(jù)正弦定理，eq f(BD,sin60)eq f(AB,sinADB).BDeq f(ABsin60,sin20)eq f(15.2sin60,sin20)38.5(m)在RtBCD中，CDBDsin8038.5sin8038(m)，即泉城廣場上泉標的高度約為38 m.2江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺底部連線成30角，則兩條船相距_m.答案10eq r(3)解析如圖，由題意得OA30 m，AMO45，ANO60，MON30，所以O(shè)AM45，NAO30.OMAOtan4530 m，ON

20、AOtan30eq f(r(3),3)3010eq r(3)(m)，在MON中，由余弦定理得，MNeq r(90030023010r(3)f(r(3),2)eq r(300)10eq r(3)(m)3如圖，高山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，測得ABC120；從B處攀登400米到達D處，回頭看索道AC，測得ADC150；從D處再攀登800米可到達C處，則索道AC的長為_米答案400eq r(13)解析在ABD中，BD400米，ABD120.因為ADC150，所以ADB30.所以DAB1801203030.由正弦定理，可得eq f(BD,sinDA

21、B)eq f(AD,sinABD)，所以eq f(400,sin30)eq f(AD,sin120)，得AD400eq r(3)(米)在ADC中，DC800米，ADC150，由余弦定理得AC2AD2CD22ADCDcosADC(400eq r(3)280022400eq r(3)800cos150400213，解得AC400eq r(13)(米)故索道AC的長為400eq r(13)米(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知，則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理(2)實際測量中的

22、常見問題考點測量角度問題例3如圖，一艘海船從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行60海里后到達海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15的方向航行30海里后到達海島C.下次若直接從A出發(fā)到達C.(1)需要航行多少海里？(2)此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行(角度精確到0.1)?參考數(shù)據(jù)：sin7.2eq f(r(7),21)，sin19.1eq f(r(21),14)，sin40.9eq f(r(21),7).解(1)在ABC中，ABC1807515120，根據(jù)余弦定理知，ACeq r(AB2BC22ABBCcosABC)eq r(60230226030cos120)30eq r(7)(海里)即需要航行30eq r

23、(7)海里(2)在ABC中，根據(jù)正弦定理知，eq f(BC,sinCAB)eq f(AC,sinABC)，所以sinCABeq f(BCsinABC,AC)eq f(30sin120,30r(7)eq f(r(21),14)，所以CAB19.1，75CAB55.9，即此船應(yīng)該沿北偏東55.9的方向航行4如圖，在某港口A處獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，此時救援船在港口的南偏西30距港口10海里的C處，救援船接到救援命令立即從C處沿直線前往B處營救漁船(1)求接到救援命令時救援船距漁船的距離；(2)試問救援船在C處應(yīng)沿怎樣的方向前往B處救援？eq blc(rc)(av

24、s4alco1(已知cos49f(r(21),7)解(1)連接BC，由題意可知，在ABC中，AB20，AC10，CAB120.CB2AB2AC22ABACcosCAB20210222010cos120700，BC10eq r(7)，即接到救援命令時救援船距漁船的距離為10eq r(7)海里(2)在ABC中，AB20，BC10eq r(7)，CAB120，由正弦定理得eq f(AB,sinACB)eq f(BC,sinCAB)，即eq f(20,sinACB)eq f(10r(7),sin120)，sinACBeq f(r(21),7).cos49sin41eq f(r(21),7)，ACB41

25、，故救援船應(yīng)沿北偏東71的方向前往B處救援(1)測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解(2)方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角考點正、余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用例4如圖，在平面四邊形ABCD中，DAAB，DE1，ECeq r(7)，EA2，ADCeq f(2,3)，且CBE，BEC，BCE成等差數(shù)列(1)求sinCED；(2)求BE的長解(1)設(shè)CED.在CDE中，由余弦定理得EC2CD2DE22CDDEcosEDC，即7CD21C

26、D，即CD2CD60，解得CD2(CD3舍去)在CDE中，由正弦定理得eq f(EC,sinEDC)eq f(CD,sin)，于是sineq f(CDsinf(2,3),EC)eq f(2f(r(3),2),r(7)eq f(r(21),7)，即sinCEDeq f(r(21),7).(2)因為CBE，BEC，BCE成等差數(shù)列，所以2BECCBEBCE，又CBEBECBCE，所以BECeq f(,3).由題設(shè)知00，解得xeq r(3)1，因此cosBDCxeq r(3)1.5. 如圖，在四邊形ABCD中，已知ABBC，AB5，AD7，BCDeq f(3,4)，cosAeq f(1,7)，則B

27、C_.答案4(eq r(3)1)解析在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcosA64，所以BD8，所以cosABDeq f(AB2BD2AD2,2ABBD)eq f(1,2)，因為ABDeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，所以ABDeq f(,3)，又ABBC，所以CBDeq f(,6)，所以sinBDCsin(BCDCBD)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)f(,6)sineq f(3,4)coseq f(,6)coseq f(3,4)sineq f(,6)eq f(r(2),2)eq f(r(3),2)eq f(r(2),2)

28、eq f(1,2)eq f(r(6)r(2),4).在BCD中，由正弦定理得eq f(BC,sinBDC)eq f(BD,sinBCD)eq f(8,f(r(2),2)8eq r(2)，所以BC8eq r(2)sinBDC8eq r(2)eq f(r(6)r(2),4)4(eq r(3)1)6. (2022湖南聯(lián)考)如圖，在平面四邊形ABCD中，0DABeq f(,2)，AD2，AB3，ABD的面積為eq f(3r(3),2)，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCDeq f(2,3)，求BC的長解(1)因為ABD的面積Seq f(1,2)ADABsinDABeq f(1,2)23s

29、inDABeq f(3r(3),2)，所以sinDABeq f(r(3),2).又0DABeq f(,2)，所以DABeq f(,3).在ABD中，由余弦定理，得BDeq r(AD2AB22ADABcosDAB)eq r(7)，由正弦定理，得sinABDeq f(ADsinDAB,BD)eq f(r(21),7).(2)因為ABBC，所以ABCeq f(,2)，sinDBCsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)ABD)cosABDeq r(1sin2ABD)eq f(2r(7),7).在BCD中，由正弦定理eq f(CD,sinDBC)eq f(BD,sinDCB)，可得C

30、Deq f(BDsinDBC,sinDCB)eq f(4r(3),3).由余弦定理DC2BC22DCBCcosDCBBD2，可得3BC24eq r(3)BC50，解得BCeq f(r(3),3)或BCeq f(5r(3),3)(舍去)故BC的長為eq f(r(3),3).求解平面圖形中的計算問題，關(guān)鍵是梳理條件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果考點解三角形與三角函數(shù)的綜合問題例6已知

31、函數(shù)f(x)cos2xeq r(3)sin(x)cos(x)eq f(1,2).(1)求函數(shù)f(x)在0，上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知f(A)1，a2，bsinCasinA，求ABC的面積解(1)f(x)cos2xeq r(3)sinxcosxeq f(1,2)eq f(1cos2x,2)eq f(r(3),2)sin2xeq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，令2keq f(,2)2xeq f(,6)2keq f(,2)，kZ，得keq f(,6)xkeq f(,3)，kZ，又x0，函數(shù)f(

32、x)在0，上的單調(diào)遞減區(qū)間為eq blcrc(avs4alco1(0，f(,3)和eq blcrc(avs4alco1(f(5,6)，).(2)由(1)知f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，f(A)sineq blc(rc)(avs4alco1(2Af(,6)1，ABC為銳角三角形，0Aeq f(,2)，eq f(,6)2Aeq f(,6)eq f(5,6)，2Aeq f(,6)eq f(,2)，即Aeq f(,3).又bsinCasinA，bca24，SABCeq f(1,2)bcsinAeq r(3).例7已知函數(shù)f(x)eq f(r(3),2)sin2

33、xcos2xeq f(1,2).(1)求f(x)的最小值，并寫出取得最小值時的自變量x的集合；(2)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ceq r(3)，f(C)0，若sinB2sinA，求a，b的值解(1)f(x)eq f(r(3),2)sin2xcos2xeq f(1,2)eq f(r(3),2)sin2xeq f(1cos2x,2)eq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)1，當2xeq f(,6)2keq f(,2)(kZ)，即xkeq f(,6)(kZ)時，f(x)取最小值2，此時自變量x的集合為eq blcrc(avs4alco

34、1(xblc|rc (avs4alco1(xkf(,6)，kZ).(2)f(C)0，sineq blc(rc)(avs4alco1(2Cf(,6)10，又0C，eq f(,6)2Ceq f(,6)eq f(11,6)，2Ceq f(,6)eq f(,2)，可得Ceq f(,3).sinB2sinA，由正弦定理可得b2a，又ceq r(3)，由余弦定理可得(eq r(3)2a2b22abcoseq f(,3)，即a2b2ab3，聯(lián)立，解得a1，b2.7.(2021大慶模擬)已知函數(shù)f(x)sin2xcos2x2eq r(3)sinxcosx，xR.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ABC中

35、，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f(A)2，c5，cosBeq f(1,7)，求邊a的長解(1)f(x)cos2xeq r(3)sin2x2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，令2keq f(,2)2xeq f(,6)2keq f(,2)，kZ，得keq f(,6)xkeq f(,3)，kZ，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq blcrc(avs4alco1(kf(,6)，kf(,3)，kZ.(2)由(1)知f(A)2sineq blc(rc)(avs4alco1(2Af(,6)2，sineq blc(rc)(avs4alco1(2Af(,6)1，A(0，)，2

36、Aeq f(,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(11,6)，2Aeq f(,6)eq f(,2)，故Aeq f(,3)，又cosBeq f(1,7)，sinBeq f(4r(3),7)，sinCsin(AB)eq f(r(3),2)eq f(1,7)eq f(1,2)eq f(4r(3),7)eq f(5r(3),14).在ABC中，由正弦定理eq f(c,sinC)eq f(a,sinA)，得eq f(5,f(5r(3),14)eq f(a,f(r(3),2)，a7.8已知函數(shù)f(x)sineq f(x,2)coseq f(x,2)eq r(3)cos2eq f(

37、x,2)eq f(r(3),2).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且滿足c2b2eq r(3)aca2，求f(B)的取值范圍解(1)f(x)sineq f(x,2)coseq f(x,2)eq r(3)cos2eq f(x,2)eq f(r(3),2)eq f(1,2)sinxeq r(3)eq f(1cosx,2)eq f(r(3),2)eq f(1,2)sinxeq f(r(3),2)cosxsineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)，Teq f(2,|)2.由2keq f(,2)xeq f(,3)2

38、keq f(,2)(kZ)2keq f(,6)x2keq f(5,6)(kZ)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq blcrc(avs4alco1(2kf(,6)，2kf(5,6)(kZ)因此，函數(shù)f(x)的最小正周期為2，單調(diào)遞增區(qū)間為eq blcrc(avs4alco1(2kf(,6)，2kf(5,6)(kZ)(2)由(1)知f(B)sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,3).c2b2eq r(3)aca2，c2a2b2eq r(3)ac，cosBeq f(c2a2b2,2ac)eq f(r(3)ac,2ac)eq f(r(3),2)，又B(0，)，0Beq f(,6)，

39、eq f(,3)Beq f(,3)eq f(,6)，eq f(r(3),2)sineq blc(rc)(avs4alco1(Bf(,3)eq f(1,2)，即f(B)的取值范圍為eq blc(rc(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2).解三角形與三角函數(shù)結(jié)合問題時，三角函數(shù)的自變量往往就是三個內(nèi)角，此時除了應(yīng)用三角關(guān)系式外，三個內(nèi)角的范圍與相互之間的關(guān)系也是解題的重要依據(jù)二、核心素養(yǎng)提升例1某大學(xué)的大門蔚為壯觀，有個學(xué)生想搞清楚門洞拱頂D到其正上方A點的距離，他站在地面C處，利用皮尺測得BC9 m，利用測角儀器測得仰角ACB45，測得仰角BCD后通過計算得到sinACDeq f

40、(r(26),26)，則AD的長度為()A2 mB2.5 mC3 mD4 m答案C解析設(shè)ADx m，則BD(9x) m，CDeq r(929x2) m，在ACD中，由正弦定理，得eq f(CD,sinDAC)eq f(AD,sinACD)，即eq f(r(929x2),f(r(2),2)eq f(x,f(r(26),26)，所以292(9x)226x2，即2x23x270，解得x3eq blc(rc)(avs4alco1(xf(9,2)舍去).故選C.例2如圖，在限速為90 km/h的公路AB旁有一測速站P，已知點P距測速區(qū)起點A的距離為0.08 km，距測速區(qū)終點B的距離為0.05 km，且

41、APB60，現(xiàn)測得某輛汽車從A點行駛到B點所用的時間為3 s，則此車的速度介于()A6070 km/hB7080 km/hC8090 km/hD90100 km/h答案C解析由余弦定理得ABeq r(0.0820.05220.080.05cos60)0.07，則此車的速度為eq f(0.07,f(3,3600)71284 km/h.故選C.數(shù)學(xué)抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程，主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號或數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征從實際問題中抽象出距離、高度、角度等數(shù)學(xué)問題，

42、然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)課時作業(yè)一、單項選擇題1已知A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測得ABC120，則A，C兩地間的距離為()A10 kmB10eq r(3) kmC10eq r(5) kmD10eq r(7) km答案D解析由余弦定理可得AC2AB2CB22ABCBcos12010220221020eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)700，所以AC10eq r(7) km.故選D.2. 如圖，兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B

43、的()A北偏東10B北偏西10C南偏東80D南偏西80答案D解析由條件及題圖可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此燈塔A在燈塔B的南偏西80.故選D.3如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西勻速行駛，在公路北側(cè)遠處一座高900米的山頂D測得點A在東偏南30方向上，過一分鐘后測得點B在山頂D的東偏南60方向上，俯角為45，則該車的行駛速度為()A15米/秒B15eq r(3) 米/秒C20米/秒D20eq r(3) 米/秒答案A解析根據(jù)題意得CD900，因為從D處測得點B的俯角為45，所以BC900，因為A在D東偏南30方向上，B在D東偏南60方向上，所以BAC30，

44、ACB603030，所以ABC為等腰三角形，所以AB900，由eq f(900,60)15，所以該車的行駛速度為15米/秒故選A.4在ABC中，已知ABeq r(2)，ACeq r(5)，tanBAC3，則BC邊上的高等于()A1Beq r(2)Ceq r(3)D2答案A解析解法一：因為tanBAC3，所以sinBACeq f(3,r(10)，cosBACeq f(1,r(10).由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC522eq r(5)eq r(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(10)9，所以BC3，所以SABCeq f(1,2)ABACsinBACe

45、q f(1,2)eq r(2)eq r(5)eq f(3,r(10)eq f(3,2)，所以BC邊上的高heq f(2SABC,BC)eq f(2f(3,2),3)1.故選A.解法二：在ABC中，因為tanBAC30，所以BAC為鈍角，因此BC邊上的高小于eq r(2)，結(jié)合選項可知選A.5說起延安革命紀念地景區(qū)，可謂是家喻戶曉，它由寶塔山、棗園革命舊址、楊家?guī)X革命舊址、中共中央西北局舊址、延安革命紀念館組成尤其寶塔山，它可是圣地延安的標志，也是中國革命的搖籃，見證了中國革命的進程，在中國老百姓的心中具有重要地位如圖，寶塔山的坡度比為eq r(7)3(坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比)，在

46、山坡A處測得CAD15，從A處沿山坡往上前進66 m到達B處，在山坡B處測得CBD30，則寶塔CD的高為()A44 mB42 mC48 mD46 m答案A解析由題可知CAD15，CBD30，則ACB15，BCAB66，設(shè)坡角為，則由題可得taneq f(r(7),3)，則可求得coseq f(3,4)，在BCD中，BDC90，由正弦定理可得eq f(CD,sin30)eq f(BC,sin90)，即eq f(CD,f(1,2)eq f(66,cos)eq f(66,f(3,4)，解得CD44，故寶塔CD的高為44 m故選A.6岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中

47、國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”其地處岳陽古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山始建于東漢建安二十年(215年)，歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年(1880年)重建時的形制與格局因北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹作岳陽樓記使得岳陽樓著稱于世自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽小李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC，如圖，測得DAC30，DBC45，AB14米，則岳陽樓的高度CD約為(eq r(2)1.414，eq r(3)1.732)()A18米B19米C20米D21米答案B解析在RtADC中，DAC30，則ACeq r(3)CD，在RtBDC中，DB

48、C45，則BCCD，由ACBCAB得eq r(3)CDCD14CDeq f(14,r(3)1)7(eq r(3)1)19.124，故岳陽樓的高度CD約為19米故選B.7甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60方向上的一點B處，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的eq r(3)倍，甲船為了盡快追上乙船，朝北偏東方向前進，則()A15B30C45D60答案B解析如圖，設(shè)兩船在C處相遇，則由題意得ABC18060120，且eq f(AC,BC)eq r(3)，由正弦定理得eq f(AC,BC)eq f(sin120,sinBAC)eq r(3)，所以sinBACeq f(1,2).又因為0BACeq

49、f(,2)，則sinAcosBC若a8，c10，B60，則符合條件的ABC有兩個D若sin2Asin2BAeq f(,2)B0，sinAsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)B)cosB，故B正確；對于C，由余弦定理可得beq r(821022810f(1,2)eq r(84)，只有一解，故C錯誤；對于D，若sin2Asin2Bsin2C，則根據(jù)正弦定理得a2b2c2，cosCeq f(a2b2c2,2ab)0)小時，此時甲船位于C處，乙船位于D處，則AC206t，AD8t，CAD120，由余弦定理可得，CD2(206t)2(8t)22(206t)8tcos12052t28

50、0t40052eq blc(rc)(avs4alco1(tf(10,13)2eq f(4800,13)，故當teq f(10,13)時，CD取最小值12如圖所示，一艘海輪從A處出發(fā)，測得燈塔在海輪的北偏東15方向，與海輪相距20 n mile的B處，海輪按北偏西60的方向航行了30 min后到達C處，又測得燈塔在海輪的北偏東75的方向上，則海輪的速度為_n mile/min.答案eq f(r(6),3)解析由已知得ACB45，B60，由正弦定理得eq f(AC,sinB)eq f(AB,sinACB)，所以ACeq f(ABsinB,sinACB)eq f(20sin60,sin45)10eq

51、 r(6)(n mile)，所以海輪航行的速度為eq f(10r(6),30)eq f(r(6),3)(n mile/min)13如圖，在ABC中，已知點D在BC邊上，ADAC，sinBACeq f(2r(2),3)，AB3eq r(2)，AD3，則BD的長為_答案eq r(3)解析因為sinBACeq f(2r(2),3)，且ADAC，所以sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)BAD)eq f(2r(2),3)，所以cosBADeq f(2r(2),3)，在BAD中，由余弦定理，得BDeq r(AB2AD22ABADcosBAD)eq r(3r(2)23223r(2)3f

52、(2r(2),3)eq r(3).14如圖，一位同學(xué)從P1處觀測塔頂B及旗桿頂A，得仰角分別為和90.后退l m至點P2處再觀測塔頂B，仰角變?yōu)樵瓉淼囊话?，設(shè)塔CB和旗桿BA都垂直于地面，且C，P1，P2三點在同一條水平線上，則塔BC的高為_m；旗桿BA的高為_m(用含有l(wèi)和的式子表示)答案lsineq f(lcos2,sin)解析在RtBCP1中，BP1C，在RtP2BC中，P2eq f(,2).BP1CP1BP2P2，P1BP2eq f(,2)，即P1BP2為等腰三角形，BP1P1P2l，BClsin.在RtACP1中，eq f(AC,CP1)eq f(AC,lcos)tan(90)，ACeq f(lcos2,si