化歸與轉(zhuǎn)化思想解決立體幾何問題

1、化歸與轉(zhuǎn)化思想解決立體幾何問題 略談立體幾何中的空間角的向量求法鐘祥市舊口高中 王輝問題的理論背景：空間向量的具體應(yīng)用主要體現(xiàn)為兩種方法向量法和坐標(biāo)法，這兩種方法的思想都是利用空間向量表示立體圖形的點、線、面等元素，建立立體圖形和空間向量之間的聯(lián)系，然后進行空間向量的運算，最后把運算結(jié)果回歸到幾何結(jié)論，這樣就把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量來研究，即為我們書中提出的用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”。很好地體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。解有關(guān)空間角的困惑：空間中線線所成的角、線面所成的角、面與面所成的二面角，往往都需要作出其平面角，這是采用傳統(tǒng)方法的一大難點，尤其是二面角的平面角的尋找，有時相當(dāng)

2、困難，采用向量方法求解時，無需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，轉(zhuǎn)化為兩向量所成的角通過向量的數(shù)量積運算即可獲解，體現(xiàn)了空間向量的巨大優(yōu)越性。解題時用到的有關(guān)求角公式：設(shè)直線l，m的方向向量分別為， ，平面，的法向量分別， 線線夾角 lm的夾角為（0） cos=線面夾角l的夾角為（0） sin=面面夾角 的夾角為（0） cos=具體案例：一、求線線角的問題例1：在正三棱柱ABCABC中，若AB=BB，求異面直線A B與CB所成角的大小分析：依題可作圖，直線A B與CB所成的角，其取值范圍（0，與,相等或互補?？梢酝扑闳胧帧＝夥ㄒ唬ㄏ蛄恐苯舆\算法）=+= + ，600 | | =| B C

3、|= + + =| | | |=0，即A B與CB所成的角為900，（備注：化簡的方向要先選定，作為一個基底，其他向量向他們轉(zhuǎn)化）解法二（向量坐標(biāo)運算法）取AB的中點O為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，取B B=1 AB=A(0，1) B(0，0) C (，0，0) B(0，1)=（0，1） =（，1）=0（）+（1）1=0 即A B與CB所成的角為900。 （備注：建立空間直角坐標(biāo)系的方法多樣的）二、求線面所成的角例2：在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA平在ABCD，PA=1，求PC與平面ABCD所成的角。解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)則P（0，0，1），C（1，0）=(1，1

4、），平面ABCD的一個法向量為=（0，0，1）即為向量cos，=，=1200斜線PC與平面ABCD的法向量所在直線所成的角為600。斜線PC與平面ABCD所成的角為300。（備注：1、先求平面法向量與斜線夾角，再進行換算；2、觀察圖形有時可直接選取某一向量作為平面的法向量，避免再求法向量）三、求面與面的夾角（二面角）例3：如圖，四棱錐FABCD的底面ABCD是菱形，其對角線AC=2，BD=，CF與平面ABCD垂直，CF=2，求二面角BAFD的大小。解：以C為坐標(biāo)原點，方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。A(0，2，0) B（，1，0） F（0，0，2） D（，1，0）=（，1，0） =（0，2，2） =（，1，0）設(shè)平面ABF的法向量=（x，y，z）則由得 令z=1，=（，1，1）同理，可求得平面ADF的法向量=（，1，1）=()+(1)(1)+11