長安大學2011數(shù)值分析原理試題卷及答案

1、長安大學2011-2012學年第一學期研究生數(shù)值分析原理試題(A)卷說明：1.試題共9道大題、共2頁?？荚嚂r間兩個小時，可帶計算器。所有答案都寫在答題紙(試卷)上，否則無效。一.(本題滿分8分)給定方程x2+ x - 2 = 0 , x e 0,2，采用迭代公式x = x + c(x2 + x 一 2) , (k = 0, 1, 2,)求其根:+ !問當常數(shù)c為何值時，迭代法收斂？又當c為何值時，迭代法收斂最快?解：x * = 1，中(x) = x + c (x2 + x 一 2),中(x) = 1 + c (2 x + 1)，3 分一 2+ c(2 + 1) = 3c + 1 1 ,即-一

2、c 0 時，線性收斂;3當 e(1) = 0，即c = -L 時，3收斂最快。f 1 f (x) dx，當 M = 1/8 及 M = 1/32，用 11 點的 復化辛普森(Simpson )求積公式求1的截斷誤差為RJ f ，用n個節(jié)點的復化梯形 求積公式求I的截斷誤差為冊f ，要使R f R f ，n至少是多少？ If(x) , M = max |f(4)(x) 4b - a 1 h1 =奇=言,(本題滿分8分)對于定積分I =(M 2 = max解：n = 10Tx e 0,1Rs f Rt f | =b 一 a 福& h14 f (4)(n 2)b - ah2 f)121當 L h 2

3、 . 1 L .上,128180 104 3211801041 , 322分1 -h2 -1282分h I10 -2 ,602分n - 1 = 1 N *60 100 = 774.5 9，取n = 776。h.(本題滿分12分)設計一種求I =f1 exxndx ( n為非負整數(shù))穩(wěn)定的遞推算法，包2分括遞推公式、初值的確定;當初值I = e時，利用上述穩(wěn)定的遞推公式計算三202 2 1個連續(xù)的積分值。解：I = f 1 exxndx = exxn n 0利用I遞推計算求In 一 1n個穩(wěn)定算法；而利用遞推公式：In 一 11 - nf 1 exxn-1 dx = e - nI ，2 分時，每

4、次計算將I 的誤差放大n倍，因而該算法不是一 - 1 I ,利用I遞推計算求I時，每次計 n n nnn -1算將I的誤差縮小n倍，因而該算法是一個穩(wěn)定算法；一3分由于 =f 1 xndx I = f 1 exxndx 0，建立高斯型求枳公式j h-hx2f (x) dx A f (x ) + A(xg , g ) j x 2f (x2.xdx）。0=0.1 3260，當I2000-I 18四.（本題滿分.I = 0.1 4346。h-hx2 dxn較大時，可取該區(qū)間內的任1T(g1,g 1)(g L g(g 0, g 0)令 g2(x) = 0，jh- hhx2.x2dx-hhx2.x2dx

5、一jh 2/=x2 dx-hx2 . x . x2 dx)g1 - p0g0得高斯點:x24分x 一 x 2x2x -rx 一 x21j h x2 .-h高斯型求積公式為：j h x2 f (x)dxdxdx另解:解得：4分12h ,2 hf (x) = 1, A + A = j x2 dx =hf (x) = x, A x + A x = j x2 . xdx = 01 12 2,-hf (x) = x2, A x2 + A x21122x = - x124分jh-hx2.x2dx =x3, A x3 + A x3 =1122=.h，j h x2 . x3 dx = 0 -h4 分 A =

6、A4分五.(本題滿分12分)給定方程組x + 2 x - 2 x = 5 x + x + x = 1x + 2 x + x = 3 TOC o 1-5 h z 1123(本小題滿分6分)用三角分解法解此方程組;(本小題滿分6分)寫出解此方程組的雅可比迭代公式，說明收斂性；取初始1112-2 -解：1) L =1 1，U =-13,2分2 2 1_- 1 _向量 x = (0,0,0) T , 0當虹1 - xjl 10 -2時，求其解。 TOC o 1-5 h z L Y = Z的解為：y = 5, y = -4, y = 1 ; 2 分U X =幺的解為：x = - 1, x = 1, x

7、= 1。2 分2)雅可比迭代公式3：21+5213x (k +1 j-2 x k(2、301-221B =-10-1J-2-20X=0,P (B)=x k (2x( k + 1 J1x( k + 1 J-2 x k( + 2 x k (x k( x k ( +,|x E - Bj1,2,3J0,+3(k = 0,1,2,;2分則雅可比迭代關于任意初始向量x(0)收斂。x = (0,0,0)T 時，可算得：x01x 3 = (1,1, - 1) T , x 4 = (1,1, - 1)六.(本題滿分12分)給定方程3 x 2 - e=(5,1, 3)T2分2分,x = (9, -7, -9)t

8、,3,4構造一種線性收斂的不動點迭代公式求該方程的根(含迭代公式、初值取何值 或何區(qū)間，迭代法收斂的原因)；構造一種二次收斂的不動點迭代公式求該方程的根(含迭代公式、初值取何值 或何區(qū)間，迭代法收斂的原因)。解：1)中(x) = ln(3 x2), 0f (x) = 6x - ex 0 , f(x) = 6 - ex 0 取初值x0 = 3時，牛頓迭代法：3x2 - exkk+1 k 6 x - e 收斂，且二階收斂：xk3分2分2分)對于任意初值x e 3, 4收f (4) 0，x e 3,4;012(e ,e ) = 1/2 ,(e , e ) = 1 / 3 , (e , e ) = 1

9、 / 4 , (e , e ) = 1 / 400010211(e ,e ) = 1/5,(e ,e ) = 1/6，12221兀11(e , f) = ln 2，(e , f) = 1 - 一，(e , f) = 一一一m2 ;0214222(取權函數(shù)p (X) = x)。解：取中(X) = 1，中(X) = X，中(X) = X2，可算得:正規(guī)方程組為:1/21/31/4-c 1001/ 2 In 211/31/41/5c1cL 2=1一兀/ 4，9分1/41/51/6 _1/2-1 / 2 ln 2解得：c=0.10854，c1=0.0561，c =2-0.3301 ;3分( f , f

10、 )=1，41分平方逼近誤差：七.(本題滿分15分)求f(x)=在區(qū)間0,11 + x 2上的二次最佳平方逼近多項式，以及平方逼近誤差s 2 = (f , f )- c e00八.(本題滿分15分)f -) c e 2 f0.2243。2 分1)已知f (x)的如下函數(shù)值：f (0) = 1 ,f=3 , f (3) = 5 ;寫出二次拉格朗日插值多項式L2(x); 若同時已知：f，=1,用待定系數(shù)法求埃爾米特插值多項式Hx);當 1 |f (x) 2 及3 |f (4)(x) 0), f (x)的三階導數(shù)連續(xù)，證明 TOC o 1-5 h z 1h 2“f (X ) = - f (X ) +

11、 f (X ) - f (C )12 h 026其中：(X , X )為中值。證明：過(x , y )，(x , y )，(x , y )的插值多項式 001122(X - X )( X - X )(X - X )( X - X )(X - X )( X - X )L (X) =12 f (X ) +0 L f (X ) +01 f (X )2(X - X )(X - X )0(X - X )( X - X )1(X - X )( X - X )2010210122021(X - X )( X - X )(X - X )( X - X )(X - X )( X - X )=1h f (X )0

12、h f ( x ) +0f (X )；2 h 20h 212 h 22L ( x ) = |- f ( x + f ( x ,) -1 分 212 h02而 f ( x ) - L ( x )=( x - x )( x - x )( x - x ) ;1 分23 !012其中：門e (x , X )為中值，與x有關；f (X ) - L ( x ) = (X - x )(X - x )(X - X );1 分1213 !012 X=X1h 2即有 f(X ) = 一- f (X ) + f (X ) -一 f(C )，1 分12h026其中：C e (x0, X2)為中值。附：計算中可能用到的部分公式:1.首項系數(shù)為1的正交多項式的遞推公式: g 1