培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力的策略

1、第 頁共8頁培養(yǎng)學(xué)生直覺思維能力的策略(654200)會(huì)澤縣茚旺高級中學(xué)楊順武【摘要】：數(shù)學(xué)思維包括邏輯思維和直覺思維兩種形式，邏輯思維嚴(yán)格遵守概念和邏輯規(guī)則，而直覺思維不受固定的邏輯規(guī)則約束，直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)，大大節(jié)約思考時(shí)間。邏輯思維在數(shù)學(xué)思維中始終占據(jù)著主導(dǎo)地位，而直覺思維又是思維中最活躍、最積極、最具有創(chuàng)造性的成分。兩者具有辨證互補(bǔ)的關(guān)系。因此，作為選拔人才的高考命題人，很自然要考慮對直覺思維的考查?！娟P(guān)鍵詞】：數(shù)學(xué)思維直覺思維數(shù)學(xué)思維包括邏輯思維和直覺思維兩種形式，邏輯思維嚴(yán)格遵守概念和邏輯規(guī)則，而直覺思維不受固定的邏輯規(guī)則約束，直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)，大大節(jié)約思考時(shí)間。邏輯思維在數(shù)學(xué)思維

2、中始終占據(jù)著主導(dǎo)地位，而直覺思維又是思維中最活躍、最積極、最具有創(chuàng)造性的成分。兩者具有辨證互補(bǔ)的關(guān)系。因此，作為選拔人才的高考命題人，很自然要考慮對直覺思維的考查。人的思維過程包括直覺思維和分析思維。直覺思維是人類思維的重要形式，是創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ)；直覺思維是未來的高科技信息社會(huì)中，能適應(yīng)世界新技術(shù)革命需要，具有開拓、創(chuàng)新意識(shí)的開創(chuàng)性人才所必有的思維品質(zhì)。由于數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性和系統(tǒng)性的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)思維就是人腦和數(shù)學(xué)對象交互作用并按一般的思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律的過程?，F(xiàn)代教育重視能力的培養(yǎng)，主要要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究和解決問題?？梢娭庇X思維在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中

3、具有重要的地位和作用。直覺類似于靈感、頓悟、奇妙啟示等等?？傊庇X思維是一種非邏輯、非理性因素。它是探索數(shù)學(xué)的概念、規(guī)律、方法和尋求解題途徑時(shí)的主要思維方式之一，是學(xué)生形成邏輯思維的基礎(chǔ)。其思維特征表現(xiàn)為：從目的看，它的重點(diǎn)是找到事物的本質(zhì)或事物之間可能有的聯(lián)系；從形態(tài)上看，它表現(xiàn)于思維的多向(正向、逆向、橫向、縱向)運(yùn)動(dòng)和飛躍運(yùn)動(dòng)；從實(shí)質(zhì)上看，它并不需要從充足的理由來得出結(jié)果。直覺思維還具有簡約、生動(dòng)、自由的特征。學(xué)生的認(rèn)識(shí)過程首先是建立在直覺思維之上的，即是對于問題的本質(zhì)或規(guī)律的直觀感受，或直接估斷，能動(dòng)地把外表不同的事物給出直觀的結(jié)果。直覺思維創(chuàng)造了假設(shè)，再經(jīng)過邏輯思維的推理論證，往往

4、可以發(fā)現(xiàn)科學(xué)原理或解題途徑。盡管人們對直覺產(chǎn)生的機(jī)理還知之甚少，但很顯然，直覺思維的活動(dòng)和效果依賴于觀察和聯(lián)想的效果，是與掌握豐富知識(shí)密切相關(guān)的。而且早已公認(rèn)直覺思維能力是可以在學(xué)習(xí)過程中逐步培養(yǎng)起來的。本文從三個(gè)方面談?wù)勅绾闻囵B(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力。第一、領(lǐng)會(huì)直覺思維法的精髓例1、在下列給出的四個(gè)函數(shù)中，與y=3X互為反函數(shù)的是()A、y=(x0)B、y=x3(x0)C、y=logx(x0)D、y=-3x(x0)3x3分析：由指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，因此只能選C；當(dāng)然有的題目不止用一種方法，需要幾種方法同時(shí)使用；也有的題目有多種解法，這就需要在實(shí)際解題過程中去分析總結(jié)。1例2、已知sinx

5、+cosx=5,兀Yx（nN）2n-1+分析：看到本題學(xué)生會(huì)毫不猶豫地想到數(shù)學(xué)歸納法。方法雖不錯(cuò)，但似乎缺少點(diǎn)什么。深入分析已知條件會(huì)有如下巧解：11設(shè)x=+t,y=-t,則有2211111xn+yn=（+t）n+（t）n=2C0（）n+C2（）n-2七2+三（nN）22n2n22n-1+本題如果停留在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上不深入發(fā)現(xiàn)已知條件的特征，就得不到上述美妙的證法。4、習(xí)慣直覺阻礙創(chuàng)造思維習(xí)慣的背景下阻礙了學(xué)生的探索過程，不利于創(chuàng)造思維的發(fā)揮。例3.如圖，用六種不同顏色給圖中A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂色，每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色，且要求相鄰的區(qū)域不涂相同的顏色，則不同的涂色方法共有多少種？按習(xí)慣

6、，涂色順序?yàn)锳BCD，所以共有6X5X4X5=600（種）。不少人到此為止，不去思考了。然而你仔細(xì)一想，按不同的順序會(huì)有不同的結(jié)果嗎？如果按ADCB涂有6X6X4X4=576(種)，若按ADBC涂有6X6X5X3=540(種)。這是什么原因呢？是習(xí)慣背景下抹殺了學(xué)生的創(chuàng)造思維。事實(shí)上，此類問題可以分類討論：六種顏色選四種涂A-B-C-D有A4=360(種)6六種顏色選同一種顏色涂2個(gè)區(qū)域只有A-D或B-D滿足條件，各有AiA2=120(種)。65無三個(gè)或三個(gè)以上的區(qū)域涂同一種顏色。于是，共有A4+AiA2+AiA2=600(種)66565由上可知，第一種涂法答案正確只是一種巧合，進(jìn)一步思考，回

7、到分類討論，才會(huì)得到讓人心悅誠服的解答。5、模型直覺弱化理性思維用具體模型代替抽象問題，往往能得到問題的結(jié)論，但這一過程缺少理性思維，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生知其然而不知其所以然。例4.函數(shù)f(x)是定義在(0,+*)上的單調(diào)函數(shù)，且f(xy)=f(x)+f(y),=1o求f(16)的值。證明：f()=nf(x)ngN*分析：看到f(xy)=f(x)+f(y)，憑直覺馬上想到了f(x)=logx,而af(4)=1,所以f(16)=log16=2,f(xn)=logxn=nlogx=nf(x)o4aa做完此題，不免會(huì)問，f6)是對數(shù)函數(shù)嗎？會(huì)不會(huì)是別的函數(shù)呢？理由總覺得不充分。事實(shí)上，設(shè)x=bu,y=bv,貝

8、廿fCu+v)=f9)+f9v).又設(shè)(t)=fC)，則eC+v)=eC)+e(v),(o)=0.從而爲(wèi))是線性函數(shù)，且e(o)=0。所以可設(shè)e(t)=ct所以，f()t)=ct設(shè)bt=x，則t=logx.b所以f(x)=clogxb所以f(x)=logari)a=be這樣一來，就回答了f（x）是對數(shù)函數(shù)的問題。這個(gè)推理過程連續(xù)使用了多次換元的思想，光憑直覺學(xué)生是會(huì)似懂非懂的，有了理性的分析與推理，結(jié)果就大不相同了。第三、培養(yǎng)直覺思維的策略數(shù)學(xué)最初的概念都是基于直覺，數(shù)學(xué)在一定程度上就是在問題解決中得到發(fā)展的，問題解決也離不開直覺。數(shù)學(xué)直覺是具有意識(shí)的人腦對數(shù)學(xué)對象（結(jié)構(gòu)及其關(guān)系）的某種直接的

9、領(lǐng)悟和洞察。培養(yǎng)直覺思維能力是社會(huì)發(fā)展的需要，是適應(yīng)新時(shí)期社會(huì)對人才的需求。數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)應(yīng)該是多方面多渠道的，它需要學(xué)生具有廣博的知識(shí)、豐富的聯(lián)想、恰當(dāng)?shù)念惐?、合理的延拓及?biāo)新立異的勇氣和膽識(shí)。所以說在中學(xué)數(shù)學(xué)中培養(yǎng)直覺思維能力是教學(xué)中的主要任務(wù)。1、要打好基礎(chǔ)，形成合理認(rèn)知結(jié)構(gòu)是產(chǎn)生直覺的源泉。只有掌握好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本結(jié)構(gòu)，舉一反三、觸類旁通，才能有助于學(xué)生的思維由單向型向多向型轉(zhuǎn)變，有助于學(xué)生抽象思維與形象思維相結(jié)合、正向思維與逆向思維相結(jié)合、會(huì)聚思維與發(fā)散思維相結(jié)合，形成立體的網(wǎng)絡(luò)思維，從而獲得直覺的判斷和聯(lián)想。1例5、實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，圓x2+y2-2ax+a2-1=0與拋物

10、線y2=x有兩個(gè)2公共點(diǎn)。1錯(cuò)誤解法將圓x2+y2-2ax+a2-1二0與拋物線y2=一x聯(lián)立，消去y，21二0(x0).1x2(2a)x+a22=0因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)相等正根，得2a-102a210.解之，得a=17.8錯(cuò)誤分析（如圖221；222）顯然，當(dāng)a=0時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。當(dāng)方程有一正根、一負(fù)根時(shí)，得；解之，得-1a1.a2-10.171因此，當(dāng)a-或一1a1時(shí)，圓x2+y22ax+a21二0與拋物線y2=x82有兩個(gè)公共點(diǎn)。1思考題：實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，圓x2+y22ax+a21二0與拋

11、物線y2=-x，（1）有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）有三個(gè)公共點(diǎn)；（3）有四個(gè)公共點(diǎn)；（4）沒有公共點(diǎn)。養(yǎng)成驗(yàn)算的習(xí)慣，可以有效地增強(qiáng)思維反思性。如：在解無理方程、無理不等式；對數(shù)方程、對數(shù)不等式時(shí)，由于變形后方程或不等式兩端代數(shù)式的定義域可能會(huì)發(fā)生變化，這樣就有可能產(chǎn)生增根或失根，因此必須進(jìn)行檢驗(yàn)，舍棄增根，找回失根。2、在教學(xué)中要有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生的直覺思維善于通過分析知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系、分析多種假設(shè)之間的差異和對立，把有待探索的問題展示在學(xué)生面前，激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)理論的興趣和愿望，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題。再根據(jù)學(xué)生的知識(shí)水平，選擇恰當(dāng)?shù)膬?nèi)容，有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生從整體出發(fā)，用猜想、跳躍的方法直接而迅速地找到解

12、決問題的方法和答案，鼓勵(lì)學(xué)生尋求“一題多解”，歸納“多題一解”，鼓勵(lì)學(xué)生敢于向書本、教師質(zhì)疑，挑戰(zhàn)各種問題。由于每個(gè)學(xué)生在觀察時(shí)抓住問題的特點(diǎn)不同、運(yùn)用的知識(shí)不同，因而，同一問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓(xùn)練，可使學(xué)生認(rèn)真觀察、多方聯(lián)想、恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)思維的變通性。例6、已知復(fù)數(shù)z的模為2,求|zi的最大值。解法一（代數(shù)法）設(shè)z=x+yi（x、ygR）,貝Ux2+y2=4.|zi=x2+（yl）2=、52y.圖123y|2,當(dāng)y=2時(shí)，zi|=3.max解法二（三角法）設(shè)z=2（cos0+isin0）,貝V|z一i=f4cos20+（2sin01）2=*5一4

13、sin0.當(dāng)sin0=-1時(shí),i=3.max解法三（幾何法）/|Z=2,.點(diǎn)z是圓x2+y2=4上的點(diǎn)，|z-i表示z與i所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離。如圖123所示，可知當(dāng)z=-2i時(shí)，|z一i=3.max解法四（運(yùn)用模的性質(zhì)）/|z-i|z|+|-i=2+1=3而當(dāng)z=-2i時(shí)，|z-i|=3.|z-i|=3.max解法五（運(yùn)用模的性質(zhì)）|z-i|2=(z-i)(z-i)=zz+(z-z)i+1=5+21(z),(I(z)表乙的虛部).又|I(z)|2,.|z-i|2=9,.z-i|=3.maxmax3、在解題訓(xùn)練中要加強(qiáng)學(xué)生的直覺思維在解題訓(xùn)練中更應(yīng)該讓學(xué)生發(fā)揮他們的直覺思維。這就要求教師轉(zhuǎn)變教

14、學(xué)觀念，把主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生。對學(xué)生的大膽設(shè)想給予充分肯定，對其合理成分及時(shí)給予鼓勵(lì)，愛護(hù)，扶植學(xué)生的自發(fā)性直覺思維，以免挫傷學(xué)生直覺思維的積極性和學(xué)生直覺思維的悟性。教師應(yīng)及時(shí)因勢利導(dǎo)，解除學(xué)生心中的疑惑，使學(xué)生對自己的直覺產(chǎn)生成功的喜悅感。所以教師應(yīng)采取積極鼓勵(lì)的策略讓學(xué)生運(yùn)用直覺思維方法來解題，明確地提出把直覺思維直接運(yùn)用在解題訓(xùn)練中，制定相應(yīng)的活動(dòng)策略，從整體上分析問題的特征。掌握換元、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、反證法等，滲透直覺觀念與思維能力。華羅庚說過：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微。”通過深入的觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺，對培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺思維大有幫助。教師

15、應(yīng)該把直覺思維在課堂教學(xué)中明確提出，制定相應(yīng)的活動(dòng)策略。重視數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)，諸如：換元、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、反證法等，通過方法論的分析使數(shù)學(xué)中的發(fā)明、創(chuàng)造活動(dòng)成為“可以理解的”、“可以學(xué)到手的”和“可以加以推廣應(yīng)用的”，以思想方法的分析去帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)A、（-。B、0,2c、lc,+g)D、ri)-,+xL212丿例7、函數(shù)y=1xI（1-x）在區(qū)間A上是增函數(shù)，則區(qū)間A是（提示：作出該函數(shù)的圖象如右，知應(yīng)該選B）4、在復(fù)習(xí)中要把握直覺思維的整體性，選擇適當(dāng)?shù)念}目類型，有利于培養(yǎng)、考察學(xué)生的直覺思維。在復(fù)習(xí)中做一些開放性問題的練習(xí)，對培養(yǎng)直覺思維很有效。開放性問題的條件或結(jié)論不夠明

16、確，可以從多個(gè)角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發(fā)散性，有利于直覺思維能力的培養(yǎng)。例8、若干個(gè)能惟一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”設(shè)L是公n比為q的無窮等比數(shù)列，下列占的四組量中，一定能成為該數(shù)列“基本量”的n是第組.(寫出所有符合要求的組號).S與S；a與S；3a與12231a:口與a(其中n為大于1的整數(shù)，S為b的前n項(xiàng)和)nnnn解：(1)由S和S，可知a和a.由a2=q可得公比q,故能確定數(shù)列是該數(shù)列1212a1的“基本量”(2)由a與S，設(shè)其公比為q，首項(xiàng)為a，可得231aa=aq,a=t,S=a+aq+aq2211q3111S3aq2+(aS)q+a=02232滿足條件的q可能不存在，也可能不止一個(gè)，因而不能確定數(shù)列，故不一定是數(shù)列b的基本量.n(3)由a與a，可得a=aqn-1,qn1=生，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，q可能有兩個(gè)值,1nn1a1故不一定能確定數(shù)列，所以也不一定是數(shù)列的一個(gè)基本量(4)由q與a，由a=aqn-1,可得ann11anqn1，故數(shù)列b能夠確定，是數(shù)列ann的一個(gè)基本量.故應(yīng)填、總之，數(shù)學(xué)教學(xué)與思維密切相關(guān)，數(shù)學(xué)能力具有和一般能力不同的特性，因此，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，我們在發(fā)展學(xué)