三角函數(shù)基本概念和表示

1、第三章三角函數(shù)第一節(jié)三角函數(shù)及概念復(fù)習(xí)要求：.任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化；.三角函數(shù)(1)借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義；(2)借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式。知識點(diǎn)：.任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。一條射線由原來的位置，繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止B位置，就形成角。旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線叫做角的始邊，叫終邊，射O 線的端點(diǎn)叫做叫的頂點(diǎn)。.角的分類為了區(qū)別起見，我們規(guī)定：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它為零

2、角。.象限角角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊(除端點(diǎn)外)落在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角。12k2k -, k Z(1)第一象限角的集合：2(2)第二象限的集合：。(3)第三象限角的集合：。(4)第四象限角的集合：.軸線角角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合。若角的終邊落在坐標(biāo)軸上， 稱這個(gè)角為軸線角。它不屬于任何象限,也稱為非象限角。.終邊相同的角所有與角 終邊相同的角連同角在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合，稱之為終邊相同的角。記為：S |k 360k Z或S | 2k ,k Z。它們彼此相差 2k (k z),根據(jù)三角函數(shù)的定義知，終邊相同的角的各種三角

3、函數(shù)值都相等。6.區(qū)間角區(qū)間角是指介于兩個(gè)角之間的所有角，如_ 5_66, 67,角度制與弧度制1角度制：規(guī)定周角的360為1度的角，記作10,它不會因圓的大小改變而改變，與無關(guān)弧度制：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作irad或1弧度或1(單位可以省略不寫)。角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如 -冗，-2冗等等，一般地,正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。.角的度量rad(1)角的度量制有：角度制，弧度制(2)換算關(guān)系：角度制與弧度制的換算主要抓住 180o001orad 0.01745(rad)

4、 1rad(180)0 57.30o360o 2 , 180o rad ,180,(3)特殊角的弧度度0030o45o60390o120o135150o180o270o360o弧度.弧度數(shù)計(jì)算公式在半徑為r的圓中，弧長1所對的圓心角的弧度數(shù)為| | =.弧長公式與扇形面積公式角度制弧度制弧長公式n rl 一180l | | r扇形面積2S 360S -l r - | | r222(是圓心角的弧度數(shù)).三角函數(shù)定義在直角坐標(biāo)系中，設(shè) 是一個(gè)任意角，在 的終邊上任取一點(diǎn)P(x,y),它與 原點(diǎn)的距離r ,則r | OP | Jx2 y2 0 .過作軸的垂線，垂足為，則線段OM的長 度為x ,線段M

5、P的長度為y .把：比值y叫做正弦，即sinMPy.rOPr比值X叫做余弦，即cosOMXrOPr比值y叫做正切，即tanMPyxOMx利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則：(1)叫做的正弦，記做，即；(2)叫做的余弦，記做，即；叫做的正切，記做，即。x.三角函數(shù)在各象限的符號：是根據(jù)三角函數(shù)的定義和各象限內(nèi)坐標(biāo)的符號推 出的口決：一全正，二正三切四余.三角函數(shù)線以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長度1為半徑畫圓，這個(gè)圓就叫做單位圓(注意： 這個(gè)單位長度不一定就是1厘米或1米)。設(shè)單位圓與角 的終邊的交點(diǎn)P(x, y), 過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，過單位圓與x軸的非負(fù)半軸交

6、點(diǎn)A作單位圓的切線與角 的 終邊(或延長線)交于點(diǎn)T。根據(jù)三角函數(shù)的定義：sin MP y, cos OM x , tan AT。我們把有向線段，分別叫做角 的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示 方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時(shí)，十分方便。補(bǔ)充：特殊角的三角函數(shù)值:0643232sin010-1cos10-10tan01不存在0不存在cot不存在10不存在0經(jīng)典例題例1寫出終邊在軸上的角的集合解：終邊在軸上的角的集合是 例2已知是第三象限角，則是第幾象限角？答案：第一，第三，第四

7、象限例3. (1)若sin cos 。則在第 象限。sin2 ,cos2 ,sin- ,cos- ,tan (2)若 是第二象限角，則222中能確定為正值的有個(gè)。答案:(1)二、四象限(2)為第三第四象限，為第一，第三象限，所以為 1個(gè)例4已知角 的終邊上一點(diǎn)P (-4m,3m),且m0求 的四個(gè)三角函數(shù)值 答案：例5已知一扇形的中心角是，所在圓的半徑為R,若60o，R 10cm,求扇形的弧長及該弧所在弓形面積答案：所以面積：基礎(chǔ)練習(xí)題：1,若角則角是第象限角()A 1 B 2 C 3 D 42,是的()A充分不必要B 必要不充分C充分必要D既不充分也不必要3,已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-1 ,

8、2),則()A B C D第二節(jié)三角函數(shù)的基本公式復(fù)習(xí)要求：1,理解同角三角函數(shù)的關(guān)系2,能正確運(yùn)用同角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行三角函數(shù)的化簡求值3,能正確運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式4,理解二倍角的三角函數(shù)知識點(diǎn)：一、任意角的三角函數(shù) TOC o 1-5 h z 22在角 的終邊上任取一點(diǎn)P(x，y)，記：r 、x y ,yx正弦: HYPERLINK l bookmark19 o Current Document sin cos 一余弦:tanycot正切：x余切：secrcsc正割：x余割：y r y注：我們還可以用單位圓中的有向線段表示任意角的三角函數(shù)： 如圖，與單位圓有關(guān)的有向線段

9、MP、OM、AT分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線。倒數(shù)關(guān)系：sincsc 1 cos商數(shù)關(guān)系：tansin一 cot cos平方關(guān)系：. 2 sincos211同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sec 1 tan cot 10cossin 0,22/, 22tan sec 1 cot csc三、誘導(dǎo)公式 2k （k Z）、2的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號。（口訣：函數(shù)名不變,符號看象限）_332 、2、 2、 2的三角函數(shù)值，等于 的異名函數(shù)值，前面 加上一個(gè)把 看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號。（口訣：函數(shù)名改變，符號看象限）四、和角公式和差角公式sin(sincos

10、cossinsin(sincoscossincos(coscossinsincos(coscossinsintan(tantan1 tan tantan(tan tan1 tan tan五、二倍角公式sin 22sin coscos22. 22cos sin 2 costan22 tan1 tan2二倍角的余弦公式（）有以下常用變形:（規(guī)律：降幕擴(kuò)角，升幕縮角）1 cos222coscos22sin21 sin 2(sin、2 cos )sin2(sin cos)22 coscos222 sin1 sin 22tan1 cos2sin 2sin 21 cos2 0六、萬能公式（可以理解為二倍角

11、公式的另一種形式）一2-.c 2 tan_1 tan ,八 2 tansin 2= cos2 2tan 221 tan1 tan1 tan萬能公式告訴我們，單角的三角函數(shù)都可以用半角的正切來表示。七、和差化積公式sin sin 2 sincos 22sin sin 2 cossin22cos cos 2 coscos22cos cos 2sin 2sin2 了解和差化積公式的推導(dǎo),有助于我們理解并掌握好公式:sin sin 2sincos22cossin22sin sin 2sincos22cossin22兩式相加可得公式，兩式相減可得公式。cos cos 2 coscos222sinsin22cos cos 2 coscos222sinsin22兩式相加可得公式，兩式相減可得公式。八、積化和差公式sincoscossincoscossinsin1 /一 sin(21一 sin(21一 cos(21,一 cos(2sin(sin(cos()cos(我們可以把積化和差公式看成是和差化積公式的逆應(yīng)用。九、輔助角公式a sin x bcosx TOC o 1-5 h z 2. 2 , /、a b sin(x)() 其中：角