三垂線法求二面角專題講義

1、GF（精品）三垂線法求二面角專題1、（本小題滿分13分）如圖，已知D/a平面ABE四邊形ABC虛邊 TOC o 1-5 h z 長(zhǎng)為2的正方形，在 ABE中，AE=1, BE=/3O7T（I ）證明：平面ADEL平面BCEi /（II）求二面角B- AC- E的大??；人b解：（I ） DAL 平面 ABEDAL BEe ABE中，AE=1 BE=/3 AB=2 . BE! EABE 平面ADEw苗 a cui w, 0c匚平面ADEL平面BCEBE 平面BCE（注：此題也可證明AE 面BCE , AE 面ADE ,從而平面ADEL平面BCE（H）過(guò)點(diǎn)E作EF，AB與FDAL平面 ABE.平面

2、ABCD_面 ABE EF，平面 ABCDt F 作 FGL ACf G,連 EG 則 EG! AC （三垂線定理）/EGE二面角B- AC- E的平面角。在 RtEFG中 tan EGF EF 66, EGF arctanE（注：此題答案還可寫成arcsin *或者是寫成 arccos-7 ） 772、（本小題滿分12分）如圖，ABCD為直角梯形，DAB ABC 90 ,AB BC 1, AD 2 , PA 平面 ABCD , PA 1。、求點(diǎn)P到CD的距離；DH、求證：平面PAC 平面PCD；口、求平面PAB與平面PCD所成二面角的大小。解：AD AD的中點(diǎn)F ,連結(jié)CF。易證四邊形ABC

3、F是正方形， CF AB 1 又 AD 2一 1一 一 . CF AD 1, . . CF AF FD 2 ACD 90即 AC CD PA 平面 ABCD. PC CD PljCD的距離為PC ,PC . 3證明：: AC CD,PC CD 且 AC PC C, CD 平面 PAC又CD 平面PCD平面PAC 平面PCD解：延長(zhǎng)DC交AB的延長(zhǎng)線于G ,連結(jié)PG。平面PAB 平面PCD PG ,易證DA 平面PAB過(guò)A作AH PG ,垂足為H ,連結(jié)DH ,得到AHD為所求二面角的平面角AH 25 , tan AHD 迫 55 5AHAHD arctanV5.平面PAB與平面PCD所成二面角

4、為arctan V5（注：此題答案還可寫成arcsin畫或者是寫成arccos,并且也可用射66影面積法求解）3、（12分）如圖：已知四棱錐P ABCD中，底面四邊形為正方形,（1）求證：平面ECB，平面PBC;（2）求二面角B DE C的平面角的正切值。【解析】（1）要證兩個(gè)平面互相垂直，常規(guī)的想法是：證明其中 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線。首先觀察圖中已有的直線，不難發(fā)現(xiàn)，由于側(cè)面PDC正三角形, 所以，DE PC,那么我們自然想到：是否有 de面PBC?這樣的想 法一經(jīng)產(chǎn)生，證明它并不是一件困難的事情。面PDC1底面ABDQ交線為DQ DE在平面ABDD內(nèi)的射影就是DC在正方形ABCD

5、中，Dd CB,. DE CB又 PC BC C , PG BC 面 PBC, DE，面pbc o又DE 面ED3,平面ED3,平面PBC（2）由（1）的證明可知：DEL面PBC。所以，BEC就是二面角 B DE C的平面角。面PDC_底面ABCD交線為DC又平面ABCD內(nèi)的直線CBS! DC。. CB，面 PDC又PC 面PDC. CB PG在Rt ECB中,tan BECBC 2CE4、（12分）一副三角板拼成一個(gè)四邊形ABCD如圖，然后將它沿BC折成直二面角.(1)求證：平面ABDL平面ACD(2)求二面角A BD-C的大小.解析：(1)證明：取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE . ABAC . .AE! BC平面ABCL平面BCD.AEL平面 BCDBCLCQ由三垂線定理知ABLCD又. ABIAC.ABL平面 BCDAB平面ABD.平面ABDL平面ACD(2)解：. AEL面 BCD 過(guò) E作 EGLB葉G 連結(jié)AG由三垂線定理知 AGL BQ/AGE二面角A BD-C的平面角 .2_2 / EBG30 ,