史上最全初中幾何模型(建議收藏)

1、平移：平行等線段（平行四邊形）對稱：角平分線或垂直或半角旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)對稱全等模型角分線模型往幫韻邊卄S?氓Et角分線模型往幫韻邊卄S?氓Et曲劈收點(diǎn)作垂強(qiáng)說明：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長補(bǔ)短或者作邊的垂線，形成對稱全等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直也可以做為軸進(jìn)行對稱全等。對稱半角模型說明：上圖依次是45、30、22.5、15及有一個角是30直角三角形的對稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對稱全等。旋轉(zhuǎn)全等模型半角：有一個角含1/2角及相鄰線段自旋轉(zhuǎn)：有一對相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等共旋轉(zhuǎn)：有兩對相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：

2、倍長中點(diǎn)相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問題旋轉(zhuǎn)半角模型說明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個二分之一角，通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個和為二分之一的角拼接在一起，成對稱全等。自旋轉(zhuǎn)模型構(gòu)造方法：遇60度旋60度，造等邊三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋頂點(diǎn)，造旋轉(zhuǎn)全等遇中點(diǎn)旋180度，造中心對稱pppp共旋轉(zhuǎn)模型Ac說明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個經(jīng)常考察的內(nèi)容。通過“8”字模型可以證明。模型變形說明：模型變形主要是兩個正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時，先找兩個正多邊形或者等腰三角形的公共頂點(diǎn)，圍繞公共頂點(diǎn)找到兩

3、組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：說明：兩個正方形、兩個等腰直角三角形或者一個正方形一個等腰直角三角形及兩個圖形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，證明另外兩個頂點(diǎn)與中點(diǎn)所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉(zhuǎn)頂點(diǎn)，通過證明旋轉(zhuǎn)全等三角形證明倍長后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。幾何最值模型對稱最值（兩點(diǎn)間線段最短）同側(cè).異側(cè)兩線段之和蔽短棋型同異段之蚤最小模型同側(cè).異側(cè)兩線段之和蔽短棋型同異段之蚤最小模型軸對稱模型三線段之和過橋模型戢短挾型四邊形周長三角形周三線段之和過橋模型戢短挾型四邊形周長三

4、角形周長戢小棋型誡小檢型對稱最值（點(diǎn)到直線垂線段最短）說明：通過對稱進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線距離。旋轉(zhuǎn)最值（共線有最值）DD說明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個定長線段，定長線段的和為最大值，定長線段的差為最小值。三角形-四邊形四邊形T四邊形S5田I)E正方形+等腰直角三角形-正方形說明：通過射影定理找到正方形的邊長，通過平移與旋轉(zhuǎn)完成形狀改變說明：剪拼主要是通過中點(diǎn)的180度旋轉(zhuǎn)及平移改變圖形的形狀矩形-正方形B圖M、X1尸mio旋轉(zhuǎn)相似模型說明：兩個等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個有一個角是300角的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。推廣：兩個任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似

5、。第三邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律。相似模型說明：注意邊和角的對應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過等量代換來構(gòu)造相似三角形的作用。說明：（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式出現(xiàn)的居多。(2)內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理(可以推廣到圓幕定理)之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過等線段、等比值、等乘積進(jìn)行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。說明：相似證明中最常用的輔助線是做平行，根據(jù)題目的條件或者結(jié)論的比值來做相應(yīng)的平行線。A摸型一：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型金等*舒m艮QQ均楠邊三舜冊AE16=AcQRDfL

6、AEB-6GfUEf1H1HO)融RMaMM曲勺肋等緩直角三硼agi&s山対e加曲1乙打啟-9FjaE平分1皿兒任直等腰三角附*躋MM歎迓P均為務(wù)眶角形戸幷論：gCOJiD；UER-ZJ0&；Af朋平分1應(yīng)兒模型二手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型相敘(1)-ftfiR琳條件心叭將加丿旌韓至右圖位貴A碗A右圖中3iQACtOUD、延民M交購于點(diǎn),必程SEC-BOA蘇件CO/MH,山泗殖，將加胚力艇轉(zhuǎn)至右團(tuán)A*Sife=右團(tuán)中(DHOCDsA0/qAQ4CAOBDj延長M交曲于克瓦必有4匯OATSDODOBry_V1=on.Zj(/jJCOCOA；D1XCj葩接必EG帰肋注胡加*8f佃角g邁相垂直的囚邊問模型三

7、；對角直補(bǔ)模型甜他厶匱平分厶0B皓階迫cmce；00*0忑皿wi+廂臨示：乍垂直，趣訐明gw曲、點(diǎn)匸作門7丄oc如上團(tuán)右）.證明ODCMMTC:n當(dāng)/（K的一邊交A0的延長踐于點(diǎn)D時!M上三個站論：CD=CEf不變）J廠九一九心-丄QE7D近0C$211冷論i珂方法與前f輯況一鞭可自行嘗試o全等型-1俯a條件=zUi72EDCEINT,OCLAQBa拮論：m：E、OD+OE-(X$OC34A勰5示：（D百寥考全尊型-90曲證法一：如團(tuán)：在陽上職一點(diǎn)Ft使OF=OC,證明ACKF為等迂二無形。O）全等型住育角mTOC o 1-5 h z-2a?LDCE-180-2ft.（）*.m結(jié)論=平分丄的打

8、啓DD*OE2（XH“w-當(dāng)m的一邊交舶葩延怏線于點(diǎn)d竝（如右.上兩八原結(jié)論克成：?,1可滬上述笫邊料萬任戲亍證明請黒考初始條件惟化對模型的談飢a對珀至iK型登結(jié)：常見初始箕怕區(qū)邊刑對角互補(bǔ)：連盲兩點(diǎn)：叫虎共圜更直吊三角刑肅邊中線;沏始條件寸角平分線”與”前邊相等的區(qū)別；網(wǎng)種常見wm;s5醯意C平分d詼時LCDELCED-LCOA-藝QO相割q（可推導(dǎo)琴A模型四：角含半角模型驅(qū)（0角含半角模型90-1a條件二正方形F-45jA結(jié)論二EFDIBACEF的周長為正方形CD周長的半也A0正方形EFmBEa結(jié)論二丄4F45（2）角含半角模型90。-2a條件：正方形CD.LEAF-45；a結(jié)論二EFDJ

9、BEaWTSfiras：M-；L仍然成立.L仍然成立.心)角含半角視型or-3醐債爲(wèi)a結(jié)論=W+CEP=DE若GM旋瘵01處外部時，結(jié)論*：*c7訂叫：電坯jr(Jt.iT1*!.-)*/ZZWT-IF-,AZJtMH-ZC4T厶時厶C鼻好譏MDHs址料；k上人Wlii：i!HAtf-E”條件：正方形真。；LEAF-貸?a(*ifc=A打叢為等腰直再三用影.七汩模型五:倍氏中線類模型1(o味卬編備軒”荼井二(D矩形dMT打J?O-用匚DF-甲aSifi=Af1摸型提取:倔平行線廚斗平行線肆胃段育中點(diǎn)of島口WI険字裁代4尸A/f；f口A采曲垃平行四邊形ASCDfiC-2JJ?1/DSf；CE丄

10、TD.a拮論=atfGP.帝中(fc.ma-wJiltEW.hity曲g&JMFcsrHit#*4HWT.w(卜逋述構(gòu)謎e即珥.門侶#足a亶*更”山呦上+A模型六：相似三角形360旋轉(zhuǎn)模型相形（等JM相形（等JM角360。鶴翹畚紗蜒A條件:MDEx山PC均為等腰直角三角形；EFCFa結(jié)論：DF-BF；DF丄HFUMfK：HKDFilAG.2FG.DF44VH；.V#/X；K1U丈住.區(qū)：SAHIMMBGZAW-ZZJCG2）任翻觀訥三角形2）任翻觀訥三角形360濮轉(zhuǎn)模3H陞法M助握：出罠BAHAG.（tJG足長相ft形等瀬角560。型用詮法谿：“處、W（i勸警腰直角三角矽防（竹A結(jié)論:：BF；

11、DFkBF輔助後：旳逢號濮直血44口7、MHC觸勸線忠略：將/弓Hlc；與EllCDmgDH=(T)卜仝CDmgDH=(T)卜仝MXiBocir轉(zhuǎn)比.4E4bEcg哥Mi/!/（.此血4軒維轉(zhuǎn)億巾諂明J.”A4O厶您朗冋邊戌比JL興角*A模型七：最短路程模型CD蠡路程遜一館軍飲駁）禺加：以上B田務(wù)*JL的心廿你吳最蚯”保問-眄廉之嗎，倫及最牡”解4a：勸點(diǎn)4am上:4A.憐戍岀瓦朮線段加対（2）罠回辭歿3wijn：椅作?畏十ex葉件丸（?.軸億找.-tA1作M丄at、叫paw找znt“邑摩量吳_Mfr：伙平分I叫刖為防上一定吊卩為（疋上T敲。為帥上一動點(diǎn);A求=最小時2幾0的位羞Q3融路程理二

12、隔言線類力A耕；*（A）風(fēng)-20人尸（0）p叭4PAai礦：為何值叭5最小廣f.sinOAC=A求解方法二T軸上取C（2.0）j吏5，過作弘丄交，軸于點(diǎn)匕目呀所求,lanLEHOlanOAC2,即總）(4)路程值灘tn：aaai-4.oB.m(czooir6oattAOW9H4：.3魴，女a(chǎn)ane：以殳o*=.4.片違尢，卜丁舄三itatu：:a*btt：w-ob*h：CDitna-4fw-2以巾a|u.o/r.rx*0ItnAf(tiill)-AH4x(l9.4IO.*|(X-6x-iK(a.tfli*05%22:3oi-|:i*AP9NC上上：VW丘點(diǎn)OOHHit：/UAfcAacJfJU

13、2VAAl*!11?4苗-I模型九：相1以三角形模型（2）余艸；”左曲円卜茁(/)-f師淮：li（2）余艸；”左曲円卜茁(/)-f師淮：liJ/?-If-l/J人字矍外型扣#聊+-r-frJ）/Vjryjrnr站旌：蘭二竺二竺（住胃対建邊乜H2：j/ijcnr.備”i打疝面吟。用忙z吒-z,yw*titifcT.t(J討EF.AHXrj卜比注舟O.LfiAt-2/1.1執(zhí)“-Hi-HA,7J-M.l!hJAECACE-申l!hJAECACE-申IB*PA巾BG的旳料M論：左oa：fM/停壯“嚴(yán)tffi：P.V=尸宀PB擊皿tAHi;UJC-jly-一fZJ-45九世：也|臂和環(huán)花旳hit1li

14、ft.V7t：2.川-/彳-fH亠也三平御杖T邑悅常川義址-河E以上悴論旳呼以逋it枷仇三血啊if甘誼即I中點(diǎn)模型【模型1】倍長1、倍長中線；2、倍長類中線；3、中點(diǎn)遇平行延長相交E【模型2】遇多個中點(diǎn)，構(gòu)造中位線1、直接連接中點(diǎn)；2、連對角線取中點(diǎn)再相連【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，ZABC=60,G是DF的中點(diǎn)，連接GC、GE.如圖1,當(dāng)點(diǎn)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時，若AB=10,BF=4，求GE的長；如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時，線段GC、GE有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系，寫出你的猜想；并給予證明；如圖3,當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長線上時，(2)問中關(guān)系還成立嗎？寫出你的猜想,二角平分線

15、模型【模型1】構(gòu)造軸對稱【模型2】角平分線遇平行構(gòu)造等腰三角形【例】如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分ZBAD交BC邊于E,EF丄AE交CD邊于F,交AD邊于H,延長BA到點(diǎn)G,使AG=CF,連接GF.若BC=7,DF=3,EH=3AE，則GF的長為.三手拉手模型【條件】0A=0BfOC=ODfZAOB=ZCOD【結(jié)論】OAC三厶仞DZAEB=ZOAB=ZCt?D（即都就轉(zhuǎn)角）；OE平分厶脅【例】如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE,過點(diǎn)C作CF丄BE,垂足為F,連接OF,則OF的長為四鄰邊相等的對角互補(bǔ)模型tmn【條件】如團(tuán)！四邊形A3

16、CD中，衛(wèi)ID,=ZABC-ZaDC=180【結(jié)論卡衛(wèi)匚平分rm2i【條件】如團(tuán)，四邊形血仞中440ZS4Z=Z5C2?=90【結(jié)論】&ZACB=ZACD=4EC+CD二羽WC【例】如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=5,G為CD中點(diǎn)，DE=DG,FG丄BE于F,則DF為.【例】如圖，正方形也CD的邊長為3,延長CA至點(diǎn)使BAi連接占閥過點(diǎn)萬作師丄,垂足為曲0是對甬線月D的交點(diǎn)，連接0V,則匸卯的長為【例1】如圖，正方形ABCD的面積為64QCE是等邊三角形尸是血的中點(diǎn)血酹交于點(diǎn)G,則DG的長為五半角模型【魁1】【條件】如團(tuán)，四邊形A8CD中AB=AD,BAL+ABCD=A4BC.十AADC

17、=LSO【邂2】【條件】在正方形曲仞中已知艮尸分別杲邊仞上的為且満足ZE打=45篤拡、腫分別與對角線肋交于點(diǎn)WN.【結(jié)論】(1)BE-DF=EF5(2)S“近AH=AB(4)Cecf=2AB;BXDd卿;(6)HDNFsIXAEFsAH=AOABXx旋可得到&4JVM和MF尸的相似比為1:血)；Q)SSQAS的UgSHADF,MOWABE、2EV為等腰直角三甬形，ZJZM5；為等腰直角三角形厶1尺045。-(1.Z場尸=45；2/E；yLV=l；72)54詼F.D四點(diǎn)共圓，AB.&N四點(diǎn)共圓MMF.GE五點(diǎn)共圓.BE【刪2翹】條件】在正方形ABCD中,已知E、F分別是邊CB、DC延長線上的點(diǎn)；

18、且滿足ZF=45結(jié)論BE-EEDF【理2理】【條件】在正方形ABCD中，已知E、F分別是邊CB、DC迤長莪上的點(diǎn)；且満足ZE腫=45。【結(jié)論DF-EF=BE1例】如團(tuán)，山肚和ADEF是兩個全等的等腰直角三角枚C=ZEDF=,DEF的頂點(diǎn)E與WC的斜邊眈的中點(diǎn).重合將ADEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，施輕過程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)Pf射線忙尸與線段丄遲相交于點(diǎn)G,與射線CA相交于點(diǎn)Q.若AQ=12,BP=3?則PG=.【例】如副在菱形曲仞中AB=BD,點(diǎn)為尸分別在衛(wèi)及AD?且遙DF連接時與D耳交于點(diǎn)&連接G與召D交于點(diǎn)乩若CG=1?則%咖理厲=六一線三角模型【條件】Z.LDF=ZS=ZC,且DE=DF【結(jié)論】DE=aCFD【例】如風(fēng)正方形血仞中，點(diǎn)臥尺G分別為月罠ES仞邊上的點(diǎn)盼3,GCW,連接酹；FG、宜恰好構(gòu)成一個等邊三角形則正方形的邊長対-BCBC七弦圖模型AA【條件】正方形內(nèi)或外互相垂直的四條線段【結(jié)論】新構(gòu)成了同心的正方形HDBfHDBf匸【例】如圖點(diǎn)遲対正方形曲仞邊的上一點(diǎn)點(diǎn)尸在磁的延長線上AF=AB,M與FD