課表編排問題-數(shù)學(xué)建模

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)魅力數(shù)模 美麗力建力建學(xué)院第六屆數(shù)學(xué)建模競賽自信 堅(jiān)強(qiáng) 團(tuán)結(jié) 創(chuàng)新 論文題目 課表編排0-1規(guī)劃模型 參賽編號 2008tj0804 監(jiān) 制：力建學(xué)院團(tuán)委 數(shù)學(xué)建模協(xié)會（2010年11月）力建學(xué)院第六屆數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了第六屆建工數(shù)學(xué)建模竟賽的競賽規(guī)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與本隊(duì)以外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的

2、成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們愿意承擔(dān)由此引起的一切后果。我們的參賽編號為： 2008tj0804 參賽隊(duì)員 (簽名) ：隊(duì)員1： 葉 慶隊(duì)員2： 靳小龍隊(duì)員3： 胡傳鵬課表編排問題第一部分摘要： 本文根據(jù)制定課表時(shí)需考慮的問題,建立了沖突最少的0-1規(guī)劃模型； 求解得課表，并根據(jù)所得結(jié)果對教師聘用,教室的配置,來做出合理的建議。考慮目標(biāo)函數(shù)時(shí)，分析課表編排要符合的條件為：課程要求、教師課程編排盡量分散、同課程編排盡量分散、教師超

3、出工作量盡量少。則我們目標(biāo)函數(shù)沖突最少分解為：各門課程各自不符合程度總和最少、各教師各自課程編排分散程度總和最大、各門課程編排分散程度總和最大、各教師超出工作量程度總和最少。考慮約束條件時(shí)，分析附錄中的相關(guān)數(shù)據(jù),得到課程編排的影響因素有,時(shí)間,教室,課程等，則可以根據(jù)此來約束目標(biāo)函數(shù)。根據(jù)以上考慮因素建立系統(tǒng)遞階圖,使目標(biāo)更清晰。建立空間向量，已知數(shù)據(jù)與空間向量一一對應(yīng)。根據(jù)課程要求與實(shí)際編排差距最少原理，建立目標(biāo)函數(shù)。加上課表編的約束條件,進(jìn)行優(yōu)化,用Matlab求解課表.再根據(jù)求解得課表與相關(guān)系數(shù)指標(biāo)為教師聘用,教室的配置,來做出合理建議.關(guān)鍵詞：課表編排 系統(tǒng)遞階圖 空間向量第二部分一、

4、問題重述某高校現(xiàn)有課程40門，編號為C01C40；教師共有25名，編號為T01T25；教室18間，編號為R01R18。具體屬性及要求見表1，表2，表3：課表編排規(guī)則：每周以5天為單位進(jìn)行編排；每天最多只能編排8節(jié)課，上午4節(jié)，下午4節(jié)，特殊情況下可以編排10節(jié)課，每門課程以2節(jié)課為單位進(jìn)行編排，同類課程盡可能不安排在同一時(shí)間。 你所要解決的問題：請你結(jié)合實(shí)際情況給出較為合理的課表編排方案，分析你所給出的方案的合理性。對教師聘用，教室配置給出合理化建議。二、問題的分析問題分析為先建立合理的課表編排方案，再從課表編排方案中分析對教師聘用，教室配置給出合理化建議。針對問題一：1、該問題要求給出合理的

5、課表編排方案，分析如下：（1）、總體上盡量使每門課程符合要求，即求各門課程各自不符合程度總和最低；（2）、總體上使同一老師的課程盡量分散，即求其總各教師各自課程編排分散程度總和最大；（3）、總體上使每門課程的編排盡量分散，即求各門課程編排分散程度總和表達(dá)式最大；（4）、總體上使同一老師相對超出的工作量盡量少，各教師超出工作量程度總和最少。2、針對編排方案約束條件如下：（1）、同一時(shí)間段同一教室不能同時(shí)上兩門或兩門以上的課程；（2）、在任一教室上課的人數(shù)不能超過最大座位數(shù)；（3）、同一時(shí)間段同一教室不能同時(shí)上兩門或兩門以上的課程；（4）、在安排課程與老師授課類別要符合課程類別，不要造成混亂；利用

6、層次分析法，求出表示不同程度的權(quán)重表達(dá)式，把以上各點(diǎn)要達(dá)到的目標(biāo)整合成為單目標(biāo)的總目標(biāo)0-1規(guī)劃問題。針對問題二：1、根據(jù)教師聘用則要求分析出哪一類課程需要的教師越少，則越要聘用教那一類課程的教師。各類教師少的程度可用各類教師補(bǔ)課程度系數(shù)（各類教師周最大課時(shí)數(shù)之和與各教師實(shí)際課時(shí)數(shù)之和的比值）來作分析參考，系數(shù)越大則該類教師越少，應(yīng)盡量聘用能勝任該類課程的教師。2、針對教室配置給出合理化則要求分析出：（1）對各類教室配置座位數(shù)量應(yīng)為多少才合理；（2）各教室類別（機(jī)房，多媒體教室，通教室）數(shù)量的應(yīng)為多少才合理；則可以從應(yīng)配置座位系數(shù)（數(shù)量與實(shí)際座位數(shù)量之差，再比上實(shí)際座位數(shù)量）和配置類別系數(shù)（課

7、程要求與實(shí)際類別數(shù)量之差，再比上實(shí)際類別數(shù)量）分析可得：座位系數(shù)越大，則對各類教室配置座位數(shù)量需求越大，則越要配置多一點(diǎn)座位，反之越??；配置類別系數(shù)越大，則各教室類別（機(jī)房，多媒體教室，通教室）數(shù)量需求越大，則越要配置多一點(diǎn)該類別教室，反之則越小。三、模型假設(shè)假設(shè)機(jī)房、多媒體教室和普通教室三者的重要性系數(shù)之比為321； （機(jī)房可以當(dāng)作多媒體教室用，而多媒體教室也可以當(dāng)普通教室用）假設(shè)課程類別、課時(shí)數(shù)、座位數(shù)、教師類別、時(shí)間段的重要性之比為；假設(shè)每位教師都不會生病請假而能正常上課；假設(shè)每個(gè)教室的設(shè)備都能正常運(yùn)作，桌凳等不會損壞，學(xué)生不會去旁聽而導(dǎo)致桌椅不夠使用；要求的最佳課表是唯一的；假設(shè)在星期

8、一到星期五內(nèi)沒有節(jié)假日、法定假期，課程能按時(shí)上課。建立模型的流程圖如下：各門課程各自不符合程度總和表達(dá)式課程編排求得最優(yōu)解單門不符合程度表達(dá)式單教師課程編排分散程度表達(dá)式單門課程編排分散程度表達(dá)式各教師各自課程編排分散程度總和表達(dá)式表達(dá)式各門課程編排分散程度總和表達(dá)式總不滿意程度表達(dá)式課程表編排約束原則非線性規(guī)劃各教師超出工作量程度總和表達(dá)式單教師超出工作量程度各類教師補(bǔ)課程度系數(shù)配置座位系數(shù)教室配置類別系數(shù)四、符號及變量說明符號符號說明rcjt第幾個(gè)教室的序號第幾個(gè)課程的序號第幾個(gè)時(shí)間段的序號，每門課程以2節(jié)課為單位進(jìn)行編排，把一個(gè)星期分為二十個(gè)時(shí)間段，=1.20第幾個(gè)教師的序號課程空間向量

9、，即第c個(gè)課程在第j個(gè)時(shí)間段下課程安排教室空間向量，即在第r個(gè)教室第j個(gè)時(shí)間段下的教室符號符號說明 教師空間向量，即第t個(gè)教師第j個(gè)時(shí)間段下的教師為決策變量，可以取1或0（1為真，0 為假）為決策變量，可以取1或0（1為真，0 為假）為決策變量，可以取1或0（1為真，0 為假）第c個(gè)課程的類別第c個(gè)課程的學(xué)時(shí)數(shù)第c個(gè)課程的對教室座位最大要求數(shù)；第c個(gè)課程的對教室要求的類別；第c個(gè)課程的時(shí)間要求；第r個(gè)教室的最大座位數(shù)；第r個(gè)教室的教室類別；第t個(gè)教師能勝任課程的類別；第t個(gè)教師的周最大學(xué)時(shí)；第t個(gè)教師增加的課時(shí)數(shù)第t教師的時(shí)間段： 第t個(gè)教師在第j個(gè)時(shí)間段上課 c個(gè)課程的不符合程度第t個(gè)教師課

10、程編排分散程度；第c門課程編排分散程度第t個(gè)教師超出工作量程度總不滿意程度各類教師補(bǔ)課程度系數(shù)配置座位系數(shù)配置類別系數(shù)一組數(shù)的集合的平方差五、模型的建立與求解5.1 課程的系統(tǒng)系統(tǒng)遞階層次結(jié)構(gòu)的建立 針對課程各因素之間的關(guān)系，建立如下系統(tǒng)的遞階圖： 課程課程課程課程課程；課程類別課時(shí)數(shù)座位數(shù)教師類別時(shí)間段機(jī)房多媒體教室普通教室上午下午 5.2 五維空間向量的確立 用層次分析法的原理和表1，表2，表3中的數(shù)據(jù)構(gòu)建五維空間向量集=（，） ， =（0，0，0） ，=（，0，0，），則把個(gè)數(shù)據(jù)與向量一一對應(yīng)起來。其中規(guī)定如下： eq oac(,1) l的值為1，2，3，4，5，6，7，8 分別對應(yīng)課程

11、類別為1，2，3，4，5，6，7，8； eq oac(,2) x的值1，2，3 分別對應(yīng)周課時(shí)數(shù)為1或2，3或4，5或6； eq oac(,3) n的值分別對應(yīng)其座位數(shù)； eq oac(,4) m是值為2，1，0分別對應(yīng)數(shù)據(jù)中機(jī)房，多媒體教室，普通教室； eq oac(,5) h的值為1，0，0或1 分別對應(yīng)，其數(shù)據(jù)中的上午，下午。則得出實(shí)際的課程向量，實(shí)際的教師向量和實(shí)際的教室向量的對應(yīng)關(guān)系式為： 5.3 求第c個(gè)課程不符合程度表達(dá)式實(shí)際課程向量與要求課程向量差距越大，則越大；根據(jù)層次分析法原理來求出對應(yīng)的權(quán)重為該不符合程度的值。 .5.4求單教師課程編排分散程度根據(jù)“課程編排分散程度越大，

12、則對應(yīng)的時(shí)間段分散程度越大，即其值分散程度越大”的原理，以該時(shí)間段的值的平方差為該單教師課程編排分散程度的值.5.5求單課程編排分散程度同理根據(jù)“課程編排分散程度越大，則對應(yīng)的時(shí)間段分散程度越大，即其值分散程度越大”的原理，以該時(shí)間段的值的平方差為該單課程編排分散程度的值 5.6 求單教師超出工作量程度 ：以為單教師超出工作量程度的值. 5.7求目標(biāo)函數(shù)總不滿意程度 ： 根據(jù)假設(shè)3（課表總不滿意程度與各門課程各自不符合程度總和成正比，與各教師各自課程編排分散程度總和成反比，與各門課程編排分散程度總和成反比，與各教師超出工作量程度總和成反比），用 為總不滿意程度 的值.5.8課程表編排約束原則

13、5.8.1同一時(shí)間段同一教室不能同時(shí)上兩門或兩門以上的課程； 5.8.2在任一教室上課的人數(shù)不能超過最大座位數(shù)； 5.8.3同一時(shí)間段同一教室不能同時(shí)上兩門或兩門以上的課程； 5.8.4在安排課程與老師配對時(shí)要符合課程類別，不能亂； 5.9 非線性規(guī)劃模型最終確定（整合上述公式）5.10補(bǔ)課程度系數(shù)=各類教師周最大課時(shí)數(shù)之和與各教師實(shí)際課時(shí)數(shù)之和的比值5.11配置座位系數(shù)=課程要求數(shù)量與實(shí)際座位數(shù)量之差，再比上實(shí)際座位數(shù)量5.12配置系數(shù) =課程要求與實(shí)際類別數(shù)量之差，再比上實(shí)際類別數(shù)量（二）模型的求解假使課程類別、課時(shí)數(shù)、座位數(shù)、教室類別、時(shí)間段的重要性之比=9：7：7：6：4，代入上式，再

14、利用Matlab對上述非線性規(guī)劃問題進(jìn)行，具體程序代碼見附錄1求解得到個(gè)決策變量，對應(yīng)如下表（其中的序號為課程類號）： 表1.單周課表星期一星期二星期三星期四星期五12節(jié)課(C01_T01_R04)(C11_T07_R08) = 4 * GB3 (C18_T12_R02)(C37_T24_R13) = 2 * GB3 (C07_T04_R04) = 4 * GB3 (C16_T13_R16)(C34_T22_R01)(C01_T01_R04)(C11_T07_R08) = 4 * GB3 (C18_T12_R02)(C21_T14_R18) = 2 * GB3 (C07_T04_R04) =

15、4 * GB3 (C16_T13_R16)(C34_T22_R01)(C37_T24_R13) = 2 * GB3 (C08_T06_R18)(C11_T07_R08) = 4 * GB3 (C18_T12_R02)(C21_T14_R17)34節(jié)課(C04_T01_R04)(C12_T09_R02)(C31_T20_R07)(C38_T25_R13) = 2 * GB3 (C10_T04_R16) = 4 * GB3 (C19_T13_R04)(C25_T16_R01)(C33_T21_R08)(C04_T01_R04)(C12_T09_R02)(C23_T14_R18)(C29_T19_R

16、10)(C31_T20_R07) = 2 * GB3 (C10_T04_R16) = 4 * GB3 (C19_T13_R04)(C25_T16_R01)(C36_T23_R13) = 4 * GB3 (C20_T11_R02)(C29_T19_R04)(C31_T20_R07)56節(jié)課(C03_T02_R18)(C13_T10_R04)(C27_T17_R06)(C39_T25_R12)(C02_T03_R18) = 2 * GB3 (C09_T06_R17)(C22_T16_R16)(C26_T19_R10)(C36_T08_R13)(C03_T02_R18)(C13_T10_R04)(C

17、27_T17_R06)(C32_T22_R16)(C02_T03_R18) = 2 * GB3 (C09_T06_R17)(C22_T16_R16)(C39_T25_R12)(C03_T02_R18)(C13_T10_R04)(C28_T17_R06)(C36_T08_R13)78節(jié)課(C14_T09_R18) = 4 * GB3 (C17_T11_R08)(C24_T15_R09)(C28_T18_R06)(C05_T03_R08) = 2 * GB3 (C06_T05_R02)(C35_T21_R07)(C40_T23_R12)(C15_T08_R18) = 4 * GB3 (C17_T1

18、1_R08)(C24_T15_R09)(C30_T18_R06)(C05_T03_R08) = 2 * GB3 (C06_T05_R02)(C35_T21_R07)(C40_T23_R12)(C15_T08_R18)(C24_T15_R09)(C30_T18_R06)表2.雙周課表星期一星期二星期三星期四星期五12節(jié)課(C01_T01_R04)(C11_T07_R08) = 4 * GB3 (C18_T12_R02)(C37_T24_R13) = 2 * GB3 (C07_T04_R04) = 4 * GB3 (C16_T13_R16)(C34_T22_R01)(C01_T01_R04)(C1

19、1_T07_R08) = 4 * GB3 (C18_T12_R02)(C21_T14_R18) = 2 * GB3 (C07_T04_R04) = 4 * GB3 (C16_T13_R16)(C34_T22_R01)(C37_T24_R13) = 2 * GB3 (C08_T06_R18)(C11_T07_R08) = 4 * GB3 (C18_T12_R02)(C21_T14_R17)34節(jié)課(C04_T01_R04)(C12_T09_R02)(C31_T20_R07)(C38_T25_R13) = 2 * GB3 (C10_T04_R16) = 4 * GB3 (C19_T13_R04)(

20、C25_T16_R01)(C33_T21_R08)(C04_T01_R04)(C12_T09_R02)(C23_T14_R18)(C29_T19_R10)(C31_T20_R07) = 4 * GB3 (C19_T13_R04)(C25_T16_R01)(C36_T23_R13)(C33_T21_R08) = 4 * GB3 (C20_T11_R02)(C29_T19_R04)(C31_T20_R07)(C23_T14_R18)56節(jié)課(C03_T02_R18)(C13_T10_R04)(C27_T17_R06)(C39_T25_R12)(C02_T03_R18) = 2 * GB3 (C09

21、_T06_R17)(C22_T16_R16)(C26_T19_R10)(C36_T08_R13)(C03_T02_R18)(C13_T10_R04)(C27_T17_R06)(C32_T22_R16)(C02_T03_R18) = 2 * GB3 (C09_T06_R17)(C22_T16_R16)(C39_T25_R12)(C26_T19_R10)(C03_T02_R18)(C13_T10_R04)(C28_T17_R06)(C36_T08_R13)78節(jié)課(C14_T09_R18) = 4 * GB3 (C17_T11_R08)(C24_T15_R09)(C28_T18_R06)(C05_

22、T03_R08) = 2 * GB3 (C06_T05_R02)(C35_T21_R07)(C40_T23_R12) = 4 * GB3 (C17_T11_R08)(C24_T15_R09)(C30_T18_R06) = 2 * GB3 (C06_T05_R02)(C35_T21_R07)(C40_T23_R12)(C15_T08_R18)(C24_T15_R09)(C30_T18_R06) 表3.教師任課檢驗(yàn)教師編號能勝任課程類別周最大課時(shí)數(shù)對教室類別要求實(shí)際上課數(shù)需要補(bǔ)課數(shù)需要補(bǔ)課數(shù)超出周最大課時(shí)數(shù)的比例T011，84多媒體教室或機(jī)房840.5T0214普通教室62T0316普通教室71T

23、0424多媒體教室730.T0524普通教室40T0626普通教室60T0734普通教室620.T083，83普通教室或機(jī)房3+44T0934普通教室62T1036多媒體教室60T1148普通教室800.T1244普通教室40T1346多媒體教室82T1452普通教室751.T155，83普通教室或機(jī)房63T1654普通教室84T1764普通教室620.T1866普通教室60T1964多媒體教室73T2074普通教室620.3125T2176普通教室71T2276多媒體教室82T233，84普通教室或機(jī)房0+620.T244，86普通教室或機(jī)房0+60T256，84普通教室或機(jī)房0+62總體的

24、比為 0.因?yàn)榭傮w的超出約為0.4,所以大概需46個(gè)學(xué)時(shí).若教師的周均最大的課時(shí)數(shù)為6,則需要在聘請8位教師.則由上的比例可算出,課程類別1,2,3,4,5,6,7,8,分別需在請1,1,1,0,2,1,1,1.位教師,聘請后,每類課程所需的教師的課時(shí)基本滿足.(三)模型的優(yōu)化 重排原理我們看到對于許多問題，在進(jìn)行搜索試探時(shí)選取集合si的順序是任意的這就提示我們：在其他條件相當(dāng)?shù)那疤嵯?，讓元素個(gè)數(shù)最少的si優(yōu)先將更為有效從圖1所示的同一問題的2棵不同的狀態(tài)空間樹，可以體會這種策略的潛力在圖1(a)中，若從第1層消去1個(gè)結(jié)點(diǎn)，則從所有應(yīng)當(dāng)考慮的3元組中一次消去l2個(gè)3元組對于圖1(b)，若同樣是

25、從第1層消去1個(gè)結(jié)點(diǎn)，卻只從應(yīng)當(dāng)考慮的3元組中消去8個(gè)3元組前者的效果明顯比后者好 動態(tài)約束函數(shù)在大多數(shù)的回溯算法中，約束條件是隨著搜索過程的深入而逐漸加強(qiáng)的我們希望將約束條件的變化也加以考慮，以此提高算法的效率圖1 同一問題的2個(gè)不同狀態(tài)空間樹六、模型的檢驗(yàn) 把附錄中編號為COI到C40四十門課程，編號為T01到T25的二十五名教師，編號為R01到R18的十八間教室代入模塊五所建立的模型中，得到結(jié)果如上述表1、2、3所示，基本符合題目中教師聘用、教室配置合理、學(xué)生上課課程安排合理等要求。 七、模型的應(yīng)用與推廣本模型實(shí)用性強(qiáng)，可根據(jù)學(xué)校不同的教學(xué)層次要求選擇相應(yīng)的模型，只需改變課時(shí)約束條件就可

26、求解。學(xué)?？衫么四Ｐ停焖俚脑O(shè)計(jì)出較好的課程表。排課模型的建立很好地減少了教務(wù)系統(tǒng)排課的工作量，提高了工作效率。對教師資源做到最合理的應(yīng)用。適合于在不同層次級別的學(xué)校推廣。八、模型的評價(jià)與改進(jìn)本模型的優(yōu)缺點(diǎn)：本模型先通過分析構(gòu)建出五維空間向量和列出線性方程，利用matlab模擬求解結(jié)果，使得結(jié)果的正確性和可信度高；通過構(gòu)建五維的數(shù)組，使得問題的分析簡單清晰；模型的建立雖然綜合考慮了很多因素，但為了建立模型，理想化了許多影響因素，這使得模型具有一定的局限性，得到的最優(yōu)化方案可能與實(shí)際情況有一定的出入。本模型可以推廣到考慮多個(gè)老師，多個(gè)教師，多個(gè)課程，多個(gè)班的時(shí)候的情況。在解題過程中變量多，條件

27、多，過程比較麻煩，對于數(shù)據(jù)量大的實(shí)際問題解決起來繁瑣。九、參考文獻(xiàn)1 姜啟源、謝金星、葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2003.82 薛定宇、陳陽泉，高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的MATLAB求解，北京：清華大學(xué)出版社，2004.83 趙靜、但 琦,數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn), 北京：高等教育出版社,2008.14 吳金榮關(guān)于大學(xué)課程表問題的研究J運(yùn)籌與管理。2002(6)5 吳金榮求解課程表問題的分支定界法J運(yùn)籌與管理，2002(1) 6 邵維忠, 楊芙清 面向?qū)ο蟮南到y(tǒng)分析M . 北京: 清華大學(xué)出版社, 1998 7 周建新, 王科俊, 王文武 課表編排專家系統(tǒng) J . 計(jì)算機(jī)應(yīng)用, 2000( 5)

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