醫(yī)學(xué)專(zhuān)題藥學(xué)高數(shù)8中值定理-洛必達(dá)法則幻燈片

1、 第四節(jié) 中值定理 洛必達(dá)法則 一、中值定理 二、洛必達(dá)法則 2021/7/20 星期二1 一、中值定理 定理2-1 （羅爾 ( Rolle ) 中值定理） 如果函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間 a , b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)，且 f (a)=f (b), 則在開(kāi)區(qū)間 (a , b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) (ab), 使得 f( )=0 成立。 證明 （1）若函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間 a , b上為常數(shù)，則 f(x)=0 ，因而， (a , b) 內(nèi)任何一點(diǎn)都可取作 。 （2）若函數(shù) f (x) 在 a , b 上不是常數(shù), 必存在最大值 M 和最小值 m，且 M 與 m 至少有一個(gè)

2、不等于 f (a) 。xyoa1bCy = f (x) 2021/7/20 星期二2 不妨設(shè) Mf (a), 則在 (a, b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,使得 f ()=M 。由于(a, b), 故 f() 存在。而 f ()=M，所以，當(dāng) x 足夠小時(shí)，f (+x) - f()0, 若 若二者又相等，所以 f( )=0 成立。2021/7/20 星期二3 羅爾中值定理的幾何意義：一段連續(xù)曲線(xiàn) y =f (x) 除端點(diǎn)外，處處有不垂直于 x 軸的切線(xiàn)（即可導(dǎo)），且在兩個(gè)端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相等（即 f (a)=f (b)），則在該段曲線(xiàn)上至少有一點(diǎn) (, f ( ) 的切線(xiàn)與 x 軸平行。 例2-26 已

3、知 f (x)=(x-1)(x-2)(x-3) 。不求導(dǎo)，判斷方程 f (x)=0 的實(shí)根個(gè)數(shù)和范圍。 解 f (x)的連續(xù)性和可導(dǎo)性是明顯的，且 f (1) = f (2)= f (3) =0，故在區(qū)間1，2、2，3上均滿(mǎn)足羅爾中值定理的條件，則在（1，2）內(nèi)至少存在一點(diǎn)1，使得 f ( 1)=0；在（2，3）內(nèi)至少存在一點(diǎn)2 ，使得 f ( 2)=0。而 f (x)=0 是一元二次方程，最多有兩個(gè)實(shí)根，分別在開(kāi)區(qū)間（1，2）、（2，3）內(nèi)。2021/7/20 星期二4 拉格朗日，法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736 年1月25日生于意大利西北部的都靈， 1813年4月10日卒于巴黎。19歲就在都

4、靈 的皇家炮兵學(xué)校當(dāng)數(shù)學(xué)教授。在探討“等 周問(wèn)題”的過(guò)程中，他用純分析的方法發(fā) 展了歐拉所開(kāi)創(chuàng)的變分法，為變分法奠定了理論基礎(chǔ)。他的論著使他成為當(dāng)時(shí)歐洲公認(rèn)的第一流數(shù)學(xué)家。1766年德國(guó)的腓特烈大帝向拉格朗日發(fā)出邀請(qǐng)說(shuō)，在“歐洲最大的王”的宮廷中應(yīng)有“歐洲最大的數(shù)學(xué)家”。于是他應(yīng)邀去柏林，居住達(dá)二十年之久。在此期間他完成了分析力學(xué)一書(shū)，建立起完整和諧的力學(xué)體系。1786年，他接受法王路易十六的邀請(qǐng)，定居巴黎，直至去世。近百余年來(lái)，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。 2021/7/20 星期二5 定理（拉格朗日(Lagrange)中值定理） 如果函數(shù) f (x) 在閉區(qū)

5、間 a , b 上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)，則在開(kāi)區(qū)間 (a , b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) (a x0 。 由條件（1）知，函數(shù) f (x) 、g(x) 在區(qū)間 x , x0 上滿(mǎn)足柯西中值定理的條件（若在 x0 點(diǎn)不連續(xù)，則補(bǔ)充定義 f (x0) =0 , g(x0)=0 ），則至少存在一點(diǎn) ( x0, x ) ，使得當(dāng) xx0 時(shí)，必有 x0 ，所以2021/7/20 星期二15 將 xx0 改為 x ，結(jié)論仍成立。 因?yàn)?，設(shè) ，則當(dāng) x 時(shí)，t 0。故 將條件（2）改為 ，即 為 型不定式，結(jié)論也成立。2021/7/20 星期二16 例2-28 求 解 設(shè) f (x)=e2x-

6、1 , g(x)=3x 。兩個(gè)函數(shù)滿(mǎn)足洛必達(dá)法則中條件（1）、（2），且 f (x)=2e2x, g (x)=3 。 由于 所以，根據(jù)洛必達(dá)法則，2021/7/20 星期二17 例2-29 求 解 注意：在求極限過(guò)程中，洛必達(dá)法則可多次使用，但每次使用必須驗(yàn)證是否滿(mǎn)足洛必達(dá)法則中的條件。 例2-30 求 解 2021/7/20 星期二18 型未定式解法 方法：把它們轉(zhuǎn)化成 或 型后，再用洛必達(dá)法則求極限。 型 例2-31 求 解 方法2021/7/20 星期二19 注意：此題若變形為 ，則轉(zhuǎn)化成 型但 ，不利于求極限。 因此，把 型不定式轉(zhuǎn)化成 型還是 型應(yīng)根據(jù)所給函數(shù)而定。 總的原則是分子、分母求導(dǎo)越方便，求導(dǎo)以后的新函數(shù)求極限越方便為宜。2021/7/20 星期二20 - 型 例2-32 求 解 方法2021/7/20 星期二21 型 例2-33 求 解 設(shè) ，則所以方法2021/7/20 星期二22 例2-34 求 解 設(shè) ，則所以2021/7/20 星期二23