鋼管下料優(yōu)化問(wèn)題

1、EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY數(shù)學(xué)建模論文原料鋼管下料的非線性優(yōu)化模型學(xué)院:數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專業(yè):信息與計(jì)算科學(xué) 組員：09102114 吳珍09102109 董曉旭 指導(dǎo)老師:熊思燦日期：2011年4月20日原料鋼管下料非線性優(yōu)化模型摘要本文研究了原料鋼管如何下料（切割）使得其總費(fèi)用最少的問(wèn)題，建模時(shí)主要考慮如何根據(jù)顧客的不同需求對(duì)原料鋼管下料（切割）使得其總費(fèi)用及余料浪費(fèi)最少。在一段時(shí)期內(nèi)，每根原料鋼管的購(gòu)價(jià)穩(wěn)定，不妨假設(shè)每根原料鋼管的價(jià)值為1。根據(jù)題意，本文為關(guān)于鋼管下料的優(yōu)化問(wèn)題，因此本文建立了整數(shù)非線性規(guī)劃模型，運(yùn)用LINGO軟件求解模型，獲

2、得對(duì)原材料鋼管的最佳下料方案。通過(guò)求解獲得了最優(yōu)方案，結(jié)果表明，只需使用三種切割模式切割原料鋼 管，共需原料鋼管19根。模式一所需原料鋼管為14根，模式二所需原料鋼管為 4根，模式三所需原料鋼管為1根。每種切割模式下切割成290mm、315mm、 350mm、455mm的鋼管根數(shù)如下表所示：鋼管下料最優(yōu)表290mm鋼管根數(shù)315mm鋼管根數(shù)350mm鋼管根數(shù)455mm鋼管根數(shù)需原料鋼管根數(shù)模式一120214模式二00504模式三20121關(guān)鍵詞：鋼管下料總費(fèi)用最少整數(shù)非線形規(guī)劃切割模式1問(wèn)題重述鋼管零售商從鋼管廠進(jìn)貨時(shí)得到的原料鋼管長(zhǎng)度都是一定的，而顧客需求的 鋼管長(zhǎng)度多樣，因此零售商必須將鋼

3、管按顧客的需求切割后售出。現(xiàn)有一零售商 從鋼管廠進(jìn)貨時(shí)得到的原料鋼管長(zhǎng)度都為1850mm，有一客戶需要15根290mm、 28根315mm、21根350mm和30根455mm的鋼管。為了簡(jiǎn)化生產(chǎn)過(guò)程，規(guī)定所使 用的切割模式的種類不能超過(guò)4種，使用頻率最高的一種切割模式按照一根原料 鋼管價(jià)值的1/10增加費(fèi)用，使用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價(jià)值的 2/10增加費(fèi)用，依此類推，且每種切割模式下切割次數(shù)不能太多，規(guī)定一根原 料鋼管最多生產(chǎn)5根產(chǎn)品，此外，為了減少余料浪費(fèi)，每種切割模式下的余料浪 費(fèi)不超過(guò)100mm。根據(jù)以上約束條件，求解一個(gè)最優(yōu)下料模型，使得總費(fèi)用最少。2問(wèn)題分析對(duì)于下料問(wèn)題

4、首先要確定采用哪些切割模式，所謂切割模式，是指按照顧客 要求的長(zhǎng)度在原料鋼管上安排切割的一種組合。于是問(wèn)題化為在滿足客戶需要的 條件下，按照哪幾種合理的模式，每種模式切割多少根原料鋼管最為節(jié)省。而所 謂節(jié)省，可以有兩種標(biāo)準(zhǔn)，一是切割后剩余的總余料量最小，二是切割原料鋼管 的總根數(shù)最少。如果按照以上的辦法處理，首先要通過(guò)枚舉法確定哪些切割模式 是合理的，并從中選出不超過(guò)4種模式，但是這種方法比較復(fù)雜。所以我們選擇 建立整數(shù)非線性規(guī)劃模型分析求解，同時(shí)確定切割模式和切割數(shù)量，。鋼管進(jìn)行切割后售出，為取得最大的經(jīng)濟(jì)效益要求總費(fèi)用最少，而在進(jìn)行切 割時(shí)，一個(gè)合理的切割模模型應(yīng)盡可能地減少余料浪費(fèi)（題中

5、給出要求為每根原 料鋼管浪費(fèi)量不能超過(guò)100mm）。對(duì)要求的四種切割模式進(jìn)行假設(shè)（為縮小可行解的搜索范圍可直接假設(shè) x1=x2=x3=x4）,根據(jù)題目對(duì)模型中提出的各種要求將假設(shè)的數(shù)據(jù)進(jìn)行約束， 用LINGO11程序求出最優(yōu)解，并將求出的最優(yōu)解代入問(wèn)題進(jìn)行驗(yàn)證。3模型假設(shè)在加工鋼管時(shí)機(jī)器正常工作，垂直切割且按所要求的規(guī)格切割。零售商從鋼管廠進(jìn)貨時(shí)所獲得的鋼管均為合格品。加工的鋼管不考慮因摩擦或加熱而引起的變形，即所加工的鋼管都是令 人滿意的。余額不進(jìn)行循環(huán)加工使用。忽略鋼管切割處的廢屑。每根原料鋼管的價(jià)值穩(wěn)定。4符號(hào)假設(shè)Xi：按照第i種模式，原料鋼管被切割的根數(shù)。Ai：第i種模式下，每根原料鋼

6、管中切割為290mm規(guī)格的鋼管根數(shù)。Bi：第i種模式下，每根原料鋼管中切割為315mm規(guī)格的鋼管根數(shù)。Ci：第i種模式下，每根原料鋼管切割為355mm規(guī)格的鋼管根數(shù)。Di：第i種模式下，每根原料鋼管切割為450mm規(guī)格的鋼管根數(shù)。Li:顧客所需鋼管規(guī)格（L1=290mm, L2=315mm, L3=350mm，L4=455mm）附加說(shuō)明：i取1，2，3, 45模型建立l、決策變量規(guī)定所使用的切割模式種類不能超過(guò)四種，額外切割費(fèi)用根據(jù)所使用的模式 頻率變化?？捎肵i（i=1、2、3、4）來(lái)表示第i種模式下切割原料鋼管的根數(shù)，顯然它 們?yōu)榉秦?fù)整數(shù)。并用ai，bi，ci，di （非負(fù)整數(shù)）表示第i種

7、模式中每根原料鋼管切 割為290mm,315mm,350mm和455mm規(guī)格的鋼管數(shù)量。II、決策目標(biāo)由于不同切割模式不能超過(guò)4種，使用頻率最高的一種切割模式按照一根原 料鋼管價(jià)值的二增加費(fèi)用，使用頻率次之的模式按照一根原料鋼管價(jià)值的二增加 費(fèi)用，依次類推。為方便求解，在此假設(shè)原料鋼管費(fèi)用為單位1,于是以總費(fèi)用最 小為目標(biāo)，即min z=1.1x1+1.2x2+1.3x3+1.4x4m、約束條件（1）為滿足客戶對(duì)不同規(guī)格的鋼管根數(shù)的數(shù)量需求，應(yīng)有：V xi*ai 15J xi*bi 28xi * ci 21xi*di 30:i = l（2）每一種切割模式必須可行、合理，所以每根原料鋼管的成品量

8、不能超過(guò)1850，也不能少于1750 （余料不能大于100），于是1850 NL1*ai+L1*bi+L3*ci+L4*di1750i=1,2,3,4（3）每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多，一根原料鋼管最多可生產(chǎn)5根產(chǎn)品，故有以下約束：ai+bi+ci+di x2x3 Nx4（5）原料鋼管的根數(shù)不可能少于=19 （根）考慮一種最浪費(fèi)的生產(chǎn)計(jì)劃：若只生產(chǎn)290mm鋼管，一根原料鋼管切割成6 根290mmm鋼管，而每種切割模式下的切割次數(shù)不能多于5次，所以一根原料鋼 管切割成5根290mm的鋼管，而為滿足15根2 90mm鋼管的需求，則需要切割3根 原料鋼管；若只產(chǎn)生315mm鋼管，一根原料鋼管可

9、切割成5根315mm鋼管，而為 滿足28根315mm鋼管的需求，則需要切割6根原料鋼管；若只產(chǎn)生355mm鋼管， 一根原料鋼管可切割成5根355mm鋼管，而為滿足21根355mm鋼管的需求，則需 要切割5根原料鋼管；若只產(chǎn)生4 50mm鋼管，一根原料鋼管可切割成4根4 50mm 鋼管，而為滿足30根450mm鋼管的需求，則需要切割8根原料鋼管。因此，共需 3 + 6+5 + 8=22根原料鋼管，所以有：19 x1+x2+x3+x4 15 xi*bi 28 xi * ci 21 xi * di 301750 LI* ai- Ll*bi-L3* ci-L4* di 1S50ai bi ci di

10、x2 x3 x419 xl-x2 -x3 -x4 15315mm 的鋼管有：2x14 = 28 28350 的鋼管有：5x4 + 1x1 = 21 21455 的鋼管有：2 X 14 + 2 X 1 = 30 30第一種切割模式下余料：1850 - (1 x 290 + 2x 315 + 2x 455)= 20 100第二種切割模式下余料：1850 - 5 x 350 = 100 100第三種切割模式下余料：1850 -(2x 290 + 1 x 350 + 2x 455 )= 10 100 由檢驗(yàn)結(jié)果可知，模型求解結(jié)果滿足題中的約束。參考文獻(xiàn)1理科愛(ài)好者：教育教學(xué)版2009年第4期,丁勇.肖

11、華勇，實(shí)用數(shù)學(xué)建模與軟件應(yīng)用，西北工業(yè)大學(xué)出版社,2010,8.附錄1:鋼管下料總費(fèi)用最小問(wèn)題的Ling o總程序代碼:model:min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;a1+b1+c1+d1=5;a2+b2+c2+d2=5;a3+b3+c3+d3=5;a4+b4+c4+d4=5;290*a1+315*b1+350*c1+455*d1=1850;290*a2+315*b2+350*c2+455*d2= 1850;290*a3+315*b3+350*c3+455*d3= 1850;290*a4+315*b4+350*c4+455*d4=1750;290*a2+315*b

12、2+350*c2+455*d2= 1750;290*a3+315*b3+350*c3+455*d3= 1750;290*a4+315*b4+350*c4+455*d4= 1750;a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4=15;b1*x1+b2*x2+b3*x3+b4*x4=28;c1*x1+c2*x2+c3*x3+c4*x4=21;d1*x1+d2*X2+d3*x3+d4*x4=30;x1=x2;x2=x3;x3=x4;x1+x2+x3+x4=19;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(a1);gin(a2);gin(a3);gin(a4);gin(b

13、1);gin(b2);gin(b3);gin(b4);gin(c1);gin(c2);gin(c3);gin(c4);gin(d1);gin(d2);gin(d3);gin(d4);end附錄2：Local optimal solution found.Objective value:21.50000Objective bound:21.50000Infeasibilities:0.000000Extended solver steps:104Total solver iterations:8521VariableValueRow Slack or SurplusX114.00000X24.000000X31.000000X40.000000A11.000000B12.000000C10.000000D12.000000A20.000000B20.000000C25.000000D20.000000A32.000000B30.000000C31.000000D32.000000A41.000000B42.000000C40.000000D42.000