食堂人流排隊論講解

1、研究三水校區(qū)飯?zhí)梦绮蜁r段的人流問題組員:陳兆聰陳姻姻何艷超摘要本文圍繞廣東財經(jīng)大學(xué)三水校區(qū)第二飯?zhí)梦绮蜁r段的人流問題。本文是通過問卷調(diào)查（附件）得出學(xué)生在中午去飯?zhí)眠x擇的時間段比例， 然后推算出飯?zhí)脙?nèi)的總?cè)藬?shù)和達(dá)到的總?cè)藬?shù)與時間的散點(diǎn)圖，通過擬合得到函 數(shù)，并畫出飯?zhí)脙?nèi)學(xué)生人流的動態(tài)圖（如圖1），把飯?zhí)媚Ｐ秃唵位?，通過此 圖來解決問題1、2、3。運(yùn)用層次分析法，建立了層次模糊評價模型。首先設(shè) 定了三級評價指標(biāo)，確定出評價指標(biāo)和評價等級論域，利用模糊統(tǒng)計的方法， 計算出各指標(biāo)對于相應(yīng)評價等級的隸屬度，得到模糊關(guān)系矩陣。然后根據(jù)各指 標(biāo)之間的相對重要程度，構(gòu)造出判別矩陣，從而經(jīng)過相應(yīng)的運(yùn)算，確定各

2、指標(biāo) 的權(quán)系數(shù)。再通過模糊矩陣的復(fù)合運(yùn)算，最后對各指標(biāo)權(quán)值和指標(biāo)分值，利用 綜合加權(quán)法，確定出影響食堂綜合評價結(jié)果的主要指標(biāo)。結(jié)合模型結(jié)果和食堂 現(xiàn)狀，通過什么合理的措施，提高指標(biāo)值。給出了具計算結(jié)果和提高食堂服務(wù) 質(zhì)量和效率的的切實可行的建議，并對模型作出了分析和評價。關(guān)鍵詞：擬合模型層次分析法多層次模糊評價模型一、問題重述廣東財經(jīng)大學(xué)三水校區(qū)第二食堂存在著設(shè)計和管理上的缺憾，因此造成了 有效資源未被充分利用的問題和食堂內(nèi)秩序混亂擁擠，讓大量的時間和資源白 白浪費(fèi)。只有實行高效的管理和充分的利用資源，才可以使得食堂的盈利，學(xué) 生在食堂就餐的舒適度得到顯著提升。在此下文就專注于討論食堂資源的利

3、用 方式，本文以第二飯?zhí)茫慈龢菫榻處煵蛷d的那個飯?zhí)茫槔?，討論一下?題：給出飯?zhí)脙?nèi)人數(shù)隨時間變化的數(shù)學(xué)模型；給出買飯排隊時長隨時間變化的數(shù)學(xué)模型；給出已買飯者人均座位占有量隨時間變化的數(shù)學(xué)模型；在本題的語境下，提出一個衡量飯?zhí)脿顩r合理程度的指標(biāo)，并計算當(dāng)前情 況下的指標(biāo)值；通過什么合理的措施，可以提高指標(biāo)值？給出具體的方案和計算結(jié)果。二、問題分析1、對于問題一的分析本文根據(jù)實際，把午餐時間定在10： 30到13:00，并劃分每十五分鐘的 輸入量為一組數(shù)據(jù)，用輸入量減去輸出量得到各個時間段飯?zhí)玫娜藬?shù)。再根 據(jù)數(shù)據(jù)擬合出合理的模型。2、對問題二的分析飯?zhí)脙?nèi)每一個達(dá)到的學(xué)生都會先排隊，本文根據(jù)這

4、個細(xì)節(jié)，運(yùn)用原始數(shù) 據(jù)和每個服務(wù)時間離開隊伍的學(xué)生得到排隊時間隨時間的變化。3、問題三的分析由于排完隊的人數(shù)減去飯?zhí)幂敵隽烤褪秋執(zhí)脙?nèi)正在就餐的人數(shù)，而且知道 飯?zhí)米粩?shù)，就可求出就餐人數(shù)與總座位數(shù)的比就為座位占有量。4、對問題四的分析該問題要求我們建立合理的就餐滿意度指標(biāo)，分別對于食堂每個方面的 情況給出評價。此問題采用多層次的模糊綜合評價方法來解決，即多層次分 析法，其過程是：將與決策有關(guān)的元素分解成目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等層次，在 此基礎(chǔ)上進(jìn)行定性和定量分析，這是一種層次權(quán)重決策分析方法。首先，我 們需要建立一些對于食堂的綜合評價具有決定性的就餐滿意度指標(biāo)，比如考 慮的因素可以包括：食堂的位置關(guān)

5、系、飯菜的性價比、環(huán)境；將這些指標(biāo)分 成三個層次；再設(shè)定每個層次中的各因素可選取的評價等級，分別求出各因 素對于每個等級的隸屬度，從而建立模糊矩陣，；最后根據(jù)每個層次中各個 指標(biāo)的對于上一層次的重要次序建立判別矩陣，從而確定了各指標(biāo)的權(quán)重分 配，依次求解得到定量的評價。從而可以確定食堂的綜合評價結(jié)果和哪些因 素的關(guān)系最大。5、問題五的分析問題五要求在問題四建立模型的基礎(chǔ)上，提高指標(biāo)值，改變隸屬值，得 到評價分?jǐn)?shù)?？偨Y(jié)出食堂餐飲部門的優(yōu)缺點(diǎn)，并給出合理的建議。三、模型假設(shè)1、只研究廣東財經(jīng)大學(xué)三水校區(qū)第二飯?zhí)玫木筒鸵?guī)律，并建造相關(guān)模型。2、因三水校區(qū)學(xué)生在外就餐次數(shù)少、不規(guī)律，忽略到外就餐人數(shù)，

6、假設(shè)所有學(xué)生都在食堂就餐。3、因節(jié)假日就餐情況特殊，無法反應(yīng)學(xué)生就餐規(guī)律，故本文只針對工作日 的就餐模式。4、因教職工用餐與學(xué)生基本分開，故不考慮教職工的就餐等方面。5、假設(shè)所得到的數(shù)據(jù)真實可靠。6、根據(jù)調(diào)查，我校三水校區(qū)有學(xué)生大約9000人，至少有2534人去2飯吃 飯；由于無論在一樓還是二樓打飯后不限定在一樓還是二樓吃飯，同時 食堂容納為2600人，2600大于2534人，所以在此不需考慮找不到位置 等待的時間。7、忽略拿餐具的時間。8、忽略已買飯不在食堂就餐的人數(shù)。9、每一個學(xué)生進(jìn)食堂都優(yōu)先選擇隊長短的排隊。10、忽略食堂一、二樓的差別。11、假設(shè)當(dāng)x0的時候，已經(jīng)有學(xué)生在飯?zhí)门抨牫燥?

7、2、假設(shè)平均服務(wù)時間為50s (附錄)13、為了方便計算把10： 30假設(shè)為0，10： 45假設(shè)為15，以此類推。四、符號說明符號說明x中午時段的某個時間yt時段飯?zhí)每側(cè)藬?shù)C到達(dá)飯?zhí)萌藬?shù)T每個窗口的服務(wù)時間Y已買飯者人均座位占有量Q排隊時長N已買飯人數(shù)符號說明U表示就餐滿意度指數(shù)Vi表示第i(i = 1,2,3,4,5)個評價等級R表示模糊關(guān)系矩陣a ij表示某項指標(biāo)U.對于另 指標(biāo)U j的重要程度(i, j = 1,2,.,n)A表示評判矩陣w表示權(quán)重向量L表示U的 級模糊綜合評判向量M表示各指標(biāo)的綜合評價值五、模型的建立與求解1、模型的建立建立食堂就餐模型，下圖為學(xué)生食堂就餐流程圖：圖12

8、、對于問題一，建立多項式擬合模型根據(jù)問卷調(diào)查（附錄），得到午餐時間段內(nèi)飯?zhí)妹渴宸昼姷妮斎?量，再由每種類型的窗口的服務(wù)時間計算出平均服務(wù)時間（附錄）。根據(jù) 實際數(shù)據(jù)，每個人的服務(wù)時間加就餐時間平均為15分鐘（在不需要排隊的 情況下）。所以得到每隔一個服務(wù)時長，飯?zhí)幂敵隽渴且欢ǖ摹Ｔ購?10： 30開始，用每個時間段達(dá)到飯?zhí)玫娜藬?shù)減去離開飯?zhí)玫娜藬?shù)，若有剩 余則疊加到下一個時段，若沒有剩余，則用下一時段達(dá)到的人數(shù)減去離開 飯?zhí)玫娜藬?shù)，以此類推，得到一系列數(shù)據(jù)。再利用Excel擬合得到飯?zhí)脙?nèi) 總?cè)藬?shù)隨時間的變化的多項式擬合模型。根據(jù)數(shù)據(jù)得到的飯?zhí)脙?nèi)人數(shù)隨時間的變化的模型為：-6.5333x +

9、98,0 x 150,15 x 30所以 y= 10.8667x- 22,30 x 600.0053x3 -1.9586x2 + 226.24x - 7626,60 x 135當(dāng)R2趨近于1,模型越可靠。3、對于問題二：由于某個時刻的排隊人數(shù)等于由開始到此刻到達(dá)飯?zhí)每側(cè)藬?shù)減去排完隊 的總?cè)藬?shù)。首先累加到達(dá)飯?zhí)玫娜藬?shù)，由于經(jīng)過一個服務(wù)時間排完隊人數(shù)為 15人，所以排完隊的總?cè)藬?shù)為18x，相減即排隊人數(shù)。再把排隊人數(shù)平均分 配到每個窗口，再乘上服務(wù)時間就可得到排隊時間。從圖看到，兩條曲線的兩個交點(diǎn)之間表示排完隊人數(shù)等于到達(dá)飯?zhí)玫目?人數(shù)，即這段時間到達(dá)飯?zhí)玫娜瞬挥门抨牐赃@段時間排隊時間為零。到

10、達(dá)飯?zhí)萌藬?shù)的累加函數(shù)為：C=-0.0032x3+0.6035x2-6.2747x+150.45用matlab求得兩函數(shù)的交點(diǎn)（附錄二）為：| x = 7. 563|x = 46. 059y = 136. 13y = 829. 08所以得到時飯?zhí)脙?nèi)排隊時長隨時間的變化的分段函數(shù)為：- 0.0032x3 + 0.6035x2 - 6. 2747x + 150. 45 - 18x5 /傘、八 * 一（x 34）Q = 156、0（10 X 30時，因為一直有人排隊，所以得到已買飯人數(shù)為18xN=18 -（ x 30）17所以，得到已買飯者的人均座位占有量隨時間變化模型為:心-1818x 17x ()

11、Y=L (x 40 J26005、對于問題四：（1）衡量飯?zhí)脿顩r合理程度的指標(biāo)模型一一層次模糊評價模型：根據(jù)對于食堂綜合評價的決定因素的調(diào)查情況，我們從中選取了一級評價指標(biāo)5個，二級評價指標(biāo)16個，具體的評價指標(biāo)如下表5-1：表1:就餐滿意度指標(biāo)就餐滿意指標(biāo)值位置關(guān)系 UP性價比U2環(huán)境與寢室 的位置 美等 U11教區(qū)圖館位關(guān) 隊與學(xué)和書的置系U1建立模型二：多層次模糊評價模型評價指標(biāo)論域和評價等級論域的確定根據(jù)上表，我們劃定就餐滿意度指數(shù)U的三個層次，即：U = U,U,U U = U,U U = U,U,U 123111122212223U3 = U31U32,U33 設(shè)定每個評價指標(biāo)的5

12、個評價等級，即很好、好、一般、差和很差，得 到評價集為V = V,V,V,V,V，其中V表示很好，V表示好，V表示一 12345123般，V4表示差，V5表示很差。不同等級對應(yīng)的分?jǐn)?shù)值為，很好90100， 好為9075，一般為6075，差為4560，很差為45以下。（3）模糊關(guān)系矩陣的建立：根據(jù)問卷調(diào)查（附錄三），利用模糊統(tǒng)計的方法，通過計算屬于某個評 價等級的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比來確定該指標(biāo)對于相應(yīng)評價等級的隸屬度， 即可得到相應(yīng)的模糊關(guān)系矩陣：1111R1=1575753_10202020一20 一一 49431 21121 121921 1214A_ 205 14202520 11020

13、110 _2R（4）9 一208 一194 一199 一202 一194 一19o o OO 7 一197 一19權(quán)重系數(shù)的確定:根據(jù)實際情況，得到某項指標(biāo)U.對于另一指標(biāo)U.的重要程度為a.，則指標(biāo)U對于指標(biāo)U的重要程度為a，即a = 1/， a滿足的條件為：.jiij/ a.ija. 0 ；a. = 1,i, j = 1,2,.,n。從而構(gòu)造出判別矩陣A = 0,）。關(guān)于如何確定的值，Saatj等建議引用數(shù)字19及其倒數(shù)作為標(biāo)度 表I列出 f 17標(biāo)度的含義，表】標(biāo)度的含義標(biāo)度含義1表示兩個因素相比具有相同重要性3表示兩個因素相比前者比后者稽重要5表示兩個因素相比前者比后者明顯重要r表示兩

14、個因素相比：前者比后者捏烈重要9表示兩個因素相比，前者比后者極端重要4, 6, 8表示上述相鄰判斷的中間值倒數(shù)若因素j與因素/的重要性之比為,那么因素J與因素，重要性之比為勺訂=1/%- 口根據(jù)判別矩陣A =（a），計算某級指標(biāo)U.中的某一元素U對該級指標(biāo)U.權(quán)重，具體的步驟為：1）將判別矩陣A =匕）中每一行的元素相乘，得H =n氣,i = 1,2,., n2）計算H/勺n次方根，得h = JH =1n,i = 1,2,.,ndV j=1 lJ 73）對向量h = （hh2,.,氣 作歸一化處理，得到權(quán)重向量rh h1 2頊頊=1 1i=1 2i=1 n 74)計算判別矩陣A = (aj)的

15、最大特征值Xmax，用平均法計算x k=k 辰max max n w=(w , w，,wi,其中（aw ）是權(quán)重W右乘A得到的列向量aw的第i個 i分量。5）檢查是否滿足一致性，CI = Xmax - n , CR = C ,其中RI可以查得，如表 n -1 RI5-3.若CR 0.10，則A具有滿意的一致性，否則應(yīng)該重新調(diào)整判斷矩陣中的 。司，直到CR 0.10具有滿意的一致性為止。n123456RI000.580.891.121.26表5-3平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI計算得出w1 =.6666 0. 3333 w2 w3 = L 093821 0.166592=0 1200 0.2300 0.

16、65000.739857(5)模糊矩陣的復(fù)合運(yùn)算將權(quán)重向量W和隸屬度關(guān)系A(chǔ)進(jìn)行模糊矩陣的復(fù)合運(yùn)算，得到模糊綜0.18330.09360.33400.11670. 08220合評價結(jié)果，根據(jù)隸屬度關(guān)系矩陣A，得到：L1 =w1R1= E.20000. 25000.2500L2 =w2R2= E. 17790. 25990. 3864L3 =w3R3=1 18270. 21550. 2681(6)多層次模糊綜合評價70.000 60.000 40.000根據(jù)調(diào)查得出綜合評價分：M = Eo.000 80.000計算各指標(biāo)的綜合評價分，如下:LtM = 71.1661L2TM = 72.755L3T

17、M = 72.49因此，三個指標(biāo)對應(yīng)的分?jǐn)?shù)值都為一般，表示學(xué)生對第二飯?zhí)玫奈恢藐P(guān) 系，飯菜的性價比，環(huán)境等的滿意程度一般。希望飯?zhí)眉右愿纳骑埐说膬r 格，口味，飯?zhí)脙?nèi)衛(wèi)生狀況，排隊時間，人均座位占有量等，以獲得更好的評價，得到更多學(xué)生的青睞，以增加營業(yè)額。5、對于問題五：根據(jù)對到達(dá)總?cè)藬?shù)數(shù)據(jù)的線性擬合為y=21x，得出當(dāng)窗口數(shù)量增加到321*3=31.5個時，到達(dá)的人幾乎不用排隊，但會造成資源浪費(fèi)。所以，窗口乙增加到20個比較合適，則學(xué)生對于排隊的時間的評價幾乎都為良，導(dǎo)致模糊關(guān)系矩陣R變?yōu)?31020 201019191919用層次模糊評價方法計算出綜合評價分為:11 / 16L tM 74.

18、243 3接近于“好”，所以飯?zhí)帽仨氈匾暸抨爼r間，為學(xué)生營造更好更優(yōu)效率的就餐空間，使飯?zhí)迷u價升高，盈利增加。六、模型評價1、模型的優(yōu)點(diǎn)（1）模型一通過調(diào)查多個同學(xué)的就餐習(xí)慣得到比較可靠的飯?zhí)幂斎肓鲾?shù)據(jù)。（2）預(yù)測了飯?zhí)萌肆饕?guī)律，對于模型一具有指導(dǎo)作用。（3）把整個過程看成動態(tài)過程，具有靈活性。（4）該模型運(yùn)用了層次分析法，把指標(biāo)量化了，清晰明確的表示各指標(biāo)的影響。同時又把定量和定性有機(jī)結(jié)合起來，更加數(shù)學(xué)化、系統(tǒng)化。再者需要的定 量信息少，更加快捷方便。（5）該模型運(yùn)用了模糊統(tǒng)計的方法，結(jié)合實際并且把數(shù)據(jù)量化。（6）指標(biāo)的選取了排隊時間和人均座位占有量，達(dá)到了問題一、二、三與問題 四、五之間的

19、聯(lián)系。2、模型的缺點(diǎn)（1）指標(biāo)的選取有限制，同時較為主觀。（2）定量數(shù)據(jù)少，定性數(shù)據(jù)多，可靠性降低。（3）如果指標(biāo)過多時計算困難，模型可能不適用（4）該模型把所有學(xué)生都假設(shè)成在飯?zhí)镁筒?，沒有考慮打包的學(xué)生，造成誤 差。（5）該模型忽略了飯?zhí)酶鱾€窗口打飯的速度不同。（6）該模型對于輸出量的推算不夠精準(zhǔn)，說服力度比較弱。（7）多項式本來就是一個數(shù)學(xué)性質(zhì)極強(qiáng)的數(shù)學(xué)工具，沒有任何的背景意義，所 以用多項式來擬合函數(shù)，會使函數(shù)脫離現(xiàn)實。七、小結(jié)廣東財經(jīng)大學(xué)三水校區(qū)建設(shè)在三水的郊區(qū)，較為偏僻。大一、大二的大學(xué) 生的日常生活大多在學(xué)校度過，每天三餐也幾乎在飯?zhí)镁筒?。俗話說得好，民 以食為天，對于學(xué)生來說，既要學(xué)知識又要學(xué)做人等等，而這些都建立在擁有 健康的體魄之上。上述兩點(diǎn)則要求飯?zhí)觅|(zhì)量優(yōu)秀，不僅在飯菜質(zhì)量上要美味健 康，而且飯?zhí)霉芾硪挥行?。本文所建立的模型研究了飯?zhí)每側(cè)藬?shù)、排隊時 長、人均座位占有量和學(xué)生關(guān)注的飯?zhí)弥笜?biāo)，是給廣東財經(jīng)大學(xué)的飯?zhí)玫慕?議，希望實現(xiàn)飯?zhí)玫暮侠斫?jīng)營和改善。附錄第1黑：你就餐的地點(diǎn)一所是單選黑小計、比例一慎2120.蹈二國2928. 16三慎4341. 7羿