北京理工大學數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)圖課件

1、第7章 圖第7章 圖 7.1 圖的定義和術語 7.2 圖的存儲結(jié)構(gòu) 7.3 圖的遍歷 7.4 圖的最小生成樹7.1 圖的定義與術語一、圖的定義1、圖(Graph)圖G是由兩個集合V(G)和E(G)組成的,記為G=(V,E) 其中：V(G)是頂點的非空有限集 E(G)是邊的有限集合，邊是頂點的無序?qū)蛴行驅(qū)?。圖的分類 有向圖 無向圖37.1 圖的定義與術語2、有向圖有向圖G是由兩個集合V(G)和E(G)組成的。 其中：V(G)是頂點的非空有限集。 E(G)是有向邊（也稱弧）的有限集合，弧是頂點的有序?qū)Γ洖?，v,w是頂點，v為弧尾，w為弧頭。47.1 圖的定義與術語例如： G1 = V1 = A

2、, B, C, D, E E1 = , , , , , , EACBD57.1 圖的定義與術語3、無向圖無向圖G是由兩個集合V(G)和E(G)組成的。 其中：V(G)是頂點的非空有限集。 E(G)是邊的有限集合，邊是頂點的無序?qū)Γ洖?(v,w) 或 (w,v)，并且(v,w)=(w,v)。67.1 圖的定義與術語例如： G2 = V2 = v0 ,v1,v2,v3,v4 E2 = (v0,v1), (v0,v3), (v1,v2), (v1,v4), (v2,v3), (v2,v4) V0V4V3V1V277.1 圖的定義與術語例如： G2 = V2 = v0，v1，v2，v3 E2 = ,

3、 , , V0 V1 V2 V3 例245136G1V(G1) = 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 E(G1) = , , , , , , 87.1 圖的定義與術語圖的應用舉例例1、交通圖（公路、鐵路） 頂點：地點邊：連接地點的路例2、電路圖 頂點：元件邊：連接元件之間的線路例3、通訊線路圖 頂點：地點邊：地點間的連線例4、各種流程圖如產(chǎn)品的生產(chǎn)流程圖。 頂點：工序邊：各道工序之間的順序關系97.1 圖的定義與術語二、圖的基本術語1、鄰接點及關聯(lián)邊 鄰接點：邊的兩個頂點 關聯(lián)邊：若邊e= (v, u), 則稱頂點v、u 關聯(lián)邊e2、頂點的度、入度、出度 頂點V的度 = 與V相關聯(lián)的邊

4、的數(shù)目 在有向圖中： 頂點V的出度 = 以V為起點有向邊數(shù) 頂點V的入度 = 以V為終點有向邊數(shù) 頂點V的度 = V的出度+V的入度 設圖G 的頂點數(shù)為 n，邊數(shù)為 e 圖的所有頂點的度數(shù)和 = 2*e （每條邊對圖的所有頂點的度數(shù)和“貢獻”2度） V0 V4 V3 V1 V2eV0V1V2V3107.1 圖的定義與術語3、路徑、回路 無向圖 G =（V，E）中的頂點序列v1, v2, , vk，若 (vi, vi+1)E ( i=1, 2, , k-1)，v=v1, u=vk，則稱該序列是從頂點v到頂點u的路徑；若v=u，則稱該序列為回路。無向圖G1 V0 V4 V3 V1 V2路徑：V0,

5、 V1, V2, V3回路：V0, V1, V2, V3, V0 117.1 圖的定義與術語3、路徑、回路 有向圖 D =（V，E）中的頂點序列 v1, v2, , vk，若 E (i=1, 2, , k-1)，v=v1，u=vk，則稱該序列是從頂點v到頂點u的路徑；若v=u，則稱該序列為回路。有向圖G2V0V1V2V3路徑：V0, V2, V3回路：V0, V2, V3, V0 127.1 圖的定義與術語4、連通圖（強連通圖） 在無（有）向圖 G= 中，若對任何兩個頂點 v、u 都存在從 v 到 u 的路徑，則稱G是連通圖（強連通圖） 非連通圖 連通圖 強連通圖 非強連通圖 V0 V1 V2

6、 V3 V0 V2 V3 V1 V5 V4 V0 V4 V3 V1 V2 V0 V1 V2 V3137.1 圖的定義與術語5、子圖 設有兩個圖 G=（V，E），G1=（V1，E1），若V1 V，E1 E，而且E1關聯(lián)的頂點都在 V1 中，則稱 G1 是 G 的子圖；(b)、(c) 都是 (a) 的子圖(d) V4 V1 V2(c) V0 V4 V3 V1 V2(a) V0 V4 V3 V1 V2(b) V0 V4 V3 V1 V2147.1 圖的定義與術語6、連通分量（強連通分量）：無（有）向圖的極大（強）連通子圖。極大（強）連通子圖：該子圖是（強）連通子圖，若再將G的任何不在該子圖中的頂點加

7、入，子圖就不再（強）連通。非連通圖 V0 V2 V3 V1 V5 V4連通分量157.1 圖的定義與術語強連通分量 V0 V1 V2 V3非連通圖 V0 V2 V3 V1167.1 圖的定義與術語7、生成樹 包含無向圖 G 所有頂點的極小連通子圖稱為G生成樹。 極小連通子圖意思是：該子圖是G的連通子圖，在該子圖中刪除任何一條邊，子圖不再連通。G1的生成樹 V0 V4 V3 V1 V2章連通圖G1 V0 V4 V3 V1 V2 連通 所有頂點 無回路17 V0 V1 V2 V37.2 圖的存儲結(jié)構(gòu)一、數(shù)組表示法（鄰接矩陣表示）鄰接矩陣：G的鄰接矩陣是滿足如下條件的n階矩陣：Aij=1 若(vi,

8、vj)E 或 E0 否則0 1 0 1 01 0 1 0 10 1 0 1 11 0 1 0 00 1 1 0 0在數(shù)組表示法中，用鄰接矩陣表示頂點間的關系 V0 V4 V3 V1 V20 1 1 00 0 0 00 0 0 11 0 0 0187.2 圖的存儲結(jié)構(gòu)二、鄰接表：圖的鏈式存儲結(jié)構(gòu)1、無向圖的鄰接表 頂點：通常按編號順序?qū)㈨旤c數(shù)據(jù)存儲在一維數(shù)組中； 關聯(lián)同一頂點的邊：用線性鏈表存儲。 V0 V4 V3 V1 V2 0 1 2 3 4m-1V0V1V2V3V413212013420419typedef struct tnode /表頭結(jié)點 int vexdata; ArcNode *

9、 firstarc; VNode, AdjList MAX_VERTEX_NUM ;7.2 圖的存儲結(jié)構(gòu)typedef struct ArcNode/鏈表結(jié)點 int adjvex; struct ArcNode *next; ArcNode;adjvex nextvexdata firstarctypedef struct/圖 AdjList vertices; int vexnum, arcnum; / 頂點數(shù)和弧數(shù)int kind; / 圖的種類ALGraph;207.2 圖的存儲結(jié)構(gòu)無向圖的鄰接表的特點 1）在G鄰接表中，同一條邊對應兩個結(jié)點； 2）頂點v的度：等于v對應線性鏈表的長度

10、； 3）判定兩頂點v ，u是否鄰接：要看v對應線性鏈表中有無對應的結(jié)點。 4）在G中增減邊：要在兩個單鏈表插入、刪除結(jié)點； 5）設存儲頂點的一維數(shù)組大小為 m（m圖的頂點數(shù)n），圖的邊數(shù)為 e，G占用存儲空間為：m+2*e。G占用存儲空間與G的頂點數(shù)、邊數(shù)均有關；適用于邊稀疏的圖。217.2 圖的存儲結(jié)構(gòu)2、有向圖的鄰接表頂點：用一維數(shù)組存儲（按編號順序）以同一頂點為起點的弧：用線性鏈表存儲0123v0v2v3v1vexdatafirstarc 2 1 3 0adjvexnext類似于無向圖的鄰接表，所不同的是：以同一頂點為起點的?。河镁€性鏈表存儲。V0V1V2V3227.2 圖的存儲結(jié)構(gòu)3、

11、有向圖的逆鄰接表頂點：用一維數(shù)組存儲（按編號順序）以同一頂點為終點的弧：用線性鏈表存儲。0123v0v2v3v1vexdatafirstarc 3 0 0 2類似于有向圖的鄰接表，所不同的是：以同一頂點為終點?。河镁€性鏈表存儲V0V1V2V3章237.3 圖的遍歷連通圖的深度遍歷（DFS）從圖中某頂點v出發(fā)： 1）訪問頂點v； 2）對v的每個未被訪問的鄰接點wj，從wj出發(fā)，繼續(xù)對圖進行深度優(yōu)先遍歷。深度遍歷： V1,V2,V4,V5,V8,V3,V6,V7 例 V1 V8 V7 V6 V5 V4 V3 V2V1V2V4V3V8V7V6 V5深度遍歷： V1,V3,V6,V7,V2,V5,V8

12、,V4247.3 圖的遍歷圖的深度遍歷（DFS）Vw1SG1SG2SG3w2w3w2 W1、W2和W3 均為 V 的鄰接點，SG1、SG2 和 SG3 分別為含頂點W1、W2和W3 的子圖。訪問頂點 V ：for (W1、W2、W3 ) 若該鄰接點W未被訪問， 則從它出發(fā)進行深度優(yōu)先搜索遍歷。257.3 圖的遍歷圖的深度遍歷（DFS）Vw1SG1SG2SG3w2w3w2從圖解可見：1. 從深度優(yōu)先搜索遍歷連通圖的過程類似于樹的先根遍歷；解決的辦法是：為每個頂點設立一個 “訪問標志 visitedw”。2. 如何判別V的鄰接點是否被訪問？267.3 圖的遍歷Boolean visitedMAX;

13、 / 訪問標志數(shù)組Status (*VisitFunc)(int v); / 訪問函數(shù)void DFS ( Graph G, int v) / 從頂點v出發(fā)，深度優(yōu)先搜索遍歷連通圖 G visitedv = TRUE; VisitFunc(v); for ( w=FirstAdjVex(G, v);w=0; w=NextAdjVex(G,v,w) ) if ( !visitedw ) DFS(G, w); / 對v的尚未訪問的鄰接頂點w / 遞歸調(diào)用DFS / DFS277.3 圖的遍歷非連通圖的深度優(yōu)先搜索遍歷 首先將圖中每個頂點的訪問標志設為 FALSE，之后搜索圖中每個頂點，如果未被訪問

14、，則以該頂點為起始點，進行深度優(yōu)先搜索遍歷，否則繼續(xù)檢查下一頂點。287.3 圖的遍歷void DFSTraverse ( Graph G, Status (*Visit) (int v) / 對圖 G 作深度優(yōu)先遍歷。 VisitFunc = Visit; for ( v=0; vG.vexnum; +v ) visitedv = FALSE; / 訪問標志數(shù)組初始化 for ( v=0; vG.vexnum; +v ) if (!visitedv) DFS(G, v); / 對尚未訪問的頂點調(diào)用DFS297.3 圖的遍歷例如：abchdekfgF F F F F F F F FTTTTTT

15、TTTachdkfe bgachkfedbg訪問標志:訪問次序: a b c d e f g h k 0 1 2 3 4 5 6 7 8307.3 圖的遍歷圖的深度遍歷（DFS）V1V2V4V5V3V7V6V8例12341342vexdatafirstarc 2 7 8 3adjvexnext55 6 4 8 2678678 7深度遍歷：V1V3 V7 V6 V2 V4 V8 V5317.3 圖的遍歷圖的廣度遍歷（BFS） 從圖中的某個頂點V0出發(fā)，并在訪問此頂點之后依次訪問V0的所有未被訪問過的鄰接點，之后按這些頂點被訪問的先后次序依次訪問它們的鄰接點，直至圖中所有和V0有路徑相通的頂點都被

16、訪問到。 若此時圖中尚有頂點未被訪問，則另選圖中一個未曾被訪問的頂點作起始點，重復上述過程，直至圖中所有頂點都被訪問到為止。327.3 圖的遍歷圖的廣度遍歷（BFS）從圖中某頂點v出發(fā)：1) 訪問頂點v2) 訪問v的所有未被訪問的鄰接點w1,w2,wk3) 依次從這些鄰接點出發(fā)，訪問它們的所有未被訪問的鄰接點，直到圖中所有訪問過的頂點的鄰接點都被訪問到。V1V8V7V6V5V4V3V2V1 V2 V4 V3 V8 V7 V6 V5V1,V2,V3,V4,V8,V5,V6,V7V1,V3,V2,V6,V7,V4,V5,V8337.3 圖的遍歷void BFSTraverse ( Graph G,

17、 Status (*Visit) (int v) ) for ( v=0; vG.vexnum; +v ) visitedv = FALSE; / 初始化訪問標志 InitQueue(Q); / 置空的輔助隊列Q for ( v=0; v=0; w=NextAdjVex(G,u,w) ) if ( ! visitedw ) visitedw=TRUE; Visit(w); EnQueue(Q, w); / 訪問的頂點w入隊列 / if / while357.3 圖的遍歷圖的廣度遍歷（BFS）（請對照教材第170頁）例1423512341342vexdatafirstarc 5 5 4 3adjvexnext55 1 5 1 1 4 3 2 20 1 2 3 4 51fr遍歷序列：10 1 2 3 4 54fr遍歷序列：1 40 1 2 3 4 54 3fr遍歷序列：1 4 3367.3 圖的遍歷圖的廣度遍歷（BFS）例142350 1 2 3 4 54 3 2fr遍歷序列：1 4 3 20 1 2 3 4 5 3 2fr遍歷序