2022年暑假天天練-選擇性必修第一冊1.4空間向量的應(yīng)用同步練習(xí)（Word版含解析）

1、人教A版（2019）選擇性必修第一冊 1.4 空間向量的應(yīng)用 同步練習(xí)一、單選題1在空間直角坐標(biāo)系中，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則（）ABC或Dl與斜交2平面的一個(gè)法向量是,，平面的一個(gè)法向量是,6,，則平面與平面的關(guān)系是（）A平行B重合C平行或重合D垂直3已知直線的方向向量為，平面的法向量為，則“”是“”的（）A充要條件B既不充分也不必要條件C充分不必要條件D必要不充分條件4已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量，且若為平面的法向量，則的值分別為（）ABC1，2D5已知平面內(nèi)有一點(diǎn)，平面的一個(gè)法向量為，則下列點(diǎn)P中，在平面內(nèi)的是（）ABCD6已知正方體的棱長為a，則平面與平面的距離為（）ABCD7

2、如圖，在三棱錐中，已知，平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（）ABCD8已知斜三棱柱中，底面是直角三角形，且，與AB、AC都成角，則異面直線與所成角的余弦值為（）ABCD9長方體，點(diǎn)在長方體的側(cè)面上運(yùn)動，則二面角的平面角正切值的取值范圍是（）ABCD10已知點(diǎn)是平行四邊形所在的平面外一點(diǎn)，如果，.對于結(jié)論：；是平面的法向量；.其中正確的是（）ABCD11如圖，已知正方體中，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，E為線段上的動點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：存在點(diǎn)E，使；存在點(diǎn)E，使平面；EF與所成的角不可能等于60；三棱錐的體積隨動點(diǎn)E的變化而變化其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A4B3C2D112在棱長為2的正方體中，點(diǎn)在棱上，

3、點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)平面與平面所成（銳）二面角的余弦值為時(shí)，經(jīng)過三點(diǎn)的截面的面積為（）ABCD二、填空題13已知直線的一個(gè)方向向量為，直線的一個(gè)方向向量為，則兩直線所成角的余弦值為_14如圖所示，點(diǎn)、分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上，平面的一個(gè)法向量為，平面與平面的夾角為，則_.15如圖所示，ABCD-EFGH為邊長等于1的正方體，若P點(diǎn)在正方體的內(nèi)部且滿足，則P點(diǎn)到直線AB的距離為_16如圖，邊長為的正方形所在平面與正方形所在平面互相垂直，動點(diǎn)、分別在正方形對角線和上移動，且.則下列結(jié)論：長度的最小值為；當(dāng)時(shí)，與相交；始終與平面平行；當(dāng)時(shí)，為直二面角正確的序號是_17如圖，在三棱錐中，

4、E，F(xiàn)，O分別為棱，的中點(diǎn)，記直線與平面所成角為，則的取值范圍是_.三、解答題18四棱錐，底面為正方形，邊長為4，為中點(diǎn)，平面.（1）若為等邊三角形，求四棱錐的體積；（2）若的中點(diǎn)為，與平面所成角為45，求與所成角的大小.19如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，是中點(diǎn).（1）求直線與平面的夾角余弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離.20如圖在四棱錐中，底面為菱形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)且，設(shè)平面與平面的交線為直線（1）證明：直線平面；（2）若，求二面角的余弦值21在多面體中，正方形和矩形互相垂直，、分別是和的中點(diǎn)，（1）求證：平面（2）在邊所在的直線上存在一點(diǎn)，使得平面，求的長；參考答案：1C由可得，所以或，

5、即可得正確選項(xiàng).【詳解】直線l的方向向量為，平面的法向量為，因?yàn)?，所以，所以或，故選：C.2C由題設(shè)知，根據(jù)空間向量共線定理，即可判斷平面與平面的位置關(guān)系.【詳解】平面的一個(gè)法向量是,，平面的一個(gè)法向量是,6,，平面與平面的關(guān)系是平行或重合故選：C3D利用充分條件、必要條件的定義結(jié)合空間線面關(guān)系與空間向量之間的關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則或；另一方面，若，則.因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：D.4A由空間向量線性關(guān)系的坐標(biāo)運(yùn)算求坐標(biāo)，再根據(jù)為平面的法向量有，即可求.【詳解】由為平面的法向量，得，即，解得故選：A5A可設(shè)出平面內(nèi)內(nèi)一點(diǎn)坐標(biāo)，求出與平面平行的向量，利用數(shù)量積為0可得到

6、，的關(guān)系式，代入各選項(xiàng)的數(shù)據(jù)可得結(jié)果【詳解】解：設(shè)平面內(nèi)一點(diǎn)，則：， 是平面的法向量，由得把各選項(xiàng)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)代入上式驗(yàn)證可知適合故選：本題考查空間向量點(diǎn)的坐標(biāo)的概念，法向量的概念，向量數(shù)量積的概念6D建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解【詳解】由正方體的性質(zhì)，,，易得平面平面，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面的距離以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，連接，由，且，可知平面，得平面的一個(gè)法向量為，則兩平面間的距離故選：D7A取的中點(diǎn)為，連接，證明平面，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫妫?/p>

7、平面平面，平面所以平面因?yàn)椋匀鐖D建立空間直角坐標(biāo)系，則所以所以異面直線與所成角的余弦值為故選：A8A設(shè)，即可求出，再用、表示出、，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出、，最后根據(jù)夾角公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)，則，所以，所以， 所以故選：A9B根據(jù)題中的線面關(guān)系建立空間坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量求解即可.【詳解】如圖以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)表示如下：B(1，1，0)，D1(0，0，2)，A(1，0，0) ，又即，所以所以點(diǎn)P在平面BCC1B1內(nèi)的軌跡為由點(diǎn)C到BB1四等分點(diǎn)（靠近B點(diǎn)）的一條線段，且點(diǎn)P由C點(diǎn)向BB1四等分點(diǎn)移動過程中，二面角B-AD-P逐漸增大當(dāng)

8、點(diǎn)P位于C點(diǎn)處時(shí)，二面角B-AD-P最小，最小值為0當(dāng)點(diǎn)P為與BB1四等分點(diǎn)處時(shí)，二面角B-AD-P最大，此時(shí)，即為二面角B-AD-P的平面角，所以二面角B-AD-P正切值的取值范圍為0，.選項(xiàng)ACD錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確故選：B.10B求出判斷不正確；根據(jù) 判斷正確；由，判斷正確；假設(shè)存在使得，由無解，判斷不正確.【詳解】由，2，2，知：在中，故不正確；在中，故正確；在中， ，又因?yàn)?，知是平面的法向量，故正確；在中，3，假設(shè)存在使得，則，無解，故不正確；綜上可得：正確故選：B本題考查命題真假的判斷，考查空間向量垂直、向量平行等基礎(chǔ)知識，考查了平面的法向量以及空間向量的模，考查推理能力與計(jì)算能力，屬

9、于基礎(chǔ)題11D設(shè)正方體的棱長為1，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間線面平行與垂直的判定及性質(zhì)定理、向量的夾角判斷異面直線所成角、三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出【詳解】解：設(shè)正方體的棱長為1，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，0，1，1，0，0，1，1，點(diǎn)，則，而，因此，對于而言就是否存在實(shí)數(shù)，使，而，此即，這樣的不存在，錯(cuò)誤；對于而言就是否存在實(shí)數(shù)，使平面，首先我們在平面內(nèi)任意找到兩條相交直線的方向向量，不妨就找和，于是，即就是當(dāng)為的中點(diǎn)的時(shí)候，正確；同理，對于而言，還是判斷這樣的實(shí)數(shù)是否存在，設(shè)其夾角為，則，令，此即，將上式平方解得

10、，將回代原式結(jié)論成立，這樣的存在；錯(cuò)誤；對于來說，點(diǎn)無論在上怎樣移動，底面的高不變，故而底面面積不變，三棱錐的高為定值，所以其體積不會隨著點(diǎn)的變化而變化，故錯(cuò)誤所以正確的個(gè)數(shù)為1個(gè).故選：D.12B以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量結(jié)合平面與平面所成二面角的余弦值為求出的值，畫出截面圖，求出截面五邊形的邊長，再由等腰三角形及等腰梯形的面積求和可得答案【詳解】解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，平面的一個(gè)法向量為，由題意得，解得或（舍去），延長，設(shè)，連接，交于，延長，交的延長線于，連接，交于

11、，則五邊形為截面圖形，由題意求得，截面五邊形如圖所示，則等腰三角形底邊上的高為，等腰梯形的高為，則截面面積為故選：B關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性質(zhì)及推理，考查運(yùn)算能力，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，由平面與平面所成（銳）二面角的余弦值為求出，屬于中檔題13根據(jù)空間向量的夾角公式代入計(jì)算即可.【詳解】，所以兩直線所成角的余弦值為.故答案為：14分析可知平面的一個(gè)法向量為，利用空間向量法可求得的值.【詳解】由題意可知，平面的一個(gè)法向量為，所以，.故答案為：.15過P作PM平面ABCD于M，過M作MNAB于N，連接PN，則PN即為所求，由已知可得，即可求出.【詳解】

12、解析：過P作PM平面ABCD于M，過M作MNAB于N，連接PN，則PN即為所求，如圖所示因?yàn)?，所以，所?即P點(diǎn)到直線AB的距離為.故答案為：.16以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式、二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷的正誤，證明、不共面可判斷的正誤，利用空間向量法可判斷的正誤，利用二面角的定義可判斷的正誤.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，平面，因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、.對于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，正確；對于，當(dāng)時(shí)，設(shè)，即，該方程組無解，所以，錯(cuò)誤；對于，、.，平面的一個(gè)法向量為，則，平面，平面，正確；對于，

13、當(dāng)時(shí)，、.設(shè)平面的法向量為，由，得，取，可得，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，可得，所以，此時(shí)，二面角不是直二面角，錯(cuò)誤.故答案為：.結(jié)論點(diǎn)睛：利用空間向量法處理平行與垂直問題：設(shè)直線、的方向向量分別為，平面、的法向量分別為，.（1），；（2）；（3），；（4）；（5），；（6）.17易證得，引入輔助角變量，設(shè)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得線面角的正弦值，從而可判斷所求角的范圍.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以平面，設(shè)，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則平面與平面重合，不妨設(shè)，則，則，則，因?yàn)槠矫?，所以即為平面的一條法向量，因?yàn)橹本€與平面所成角為，所以

14、，因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：.18（1）；（2）.（1）由棱錐體積公式計(jì)算；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角【詳解】（1）正方形邊長為4，為等邊三角形，為中點(diǎn)，；（2）如圖以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，即與所成角的大小為19（1）；（2）.由于底面是矩形，平面，所以可得兩兩垂直，所以如圖建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，平面，所?因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，所以兩兩垂直，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所以示，因?yàn)?，是中點(diǎn)，所以，,所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，（1），設(shè)直線與平面的夾角為，則，因?yàn)樗?/p>

15、，（2）因?yàn)?，面的法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為20（1）證明見解析；（2）（1）由于四邊形為菱形，所以，再由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理可得，再由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）由已知條件可證得平面，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面因?yàn)橹本€為平面與平面的交線，平面，所以因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?）解：因?yàn)椋c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫?，所以平面以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有即取，得取平面的一個(gè)法向量為設(shè)二面角的大小為，所以關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查二面角的求法，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題21（1）證明見解析；（2）（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，由已知條件可得出，可求得的值，進(jìn)而可求得的長.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?/p>