教學教案-二項式定理復習

1、二項式定理復習課一.教案描述教學設想：精心設計例題，用二節(jié)課的時間對二項式定理進行復習。除理清基本概念 外，著重訓練定理運用中的七個層次，使學生的數(shù)學知識和數(shù)學思想都得到訓練。1、會正用.即套用公式，這一層次的思維量較小，但對理解和鞏固定理是完全必要的，例 題安排上由淺入深，復習方法上以提問或?qū)W生練習為主，要做到正確、熟練。例1、求，(2 + 3x)6的展開式中含爐的項.解：一最23(3x)3 =4320/例2、求(1-2x)5 (l + 3x)4展開式中前三項之和.解：計算時注意每個因式的展開式只須取前三項即可。(1 一2x)5 (1 +3x)4 = i_5.2x + 10(-2x)2-.

2、l + 4-3x + 6-(3x)2+= (l-10 x + 40 x2 -)(l + 12x + 54x2 +) =l + 2x-26x2 +一。展開式前三項之和為l + 2x-261.例3、求(2/-3%+ 1)8展開式中1項.解：假設將(23x + l)8化為(2x l)8(x 1)8來確定展開式中工項，解法不甚合理，注意到2/與1項無關，可轉(zhuǎn)化為求(3x + l)8展開式中工項，即C；(3x) = 24x,解法較捷。此題較靈活，有助于提高學生轉(zhuǎn)化能力。2、會反用.逆向思維的訓練能加深對定理的理解，培養(yǎng)觀察能力，但學生往往不習慣， 例題和習題可逐步加深。例 4、求值 4 + C： 4t

3、+ C； 4一2 + +。丁 4 +1 ；(2)1 2C：+2?。；一 + (2)C：.解:原式即為(4 + 1)，的展開式，原式=5.(2)注意符號問題，原式=(1 2) =().例 5、設函數(shù)/(x) = l + 5x 10/ +10/ _5x4 +/.求/(X)的反函數(shù)/-(I).解：如果/(x)的表達式中第一項1改為7,那么為(l + x)5的展開式. f(x) = (-l + x)5 +2.易得/T(X)= 1 + Vx-2 (%e R)3、會變用.不少問題需要將數(shù)式變形后，再運用二項式定理。這一層次要求學生有一定 的分析能力，復習中應引導學生觀察數(shù)式特征，進行合理變形。例6、求52

4、+4 2)3展開式中的常數(shù)項.X解：一般有兩種變形方法，其一變形為(，+!)_2，其二變形為(x J_)6 .后者較簡，其常數(shù)項即為第四項7； =C； =20 .例 7、設 1 X + %3 + , + /6 x= = a。+%(% + ) + a2 (% + 1)2 + , , + %7 (% + I),求a2 .解：為了比擬系數(shù)，招左式變形為1 (X + D 1 + (X + 1) 12(X+D 117 .再展開之，展開式中(x + l)2項的系數(shù)即為由, % =C；+C；+C：+ + G； =。；8 =816.4、會設項.這是二項式定理中常用的待定系數(shù)法，學生應熟練掌握。例8、(J5 +

5、正)1的展開式中含有多少個有理項？配工100-r r解：T =C；2 2 33,耍使其為有理數(shù)，即=，-=m (，加為非負整數(shù)).，十 I1UVJ3得- = 2(50 )，且 =3根.，r是6的倍數(shù)，可取廠=0, 6, 12,96共17個.2_例9、設(3/+始)展開式的各項系數(shù)之和為方,其二項式系數(shù)之和為，假設，+力=272,試求展開式中一項的系數(shù).解:此題應先定，令x = l,得，=4.而/ = 2.4+2 =272.得2 =16,.幾=4.7；+1 =C：(3/)”(始)由土式+工=2得廠=4.二，項系數(shù)為3。：3 =15、會取值.二項式定理提供了從一般到特殊的思維方法訓練的好教材，應抓

6、住機遇進行 這一基本思維方法的訓練.例10、求(x + 2y)(2x + )之(x + )3展開式中各項系數(shù)的和.解：設原式=劭工6 +a/5y+ 2%4丁2 H1_Q6y6.令 %=, y = l,得 （）+ % + % +，+ & = 216 .在熟知基此題的基礎上，可適中選擇些靈活性的例題例11、求（4怎-y）”展開式中所有無理系數(shù)之和.解：考慮到展開式中無理系數(shù)為多，可以從反面求有理系數(shù)著手。有理系數(shù)項為：（13x）15 =3x15, （y）” =丁5.，有理系數(shù)之和為 3 +（i）= 2 .令冗= =1,得展開式各項系數(shù)之和為（我一1）”.展開式中所有無理系數(shù)之和為（如一1）” 2.

7、例 12、設（1 + X + X-），Z =+ , , +.求。（）+ 2 + “4 + + a,的值.解： 令 x 1, 得 g + / + a） + , , += 3.令 x = -1, 得 a。一 a1+ a, , , , + a2” = 1 .,3 +1兩式相力口 得 6/q + a0 + Q4 + , , + a） =-在取值過程中，要培養(yǎng)學生觀察能力例 13、設（1 + 26 =aQ+a. （x-1） + 2（x-l）2 + +6z100（x-l）100.求 Q1 + % + , , , + a99 的值解：令 X = 2 ,得。0 +。 +。2 +1-。00 = 51 ,令 X

8、= 0 ,得。0 _ % +。2 _ . , +。100 = 1 、,5,00-1兩式相減，得 Q1 + 4 + , +。99 =*6、會構(gòu)造.關于組合恒等式的證明，通常需要構(gòu)造一個恒等式，比擬其二項展開式的系數(shù) 而得。這一層次要求有較強的觀察分析能力，是個難點，例題和習題不宜太難，講解 中應慢慢引導，啟發(fā)學生思維。例14、證明以下各式（1） 1 + 3C +9C； +.+3-匕尸 +3禺=4. 6）2 + （C： ）2 + （C； ）2 + ）2 = C；n .證：（1）構(gòu)造二項展開式（a + b） =C，a+C% +2+ G.令 a = l, b = 3 得（1 + 3=1 + C：3 +

9、 C；32+ 瑪,3即 1 + 3C： + 9C； + + 3t C+ 3 C： = 4.構(gòu)造恒等式(l + x)n (l + x) =(l + x)2n.兩邊含X項的系數(shù)相等，即c：C； + c：C；T + G；c；2 +禺c： = C% c： = C； 0m TOC o 1-5 h z 、 a 11 s 5 z 1、S/1 x S 15?證： 令 x = + i, y =。，那么+ y = ( + a). + (a) = 一 + a +5a 一222216 216例16、等差數(shù)列及等比數(shù)列仍中， =，a2=b29且這兩個數(shù)列都是遞增的正項數(shù)列，求證：當 2時，an 6il + (1 1) = Q + ( 1)(Z? Q)= Clnaa利用二項式定理證明不等式，采用“對稱法”(例15)及“減項放縮法”(例16)較為普 遍。二.教案評析通過以上七個層次的復習，學生一般都能掌握二項式定理解題的常用方法。數(shù)學思想 和方法也得到一次系統(tǒng)的訓練，分析和綜合能力有所提高，收到了復習的實效。二項式定理是高中數(shù)學中較為獨特的一局部，教材中只簡單地講述定理的推導、性質(zhì) 及應用。如果沒有認真分析教材，復習課往往容易產(chǎn)生簡單化傾向，僅僅要求學生熟記公 式、會代公式而言。其實，二項式定理內(nèi)容雖不多，但分散于教材及習題的解法卻豐富地