傅里葉變換的原理及matlab實(shí)現(xiàn)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 傅里葉變換的原理及matlab實(shí)現(xiàn)課程名稱： 數(shù)字圖像處理 學(xué) 院： 信息工程與自動(dòng)化學(xué)院 專 業(yè)： 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù) 年 級(jí)： 09級(jí) 學(xué)生姓名： 111 指導(dǎo)教師： 1111 日 期： 2012-6-10 教 務(wù) 處 制 TOC o 1-3 h z u 一、傅立葉變化的原理；（1）原理正交級(jí)數(shù)的展開(kāi)是其理論基礎(chǔ)！將一個(gè)在時(shí)域收斂的函數(shù)展開(kāi)成一系列不同頻率諧波的疊加，從而達(dá)到解決周期函數(shù)問(wèn)題的目的。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行推廣，從而可以對(duì)一個(gè)非周期函數(shù)進(jìn)行時(shí)頻變換。從分析的角

2、度看，他是用簡(jiǎn)單的函數(shù)去逼近（或代替）復(fù)雜函數(shù)，從幾何的角度看，它是以一族正交函數(shù)為基向量，將函數(shù)空間進(jìn)行正交分解，相應(yīng)的系數(shù)即為坐標(biāo)。從變幻的角度的看，他建立了周期函數(shù)與序列之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；而從物理意義上看，他將信號(hào)分解為一些列的簡(jiǎn)諧波的復(fù)合，從而建立了頻譜理論。當(dāng)然Fourier積分建立在傅氏積分基礎(chǔ)上，一個(gè)函數(shù)除了要滿足狄氏條件外，一般來(lái)說(shuō)還要在積分域上絕對(duì)可積，才有古典意義下的傅氏變換。引入衰減因子e(-st)，從而有了Laplace變換。（好像走遠(yuǎn)了）。（2）計(jì)算方法連續(xù)傅里葉變換將平方可積的函數(shù)f（t）表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分或級(jí)數(shù)形式。這是將頻率域的函數(shù)F()表示為時(shí)間域的函數(shù)f（

3、t）的積分形式。連續(xù)傅里葉變換的逆變換 (inverse Fourier transform)為即將時(shí)間域的函數(shù)f（t）表示為頻率域的函數(shù)F()的積分。一般可稱函數(shù)f（t）為原函數(shù)，而稱函數(shù)F()為傅里葉變換的像函數(shù)，原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個(gè)傅里葉變換對(duì)（transform pair）。二、傅立葉變換的應(yīng)用；DFT在諸多多領(lǐng)域中有著重要應(yīng)用，下面僅是頡取的幾個(gè)例子。需要指出的是，所有DFT的實(shí)際應(yīng)用都依賴于計(jì)算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法，即快速傅里葉變換（快速傅里葉變換（即FFT）是計(jì)算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法。）。（1）、頻譜分析DFT是連續(xù)傅里葉變換的近似。因此可以對(duì)連續(xù)信

4、號(hào)x(t)均勻采樣并截?cái)嘁缘玫接邢揲L(zhǎng)的離散序列，對(duì)這一序列作離散傅里葉變換，可以分析連續(xù)信號(hào)x(t)頻譜的性質(zhì)。前面還提到DFT應(yīng)用于頻譜分析需要注意的兩個(gè)問(wèn)題：即采樣可能導(dǎo)致信號(hào)混疊和截?cái)嘈盘?hào)引起的頻譜泄漏。可以通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)牟蓸宇l率（見(jiàn)奈奎斯特頻率）消減混疊。選擇適當(dāng)?shù)男蛄虚L(zhǎng)度并加窗可以抑制頻譜泄漏。（2）、數(shù)據(jù)壓縮由于人類感官的分辨能力存在極限，因此很多有損壓縮算法利用這一點(diǎn)將語(yǔ)音、音頻、圖像、視頻等信號(hào)的高頻部分除去。高頻信號(hào)對(duì)應(yīng)于信號(hào)的細(xì)節(jié)，濾除高頻信號(hào)可以在人類感官可以接受的范圍內(nèi)獲得很高的壓縮比。這一去除高頻分量的處理就是通過(guò)離散傅里葉變換完成的。將時(shí)域或空域的信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域，僅

5、儲(chǔ)存或傳輸較低頻率上的系數(shù)，在解壓縮端采用逆變換即可重建信號(hào)。（3）、OFDMOFDM（正交頻分復(fù)用）在寬帶無(wú)線通信中有重要的應(yīng)用。這種技術(shù)將帶寬為N個(gè)等間隔的子載波，可以證明這些子載波相互正交。尤其重要的是，OFDM調(diào)制可以由IDFT實(shí)現(xiàn)，而解調(diào)可以由DFT實(shí)現(xiàn)。OFDM還利用DFT的移位性質(zhì)，在每個(gè)幀頭部加上循環(huán)前綴（Cyclic Prefix），使得只要信道延時(shí)小于循環(huán)前綴的長(zhǎng)度，就能消除信道延時(shí)對(duì)傳輸?shù)挠绊?。三、傅里葉變換的本質(zhì)；傅里葉變換的公式為可以把傅里葉變換也成另外一種形式：可以看出，傅里葉變換的本質(zhì)是內(nèi)積，三角函數(shù)是完備的正交函數(shù)集，不同頻率的三角函數(shù)的之間的內(nèi)積為0，只有頻率

6、相等的三角函數(shù)做內(nèi)積時(shí)，才不為0。下面從公式解釋下傅里葉變換的意義因?yàn)楦道锶~變換的本質(zhì)是內(nèi)積，所以f(t)和求內(nèi)積的時(shí)候，只有f(t)中頻率為的分量才會(huì)有內(nèi)積的結(jié)果，其余分量的內(nèi)積為0?？梢岳斫鉃閒(t)在上的投影，積分值是時(shí)間從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的積分，就是把信號(hào)每個(gè)時(shí)間在的分量疊加起來(lái)，可以理解為f(t)在上的投影的疊加，疊加的結(jié)果就是頻率為的分量，也就形成了頻譜。傅里葉逆變換的公式為下面從公式分析下傅里葉逆變換的意義傅里葉逆變換就是傅里葉變換的逆過(guò)程，在和求內(nèi)積的時(shí)候，只有t時(shí)刻的分量?jī)?nèi)積才會(huì)有結(jié)果，其余時(shí)間分量?jī)?nèi)積結(jié)果為0，同樣積分值是頻率從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的積分，就是把信號(hào)在每個(gè)頻率在t時(shí)

7、刻上的分量疊加起來(lái)，疊加的結(jié)果就是f(t)在t時(shí)刻的值，這就回到了我們觀察信號(hào)最初的時(shí)域。對(duì)一個(gè)信號(hào)做傅里葉變換，然后直接做逆變換，這樣做是沒(méi)有意義的，在傅里葉變換和傅里葉逆變換之間有一個(gè)濾波的過(guò)程。將不要的頻率分量給濾除掉，然后再做逆變換，就得到了想要的信號(hào)。比如信號(hào)中摻雜著噪聲信號(hào)，可以通過(guò)濾波器將噪聲信號(hào)的頻率給去除，再做傅里葉逆變換，就得到了沒(méi)有噪聲的信號(hào)。優(yōu)點(diǎn)：頻率的定位很好，通過(guò)對(duì)信號(hào)的頻率分辨率很好，可以清晰的得到信號(hào)所包含的頻率成分，也就是頻譜。缺點(diǎn)：因?yàn)轭l譜是時(shí)間從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的疊加，所以，知道某一頻率，不能判斷，該頻率的時(shí)間定位。不能判斷某一時(shí)間段的頻率成分。例子：平穩(wěn)信

8、號(hào)：x(t)=cos(2*pi*5*t)+cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*50*t)傅里葉變換的結(jié)果：由于信號(hào)是平穩(wěn)信號(hào)，每處的頻率都相等，所以看不到傅里葉變換的缺點(diǎn)。對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)：信號(hào)是余弦信號(hào)，仍然有四個(gè)頻率分量傅里葉變換的結(jié)果：由上圖看出知道某一頻率，不能判斷，該頻率的時(shí)間定位。不能判斷某一時(shí)間段的頻率成分。四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容；（一）用快速傅立葉變換FFT實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像的傅立葉變換，進(jìn)一步加深對(duì)DFT算法原理和基本性質(zhì)的理解（因?yàn)镕FT只是DFT的一種快速算法，所以FFT的算法結(jié)果必然滿足DFT的基本性質(zhì)）。（二）熟悉FFT算法原理和FFT子程序的

9、應(yīng)用。（三）學(xué)習(xí)用FFT對(duì)連續(xù)信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)進(jìn)行譜分析的方法，了解可能出現(xiàn)的分布誤差及其原因，以便在實(shí)際中正確應(yīng)用FFT。五、傅立葉變換方法；（1）、矩陣形式的傅立葉變換的算法如下：數(shù)字圖像F的傅立葉正變換：數(shù)字圖像F的傅立葉反變換：F=變換矩陣，其中，N 為圖像的維數(shù)。六、 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析；（一）對(duì)原圖像進(jìn)行傅立葉變換，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5-1： 圖5-1分析：圖像顯示了原圖像及其傅立葉頻譜。觀察傅立葉譜中心對(duì)稱，在此圖像進(jìn)行傅立葉變換的計(jì)算之前被乘以，以此增強(qiáng)了灰度級(jí)細(xì)節(jié)。（二）輸出彩色圖像greens.jpg的傅立葉頻譜，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5-2：圖5-2分析：圖像顯示了原圖像和其彩色圖像傅立葉

10、頻譜。可以看出圖像的頻率分布是以原點(diǎn)為圓心，對(duì)稱分布的。變換之后的圖像在原點(diǎn)平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說(shuō)明低頻的能量大（幅角比較大）（三）對(duì)彩色圖像football.jpg進(jìn)行二維DCT變換，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5-3: 圖5-3分析：二維DCT變換后的頻譜圖亮點(diǎn)在左上角。七、傅立葉變換的意義；（1）、傅立葉變換的物理意義傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以

11、累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對(duì)應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說(shuō)也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。因此，可以說(shuō)，傅立葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào)。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，盡管最初傅

12、立葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。任意的函數(shù)通過(guò)一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類：1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù),它還是酉算子;2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;3. 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段;4. 離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同

13、頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取;5. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT)。正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。（2）、圖像傅立葉變換的物理意義圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值很低；而對(duì)于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。傅立葉變換在實(shí)際中有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個(gè)能量有限的模擬信號(hào)，則其傅

14、立葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來(lái)處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域。換句話說(shuō)，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù)。傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對(duì)在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，我們習(xí)慣用一個(gè)二維矩陣表示空間上各點(diǎn)，則圖像可由z=f(x,y)來(lái)表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就由梯度來(lái)表示，這樣我們可以通過(guò)觀察圖像得知物體在

15、三維空間中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。為什么要提梯度？因?yàn)閷?shí)際上對(duì)圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒(méi)有。傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大?。梢赃@么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn)，高頻部分相反）。一般來(lái)講，梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。這樣通過(guò)觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖，我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對(duì)較?。粗?，如果頻

16、譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對(duì)頻譜移頻到原點(diǎn)以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點(diǎn)為圓心，對(duì)稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個(gè)好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號(hào)，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移頻到原點(diǎn)的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點(diǎn)為中心，對(duì)稱分布的亮點(diǎn)集合，這個(gè)集合就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時(shí)可以很直觀的通過(guò)在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。八、總結(jié)；圖像經(jīng)過(guò)二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明： 若變換矩陣Fn原點(diǎn)設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近(圖中陰影區(qū))。若所用的二

17、維傅立葉變換矩陣Fn的原點(diǎn)設(shè)在左上角，那么圖像信號(hào)能量將集中在系數(shù)矩陣的四個(gè)角上。這是由二維傅立葉變換本身性質(zhì)決定的。同時(shí)也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域。 變換之后的圖像在原點(diǎn)平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說(shuō)明低頻的能量大（幅角比較大）。九附錄；利用Matlab語(yǔ)言編寫(xiě)的數(shù)字圖像處理的例程如下：傅立葉變換Matlab圖像的DFTclc;figure(1);load imdemos saturn2;imshow(saturn2);title(原圖像);figure(2);S=fftshift(fft2(saturn2);figure(2);S=fftshift(fft2(saturn2);imshow(log(abs(S),);title(原圖像傅立葉頻譜);彩色圖像的傅立葉頻譜figure(1);A=imread(greens.jpg);B=rgb2gray(