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文檔簡介
1、第4章 生存年金精算現(xiàn)值5.1 生存年金的概念 生存年金(Life Annuity)是以被保險人存活為條件,按預先約定的金額以間隔相等的時期(年、半年、季、月)進行一系列給付的保險。1注:在生存年金研究中,習慣用 表示1單位元純生存保險的精算現(xiàn)值,即2 例:某人立有遺囑:其兒子年滿21歲時可獲得其5萬元遺產(chǎn)。其子現(xiàn)年12歲,因有急事需提前支取這筆遺產(chǎn)。若利率為6%,利用附表1的生命表求其子現(xiàn)在可以支取的金額。 解:(元)3利率和生者利下的也叫精算累積因子和精算折現(xiàn)因子。累積系數(shù)折現(xiàn)系數(shù)4 練習: 1. 計算(25)購買40年定期純生存險的躉繳純保費。利率i6,保險金額為3萬元。 2. 某年齡為
2、40歲的人以1萬元純保費購買了30年純生存保險,試以附表1計算,他在70歲可以領取的保險金額。55.2 年付一次的生存年金精算現(xiàn)值期初、期末支付的終身生存年金定期生存年金延期終身生存年金延期定期生存年金61.終身生存年金(x)的每年1單位元期初付終身生存年金精算現(xiàn)值 它是一系列保險期逐步延長的純生存保險之和7期末付終身生存年金8例:某人現(xiàn)年30歲,欲在其生存期間每年年初向保險公司領取50元,則此人在30歲時的躉繳凈保費是多少?92.定期生存年金期初付定期生存年金期末付定期生存年金103.延期期初付生存年金險種延期m年初付終身生存年金延期m年期初付n年定期生存年金精算現(xiàn)值11延期期末付生存年金險
3、種延期m年期末終身生存年金延期m年期末付n年定期生存年金精算現(xiàn)值12例:某人30歲時購買了從60歲起年支付額為10000元的終身生存年金,求其躉繳凈保費。如果他在68.8歲時死亡,求此人所獲年金在30歲時的現(xiàn)值(假定利率為6% )。13期初付和期末付年金之間的關系14例:對于(30)的從60歲起每年6000元的生存年金,利息力 。死亡密度為求保單的躉繳凈保費。15例:某30歲的人購買了從60歲起的生存年金,契約規(guī)定,在被保險人60歲69歲時每年的給付額為6000元,70歲79歲每年的給付額為7000元,80歲以后每年的給付額為8000元。用精算符號表示該保單的躉繳凈保費。16例:某30歲的人投
4、保養(yǎng)老年金保險,保險契約規(guī)定,如果被保險人存活到60歲,則確定給付10年年金,若被保險人在6069歲間死亡,由其指定的受益人繼續(xù)領取,直到領滿10年為止;如果被保險人在70歲仍然存活,則從70歲起以生存為條件得到年金。假設年金每年支付一次,一次支付6000元。用精算符號表示該保單的躉繳凈保費。17連續(xù)年金 年支付額為1個單位的t年期連續(xù)年金的現(xiàn)值為5.3 連續(xù)生存年金 常數(shù)利率情形下:181.連續(xù)終身生存年金192.連續(xù)定期生存年金20例:設隨機變量T= T (x)的概率密度函數(shù)為利息力為0.05。試計算精算現(xiàn)值 ,并求該現(xiàn)值足夠用于實際支付年金的概率。21例:設生存函數(shù)為 利息力試計算精算現(xiàn)
5、值223.延期m年連續(xù)生存年金4.延期m年n年定期連續(xù)生存年金23生存年金遞推公式24公式一:解釋: (x)投保時的1單位元等于(x)在存活期每年初的1單位元的預付利息d和 (x)死亡年末1單位元賠付現(xiàn)值之和5.4 生存年金與壽險的關系25推導:對終身壽險和終身生存年金,有即26解釋:x歲時的1單位元等于(x)死亡年末的1元賠付現(xiàn)值 ,加上(x)存活期每年 i 元的利息現(xiàn)值 和死亡年年末i元利息的現(xiàn)值 。公式二:27推導:28推導:對終身壽險和連續(xù)終身生存年金,有公式三:29例:年齡為35歲的人,購買按連續(xù)方式給付年金額為2000元的生存年金,利率i=6%,試求死亡均勻分布假設下終身生存年金的
6、精算現(xiàn)值(已知 ).提示:利用公式305.5 年付m次生存年金的精算現(xiàn)值分類終身年金與定期年金期初付年金與期末付年金延期年金與非延期年金推導思路尋找與一年一次付年金之間的關系31補充:關于 的計算 把死亡發(fā)生年劃分成m個相等的部分,死亡給付在死亡發(fā)生的那部分期末進行。這時1單位元的終身壽險現(xiàn)值以 表示。 當m趨于無窮大時,有321.終身生存年金基本公式UDD假定下的近似公式33UDD假定下的近似公式2. n年定期一年m次生存年金34延期m年終身生存年金(UDD假定)延期m年n年定期生存年金 (UDD假定)3.延期生存年金35 例:對于(30)的從60歲起每月500元的生存年金,預定利率為6%。根據(jù)附表1,計算保單的躉繳凈保費。36例:某保單
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