解對(duì)初值連續(xù)性和可微性

1、 解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性/Continuous and differentiable dependence of the solutions/ 解對(duì)初值的連續(xù)性 解對(duì)初值的可微性本節(jié)要求： 1 了解解對(duì)初值及參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性定理； 2 了解解對(duì)初值及參數(shù)的可微性定理。內(nèi)容提要 Continuity & differentiability3.3.1 解對(duì)初值的對(duì)稱(chēng)性定理設(shè) f (x,y) 于域 D 內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 y 滿(mǎn)足利普希茨條件，是初值問(wèn)題的唯一解，則在此表達(dá)式中， 與 可以調(diào)換其相對(duì)位置，即在解的存在范圍內(nèi)成立著關(guān)系式 Continuity & differentiability解對(duì)初值

2、的連續(xù)依賴(lài)性定理假設(shè) f (x,y) 于域 G 內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 y 滿(mǎn)足局部利普希茨條件，是初值問(wèn)題的解，它于區(qū)間 有定義 ，那么，對(duì)任意給定的 ，必存在正數(shù)， 使得當(dāng)時(shí)，方程滿(mǎn)足條件 的解在區(qū)間也有定義，并且 Continuity & differentiability引理如果 f(x,y) 在某域 D 內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y 滿(mǎn)足利普希茲條件（利普希茲常數(shù)為L(zhǎng)），則方程(3.1.1)任意兩個(gè)解 在它們公共存在區(qū)間成立不等式其中 為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值。證明設(shè) 在區(qū)間 均有定義，令不妨設(shè)因此，有 Continuity & differentiability則于是因此，在區(qū)間 a,b 上 為減函數(shù)，

3、有 Continuity & differentiability對(duì)于區(qū)間則并且已知它有解類(lèi)似以上推導(dǎo)過(guò)程，令注意到因此兩邊取平方根，得 Continuity & differentiability解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性定理的證明（一）構(gòu)造滿(mǎn)足利普希茨條件的有界閉區(qū)域因?yàn)?，積分曲線段是 x y 平面上一個(gè)有界閉集，又按假定對(duì)S上每一點(diǎn)(x,y)必存在一個(gè)以它為中心的開(kāi)圓 使在其內(nèi)函數(shù) f(x , y) 關(guān)于 y 滿(mǎn)足利普希茨條件。根據(jù)有限覆蓋定理，可以找到有限個(gè)具有這種性質(zhì)的圓 并且它們的全體覆蓋了整個(gè)積分曲線段S。設(shè) 為圓 的半徑， 表示 f(x,y) 于 內(nèi)的相應(yīng)的利普希茨常數(shù)。 Contin

4、uity & differentiability令則有且 的邊界與S的距離 。對(duì)預(yù)先給定的若取則以S上每一點(diǎn)為中心，以 為半徑的圓的全體，連同它們的圓周一起構(gòu)成S的有界閉域 ，且 f (x，y)在D上關(guān)于 y 滿(mǎn)足利普希茨條件，利普希茨常數(shù)為L(zhǎng)。 Continuity & differentiability（二）解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性斷言，必存在這樣的正數(shù)使得只要 滿(mǎn)足不等式則解 必然在區(qū)間 也有定義。由于D是有界閉區(qū)域，且 f (x，y)在其內(nèi)關(guān)于 y 滿(mǎn)足利普希茨條件，由延拓性定理知，解 必能延拓到區(qū)域D的邊界上。設(shè)它在D的邊界上的點(diǎn)為這是必然有 Continuity & different

5、iability因?yàn)榉駝t設(shè) 則由引理由 的連續(xù)性，對(duì)必存在使得當(dāng) 時(shí)有取則當(dāng) Continuity & differentiability于是對(duì)一切 成立，特別地有即點(diǎn)均落在D的內(nèi)部，而不可能位于D的邊界上。與假設(shè)矛盾，因此，解 在區(qū)間a,b上有定義。 Continuity & differentiability在不等式中，將區(qū)間c，d換為a，b ，可知 ，當(dāng)時(shí)，有定理得證。 Continuity & differentiability的解 作為 的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的。解對(duì)初值的連續(xù)性定理假設(shè) f (x,y) 于域 G 內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 y 滿(mǎn)足局部利普希茨條件，則方程 Continui

6、ty & differentiability1. 含參數(shù)的一階方程表示2. 一致利普希茲條件 設(shè)函數(shù)一致地關(guān)于 y 滿(mǎn)足局部利普希茲 (Lipschitz)條件，為中心的球 ，使得對(duì)任何其中L 是與 無(wú)關(guān)的正數(shù)。在 內(nèi)連續(xù)，且在 內(nèi)即對(duì) 內(nèi)的每一點(diǎn) 都存在以成立不等式 Continuity & differentiability由解的存在唯一性定理，對(duì)每一方程 的解唯一確定。記為 Continuity & differentiability解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴(lài)性定理假設(shè) 于域 內(nèi)連續(xù)，且在 內(nèi)關(guān)于 y 一致地滿(mǎn)足局部利普希茨條件，是方程 通過(guò)點(diǎn) 的解，在區(qū)間 那么，對(duì)任意給定的 ，必存在正

7、數(shù)時(shí)，方程滿(mǎn)足條件 的解在區(qū)間也有定義，并且有定義其中使得當(dāng) Continuity & differentiability的解 作為 的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的。解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理假設(shè) 于域 內(nèi)連續(xù)，且在 內(nèi)關(guān)于 y 一致地滿(mǎn)足局部利普希茨條件，則方程 Continuity & differentiability解對(duì)初值的可微性定理的解 作為 的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)可微的。若函數(shù) f (x,y) 以及 都在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)，則方程 Continuity & differentiability Continuity & differentiability證明由在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)

8、，推知 f (x,y)在G 內(nèi)關(guān)于 y 滿(mǎn)足局部利普希茨條件。因此，解對(duì)初值的連續(xù)性定理成立，即下面進(jìn)一步證明對(duì)于函數(shù) 的存在范圍內(nèi)任一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)在它的存在范圍內(nèi)關(guān)于 是連續(xù)的。存在且連續(xù)。 Continuity & differentiability設(shè)由初值為足夠小的正數(shù)）所確定的方程的解分別為即于是其中先證存在且連續(xù)。 Continuity & differentiability注意到 及的連續(xù)性，有其中 具有性質(zhì)類(lèi)似地其中 與 具有相同的性質(zhì)，因此對(duì) Continuity & differentiability即是初值問(wèn)題的解，在這里 被視為參數(shù)。顯然，當(dāng) 時(shí)上述初值問(wèn)題仍然有解。 Co

9、ntinuity & differentiability根據(jù)解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性定理，知是的連續(xù)函數(shù)。從而存在而是初值問(wèn)題的解。且 ，顯然的連續(xù)函數(shù)。它是 Continuity & differentiability再證存在且連續(xù)。為初值設(shè)所確定的方程的解。類(lèi)似地可推證是初值問(wèn)題的解。因而 Continuity & differentiability其中 具有性質(zhì)故有至于 的存在及連續(xù)性，只需注意到顯然它是的連續(xù)函數(shù)。是方程的解，因而由 及 的連續(xù)性即直接推的結(jié)論。證畢。 Continuity & differentiability課堂練習(xí)1 設(shè) 是初值問(wèn)題的解，試證明 Continuity

10、 & differentiability作業(yè)： P.93 第 3, 4 題2 已知方程試求 Continuity & differentiability按照公式，一般有由于 ，因此，我們有時(shí)有 奇解包絡(luò)和奇解克萊羅方程（Clairant Equation）本節(jié)要求：了解奇解的意義；2 掌握求奇解的方法。主要內(nèi)容一 包絡(luò)和奇解的定義曲線族的包絡(luò)：是指這樣的曲線，它本身并不包含在曲線族中，但過(guò)這條曲線上的每一點(diǎn)，有曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)相切。奇解：在有些微分方程中，存在一條特殊的積分曲線，它并不屬于這個(gè)方程的積分曲線族，但在這條特殊的積分曲線上的每一點(diǎn)處，都有積分曲線族中的一條曲線與其在此點(diǎn)

11、相切。這條特殊的積分曲線所對(duì)應(yīng)的解稱(chēng)為方程的奇解。 注：奇解上每一點(diǎn)都有方程的另一解存在。例 單參數(shù)曲線族R是常數(shù)，c是參數(shù)。xyo顯然，是曲線族 的包絡(luò)。 一般的曲線族并不一定有包絡(luò)，如同心圓族，平行線族等都是沒(méi)有包絡(luò)的。二 求奇解（包絡(luò)線）的方法 C-判別曲線法 P-判別曲線法設(shè)一階方程的通積分為1 C-判別曲線法結(jié)論：通積分作為曲線族的包絡(luò)線（奇解）包含在下列方程組消去 C 而得到的曲線中。設(shè)由能確定出曲線為則對(duì)參數(shù) C 求導(dǎo)數(shù)從而得到恒等式當(dāng)至少有一個(gè)不為零時(shí)有或這表明曲線 L 在其上每一點(diǎn) (x(C),y(C) ) 處均與曲線族中對(duì)應(yīng)于C的曲線 相切。注意： C-判別曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需檢驗(yàn)。例1 求直線族的包絡(luò)，這里 是參數(shù)，p 是常數(shù)。解：對(duì)參數(shù) 求導(dǎo)數(shù)聯(lián)立相加，得，經(jīng)檢驗(yàn)，其是所求包絡(luò)線。xyop例2 求直線族的包絡(luò)，這里 c 是參數(shù)。解：對(duì)參數(shù) c 求導(dǎo)數(shù)聯(lián)立得從 得到從 得到因此， C-判別曲線中包括了兩條曲線，易檢驗(yàn)， 是所求包絡(luò)線。xyo2 p-判別曲線結(jié)論：方程 的奇解包含在下列方程組消去 p 而得到的曲線中。注意： p-判別曲線中除了包絡(luò)外，還有其他曲線，尚需檢驗(yàn)。例3 求方程的奇解。解：從消去 p，得到 p-判別曲線經(jīng)檢驗(yàn)，它們是方程的奇解。因