CH174泰勒公式與極值問(wèn)題課件

1、1一、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè) z = f (x , y)在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z = f ( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù) .按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):第1頁(yè)，共64頁(yè)。2類(lèi)似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z = f (x , y) 關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為z = f (x , y) 關(guān)于 x 的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù) , 再關(guān)于 y 的一階偏導(dǎo)數(shù)為第2頁(yè)，共64頁(yè)。3例1. 求函數(shù)解 :注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及 第3頁(yè)，共64頁(yè)。4例如,二者不等第4頁(yè)，共64頁(yè)。5例2. 證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性 , 有方程第5頁(yè)，

2、共64頁(yè)。6則定理.例如, 對(duì)三元函數(shù) u = f (x , y , z) ,說(shuō)明:本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)時(shí), 有而初等第6頁(yè)，共64頁(yè)。7證:令則則定理.令第7頁(yè)，共64頁(yè)。8同樣在點(diǎn)連續(xù),得第8頁(yè)，共64頁(yè)。9為簡(jiǎn)便起見(jiàn) , 引入記號(hào)例3. 設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解: 令則第9頁(yè)，共64頁(yè)。10例4: 已知解:第10頁(yè)，共64頁(yè)。11二、中值定理與泰勒公式一元函數(shù)的泰勒公式:推廣多元函數(shù)泰勒公式 第1

3、1頁(yè)，共64頁(yè)。12記號(hào)(設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)): 一般地, 表示表示第12頁(yè)，共64頁(yè)。13定理1.的某一鄰域內(nèi)有直到 n + 1 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,為此鄰域內(nèi)任 一點(diǎn), 則有其中 稱為f 在點(diǎn)(x0 , y0 )的 n 階泰勒公式,稱為其拉格朗日型余項(xiàng) .第13頁(yè)，共64頁(yè)。14證: 令則 利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得: 第14頁(yè)，共64頁(yè)。15一般地, 由 的麥克勞林公式, 得 將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式. 第15頁(yè)，共64頁(yè)。16說(shuō)明:(1) 余項(xiàng)估計(jì)式. 因 f 的各 n+1 階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 在某閉鄰域其絕對(duì)值必有上界 M , 則有第16頁(yè)，共64頁(yè)。17(2)式中若只要

4、求的某一鄰域內(nèi)有直到 n 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,便有第17頁(yè)，共64頁(yè)。18(3) 當(dāng) n = 0 時(shí), 得二元函數(shù)在凸域上的拉格朗日中值公式:(4) 若函數(shù)在區(qū)域D 上的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零, 由中值公式可知在該區(qū)域上 見(jiàn)教材P133-TH17.8(中值定理),凸域概念介紹.并注意與P112-TH17.3比較第18頁(yè)，共64頁(yè)。19例1. 求函數(shù)解: 的三階泰勒公式. 因此,第19頁(yè)，共64頁(yè)。20其中第20頁(yè)，共64頁(yè)。21回顧一元函數(shù)極值概念及存在條件(必要,充分).三、極值問(wèn)題 第21頁(yè)，共64頁(yè)。22實(shí)例：某商店賣(mài)兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估計(jì)，如

5、果本地牌子的每瓶賣(mài) 元，外地牌子的每瓶賣(mài) 元，則每天可賣(mài)出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁.問(wèn)：店主每天以什么價(jià)格賣(mài)兩種牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益為求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.問(wèn)題的提出第22頁(yè)，共64頁(yè)。231、 多元函數(shù)的極值概念 及必要條件定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無(wú)極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有第23頁(yè)，共64頁(yè)。24說(shuō)明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) . 例如,定理1 (必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值

6、的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 ,則有存在故第24頁(yè)，共64頁(yè)。252、極值充分條件定理2 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且若函數(shù)令則(1)當(dāng)是正定矩陣時(shí), f 在 P0具有極小值;(2)當(dāng)是負(fù)定矩陣時(shí), f 在 P0具有極大值;(3)當(dāng)是不定矩陣時(shí), f 在 P0不取極值.第25頁(yè)，共64頁(yè)。26證明:的2 階泰勒公式令(1)是正定矩陣時(shí),恒有對(duì)于是存在q0(P137注)使得第26頁(yè)，共64頁(yè)。27從而對(duì)充分小的,只要,就有所以f 在 P0具有極小值;(2)是負(fù)定矩陣時(shí)

7、,同理可證.(3)當(dāng)是不定矩陣時(shí), f 在 P0不取極值.(反證法)若f 在 P0取極值,不妨設(shè)取極大值,易知沿任意過(guò)P0直線第27頁(yè)，共64頁(yè)。28在 t=0 亦取極大值,故而故是負(fù)半定矩陣.這與是不定矩陣矛盾!f 在 P0不取極值.第28頁(yè)，共64頁(yè)。29時(shí), 具有極值的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A 0 時(shí)取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時(shí), 沒(méi)有極值.時(shí), 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)定理2 (充分條件) 第29頁(yè)，共64頁(yè)。30證: 由二元函數(shù)的泰勒公式, 并注意則有所以第30頁(yè)，共64頁(yè)。31其中 , , 是當(dāng)h 0 , k 0 時(shí)的無(wú)窮小量 ,于是(1) 當(dāng) A

8、CB2 0 時(shí), 必有 A0 , 且 A 與C 同號(hào), 可見(jiàn) ,從而z0 , 因此第31頁(yè)，共64頁(yè)。32從而 z0,(2) 當(dāng) ACB2 0 時(shí), 若A , C不全為零, 無(wú)妨設(shè) A0, 則 時(shí), 有異號(hào);同號(hào).可見(jiàn) z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù), 第32頁(yè)，共64頁(yè)。33+若 AC 0 , 則必有 B0 ,不妨設(shè) B0 ,此時(shí) 可見(jiàn) z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù), (3) 當(dāng)ACB2 0 時(shí), 若 A0,則若 A0 ,則 B0 ,為零或非零第33頁(yè)，共64頁(yè)。34此時(shí)因此 不能斷定 (x0 , y0) 是否為極值點(diǎn) . 第34頁(yè)，共64頁(yè)。35例1.求函數(shù)解: 第一

9、步 求駐點(diǎn).得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)第35頁(yè)，共64頁(yè)。36在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;第36頁(yè)，共64頁(yè)。37例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能為第37頁(yè)，共64頁(yè)。383、最值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)

10、邊界上的最值點(diǎn)特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個(gè)極值點(diǎn)P 時(shí), 為極小 值為最小 值(大)(大)依據(jù)第38頁(yè)，共64頁(yè)。39解:如圖,第39頁(yè)，共64頁(yè)。40第40頁(yè)，共64頁(yè)。41第41頁(yè)，共64頁(yè)。42解由第42頁(yè)，共64頁(yè)。43無(wú)條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無(wú)其他條件.第43頁(yè)，共64頁(yè)。44例5.解: 設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水箱問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí), 才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí), 水箱

11、所用材料最省.第44頁(yè)，共64頁(yè)。454.最小二乘法問(wèn)題的提出:已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求它們的近似函數(shù)關(guān)系 yf (x) .需要解決兩個(gè)問(wèn)題: 1. 確定近似函數(shù)的類(lèi)型 根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布規(guī)律 根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景2. 確定近似函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有誤差,不能要求第45頁(yè)，共64頁(yè)。46 偏差有正有負(fù), 值都較小且便于計(jì)算, 可由偏差平方和最小 為使所有偏差的絕對(duì)來(lái)確定近似函數(shù) f (x) .最小二乘法原理:設(shè)有一列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布在某條曲線上,通過(guò)偏差平方和最小求該曲線的方法稱為最小二乘法,找出的函數(shù)關(guān)系稱為經(jīng)驗(yàn)公式 ., 它們大體 第46頁(yè)，共64頁(yè)。47特別, 當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布近似一條直線時(shí),問(wèn)題為確定

12、a, b 令滿足:使得解此線性方程組即得 a, b稱為法方程組第47頁(yè)，共64頁(yè)。48例1.為了測(cè)定刀具的磨損速度, 每隔 1 小時(shí)測(cè)一次刀具的厚度, 得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:找出一個(gè)能使上述數(shù)據(jù)大體適合的經(jīng)驗(yàn)公式. 解: 通過(guò)在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)可看出它們大致在一條直線上,列表計(jì)算:故可設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7第48頁(yè)，共64頁(yè)。49得法方程組解得 故所求經(jīng)驗(yàn)公式為0 0 27.0 07 49 24.8 137.628 140 208.5 717.0為衡量上述經(jīng)驗(yàn)公式的優(yōu)劣,

13、計(jì)算各點(diǎn)偏差如下: 第49頁(yè)，共64頁(yè)。50稱為均方誤差, 對(duì)本題均方誤差它在一定程度上反映了經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的好壞. 偏差平方和為27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 727.125 26.518 25.911 25.30326.821 26.214 25.607 25.000 0.125 0.018 0.189 0.0030.021 0.086 0.093 0.200 第50頁(yè)，共64頁(yè)。51例2. 在研究某單分子化學(xué)反應(yīng)速度時(shí), 得到下列數(shù)據(jù):57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5 3 6 9 12 15 18 21 241 2 3 4 5 6 7 8其中 表示從實(shí)驗(yàn)開(kāi)始算起的時(shí)間, y 表示時(shí)刻 反應(yīng) 物的量. 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)定出經(jīng)驗(yàn)公式解:由化學(xué)反應(yīng)速度的理論知, 經(jīng)驗(yàn)公式應(yīng)取其中k , m 為待定常數(shù).對(duì)其取對(duì)數(shù)得(線性函數(shù))(書(shū)中取的是常用對(duì)數(shù))第51頁(yè)，共64頁(yè)。52因此 a , b 應(yīng)滿足法方程組: 經(jīng)計(jì)算得 解得: 所求經(jīng)驗(yàn)公式為其均方誤差為第52頁(yè)，共64頁(yè)。53觀測(cè)數(shù)據(jù):用最小二乘法確定a, b 通