解函數(shù)方程的幾種方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)緒論在數(shù)學(xué)研究的許多領(lǐng)域中如代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、概率論等都涉及函數(shù)方程問題，在計算機科學(xué)中迭代理論和方法也涉及函數(shù)方程問題，在航空技術(shù)、遙感技術(shù)、經(jīng)濟學(xué)理論、心理學(xué)理論等諸多方面也提出了許多函數(shù)方程模型.函數(shù)方程因此一直受到廣泛關(guān)注，是當(dāng)今數(shù)學(xué)研究的一個十分重要的課題.由于函數(shù)方程形式多樣，涉及面廣，難度大，需要大量的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識.尤其是在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)方程是最基本、最易出現(xiàn)的問題，也是歷年高考的重點.在中學(xué)教學(xué)和國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽中，經(jīng)常遇到函數(shù)方程問題.這類題目一般是

2、求解某一給定的函數(shù)方程，而數(shù)學(xué)上尚無一般方法可循.當(dāng)然，較大一部分中學(xué)生在遇到這類問題時，常常沒有比較清晰的解題思路.本文就著重以函數(shù)與方程的性質(zhì)來討論函數(shù)方程在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，及解決問題的途徑，并通過實際問題的求解過程來闡述.首先，我們會給出函數(shù)方程的相關(guān)概念包括函數(shù)方程的定義、函數(shù)方程的解以及解函數(shù)方程. 其次，利用函數(shù)與方程的基本性質(zhì)，就中學(xué)數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的方法進行歸納并結(jié)合相應(yīng)的例題解析.當(dāng)然由于中學(xué)數(shù)學(xué)中考查點的不同，我們的討論也有所側(cè)重.對常見的方法包括換元法（代換法）、賦值法、迭代周期法（遞推法）、待定系數(shù)法等均會加重筆墨，尤其會給出一些較為典型的例題分析以及巧解的方法，而對于不

3、常用的方法本文也會提到，以讓讀者了解到比較前全面的函數(shù)方程問題的解題策略.最后，就種種方法進行總結(jié)歸納.“法無定法”，關(guān)鍵在于人們對問題的觀察、分析，進而選擇最優(yōu)的方法來解決問題.很多情況下，由于解決的途徑并不唯一，所以在解決問題的時候一般采用多種方法同步求解，以達到簡化求解過程的目的.1 函數(shù)方程的一些相關(guān)概念1.1函數(shù)方程的定義含有未知函數(shù)的等式叫做函數(shù)方程.如，等，其中即是未知函數(shù).1.2 函數(shù)方程的解設(shè)某一函數(shù)對自變量在其定義域內(nèi)的所有值均滿足某已知方程，那么把就叫做已知函數(shù)方程的解.即能使函數(shù)方程成立的就叫做函數(shù)方程的解.函數(shù)方程的解可能是一個函數(shù)，也可能是若干個函數(shù)或無窮多個函數(shù)或

4、無解.如偶函數(shù)、奇函數(shù)、分別是上述各方程的解.1.3 解函數(shù)方程求函數(shù)方程的解或證明函數(shù)方程無解的過程就稱為解函數(shù)方程.即指的是在不給出具體函數(shù)形式，只給出函數(shù)的一些性質(zhì)和一些關(guān)系式而要確定這個函數(shù)，或求出某些函數(shù)值，或證明這個函數(shù)所具有的其他性質(zhì).2 函數(shù)方程的常見解法 由于函數(shù)與方程的性質(zhì)極多，解題的方法也形式多樣，出現(xiàn)較為頻繁的有換元法（代換法）、賦值法、迭代周期法（遞推法）、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法等等.2.1 換元法（代換法）換元法又叫代換法或引進輔助未知數(shù)法或定義法.將函數(shù)方程中的自變量適當(dāng)?shù)匾詣e的自變量代換（代換時應(yīng)注意使函數(shù)的定義域不發(fā)生變化），得到一個新的較為簡單的函數(shù)方程，然

5、后直接求解未知函數(shù).但值得注意的是，某些換元會導(dǎo)致函數(shù)的定義域發(fā)生變化，這時就需要進行驗證換元的可行性.例 2.1 已知,求.分析 此題是一個最基本的函數(shù)方程問題，要求解函數(shù)的表達式，就需要將和進行轉(zhuǎn)化.當(dāng)然，我們可以先用換元法把,用代替，消去,，就得到一個關(guān)于的解析式，再用替代，于是得解.但這里我們還給出了另外的解法，就是用的參數(shù)表達式進行求解.解法一 令,所以 ，因為,所以,即.又因為,所以，故 ，.解法二 設(shè)所求函數(shù)的參數(shù)表達式 ，即得 ， （1） . （2），消去參數(shù)，得，整理，得 ，,，即 ,. 在本題中，由于三角函數(shù)可以相互轉(zhuǎn)化，很容易看出與之間的聯(lián)系，然后直接利用換元法進行轉(zhuǎn)化，

6、但考慮到（或）的定義域，這個環(huán)節(jié)一般容易出錯.故一般采用后面介紹的參數(shù)法相對來說也就簡單多了.2.2 賦值法 賦值和代換是確定適合函數(shù)方程的函數(shù)性質(zhì)的基本方法，根據(jù)所給條件，在函數(shù)定義域內(nèi)賦與變量一個或幾個特殊值，使方程化繁為簡，從而使問題獲解.例 2.2.1 函數(shù)（為非負整數(shù)），滿足：（i） 對任意非負整數(shù)，有；（ii） 對任意，有.求的值. 分析 本題欲求的值，則須了解有什么性質(zhì).由條件（i）、（ii）可以聯(lián)想到的取值是本題的關(guān)鍵，而分別利用條件（i）、（ii）進行推導(dǎo)，并結(jié)合反證法推出矛盾，得到的唯一值，進而得解. 解 令，其中為非負整數(shù).由(ii)得 . （1）若，則 ，矛盾.故，由（

7、i）有 . （2）若，則，于是由（i），得 ， （3）但（2）與（3）矛盾，故是惟一解.當(dāng)時，式（1）為 ，此函數(shù)滿足條件（i）、（ii），所以得惟一解. 例 2.2.2 解函數(shù)方程.分析 此題是函數(shù)方程里較為典型的一個問題，在很多文章中都有提到.本題中方程含有兩個未知數(shù)，對于一個方程，首先想到的就是消元，考慮到三角函數(shù)的特殊性質(zhì)，可用一些比較特殊的值分別去代換，再求得的表達式.解 在原方程中令,得， （1）再令,得 ， （2）又再令,得 ， （3）（1）+（2）-（3）得.令，并將換成得,（,均為任意常數(shù)）.代入（1）式驗證.所以是函數(shù)方程（1）的解. 賦值法是很特殊的一種方法，首先它考驗人

8、們的“眼力”，即根據(jù)所給出的式子找出其規(guī)律；其次，就是“筆力”即計算方面的能力，所賦的值即某些特殊值要有助于解題；最后，不難看出賦值法其實就是與代換法、消元法等方法相結(jié)合的一種方法.如例2.2.1就是賦值法與反證法相結(jié)合，例2.2.2是賦值法、代換法、消元法結(jié)合的典型.2.3迭代周期法（遞推法） 函數(shù)迭代是一類特殊的函數(shù)復(fù)合形式.一般由函數(shù)方程找出函數(shù)值之間的關(guān)系，通過n次迭代得到函數(shù)方程的解法.例2.3.1 對任意正整數(shù)，令定義為的各位數(shù)字和的平方，求.分析 本題是迭代的簡單運用題，由“定義為的各位數(shù)字和的平方”入手，可以找出11與函數(shù)方程以及函數(shù)值之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)列相關(guān)知識通過次迭代從而

9、求解.解 由已知有 ，從而當(dāng)為大于3的奇數(shù)時，當(dāng)為大于3的偶數(shù)時，故. 例2.3.2 設(shè)定義在自然數(shù)集上，且對任意，都滿足,，求.解 令,得，再依次令, ,有 ， ， ， ，依次代入，得，所以 ，. 前面的例2.3.1僅是迭代的入門題，可以直接根據(jù)函數(shù)方程找出函數(shù)值之間的關(guān)系，然后通過次迭代進行求解.而在迭代問題中，很大一部分題目并不是僅借助迭代的思想來解決的，而是綜合所學(xué)知識進行求解.如例4.2就是賦予一些特殊值，再利用遞推法簡化問題，從而求解.2.4待定系數(shù)法 待定系數(shù)法適用于所求函數(shù)是多項式的情形，且已知所求函數(shù)解析式的類型，可先設(shè)出一個含有特定系數(shù)的代數(shù)式，然后利用恒等式的性質(zhì)，或?qū)⒁?/p>

10、知條件代入，建立方程（組），通過解方程（組）而求出待定系數(shù)的值，或者消除這些待定系數(shù)，使問題得以解決.例 2.4.1 已知是一次函數(shù)，且,求.解 因為是一次函數(shù)，不妨設(shè)，又因為，所以 ,即，于是有 ， .解這個方程組得 ，或者 ， ， .所以或.本題考慮到是一次函數(shù)，故可設(shè)出的一般形式，再由條件代入進而對應(yīng)求出,.這屬于較簡單的待定系數(shù)法應(yīng)用，而對于關(guān)系有很多次的就另當(dāng)別論了. 例 2.4.2 已知是一次函數(shù)，且10次迭代，求.分析 觀察本題，是一次函數(shù)且函數(shù)方程是一個10次迭代的方程，要怎樣進行思考呢？只能依據(jù)題中最基本的條件進行解決，故而給出如下解法：解 設(shè)，則 ， ， .因為 ，所以，

11、.解方程組得 ，或,.故所求的一次函數(shù)為 或. 觀察題中條件，問題的難度比例2.4.1的增加了許多，這又怎么做呢？萬變不離其宗，仍采用待定系數(shù)法進而找出規(guī)律，并結(jié)合等比數(shù)列相關(guān)性質(zhì)而求得,，但要注意解決這類問題時千萬不要漏根.2.5 數(shù)學(xué)歸納法 數(shù)學(xué)歸納法主要適用于定義域是正整數(shù)的函數(shù)方程，其解題方法是通過對,的具體計算，加以概括抽象，提出對的解析式的一個猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法對猜想進行證明.根據(jù)已知條件，首先運用賦值法求出函數(shù)在某些點的特殊值，再猜想的表達式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明此猜想.例 2.5.1 函數(shù)的定義域為正整數(shù)集，值域為非負整數(shù)集，所有正整數(shù),滿足或1; , ,求.解 由或1，而

12、，所以，由或1，得或1，因為，所以，同理，可推得， 已知，猜想,.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.（1）由上可知，,時，結(jié)論成立.（2）假設(shè)對小于的一切自然數(shù)，結(jié)論成立.則 ，即 ，如果，則 ，與題設(shè)矛盾，所以，顯然，有.若，則，與題設(shè)矛盾.所以. 例 2.5.2 已知，求.解 由，因此有， ，猜想.下面用歸納法證明.（1）顯然時，猜想成立.（2）假設(shè)對成立，即，則 .綜合（1）、（2），對任意，有.數(shù)學(xué)歸納法一般適用于證明題，但有時候不排除這類找規(guī)律、猜想進而證明猜想的問題.遇到這種問題的時候，首先要找準(zhǔn)規(guī)律，證明起來也就會很輕松了.2.6數(shù)列法 利用等比、等差數(shù)列相關(guān)知識（通項公式、求和求積公式），

13、求定義在N上的函數(shù).例 2.6 已知，且對任意正整數(shù)都有，求.解 在已知等式兩邊都加上1，得，所以.因此，數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，它的第項為 ，故.熟悉等差、等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)如公差（比）、求和公式等，運用起來解決本題就會感到得心應(yīng)手.2.7 反證法 反證法在數(shù)學(xué)上使用得相當(dāng)普遍，即一些問題從正面直接證明有困難，而它的結(jié)論的相反結(jié)論比原結(jié)論更具體，更明確，易于導(dǎo)出矛盾，這時一般采用反證法.先從已知條件中得出滿足函數(shù)方程的一些特殊解，然后再用反證法證明除了這些解以外無其他解.例 2.7 設(shè):,是連續(xù)函數(shù)，若對，,有 . （1）證明此函數(shù)方程無解.證明 在（1）中取，得，取，得，再取，得

14、.從而有，即.在（1）中取，得，聯(lián)立（1）推出，即.取，,有 ，,， （2）我們知道滿足上面函數(shù)方程的連續(xù)函數(shù)為，.由，知 ，即 .矛盾，所以（1）沒有連續(xù)解. 2.8不等式法 在推導(dǎo)過程中，主要利用不等式,的等式成立的充要條件.例 2.8 設(shè)的定義域為（0，1），且,. （1）若，,且，求.分析 本題給出了函數(shù)的一系列成立的條件，只要依據(jù)條件進行思考就很容易解決了.首先我們知道函數(shù)有一個特殊值，而函數(shù)方程（1）中有兩個未知量，故而解決問題時考慮到消元，并盡量結(jié)合的值來使問題簡化. 解 在（1）式中取，得 ， （2）再在（1）式中取，得 ， （3）把（2）和（3）相加得4 ，所以，即，因為是正

15、的，故,. 3 其它方法前面介紹的幾種方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中比較常見，應(yīng)用起來也得心應(yīng)手.但初等問題何其繁多，解決的途徑也就形式多樣.還有很多其它的方式，由于本文篇幅有限，在此僅給出方法及其概念.如：參數(shù)法、配湊法、通解問題、多項式法以及柯西法等.參數(shù)法即先設(shè)參數(shù)再消去參數(shù)得出函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，而求出.前面在例2.1.1的解法二已經(jīng)就參數(shù)法進行作答，在此我們就不再講解了. 配湊法是根據(jù)函數(shù)的概念、對應(yīng)法則并結(jié)合配方法求解函數(shù)方程的一種基本方法.當(dāng)我們不能利用設(shè)元法求解時，配湊法不失為一種有效的方法，也是應(yīng)用定義的一種方法.前面已經(jīng)介紹了很多求解函數(shù)方程的方法.然而，求一個或若干個解也許容易，如果要求出

16、一個函數(shù)方程的所有解常常遇到困難.這時就是所謂的通解問題.我們知道，只要給出函數(shù)在一個周期內(nèi)的函數(shù)值，則需要將定義域延拓到整個實數(shù)域R上，從而求得的就是相應(yīng)函數(shù)方程的解.例如函數(shù)方程，對以為定義域的任意函數(shù)，都可以得到函數(shù)方程的解， 當(dāng)時； ， 當(dāng)時.其中為整數(shù).當(dāng)函數(shù)方程中的未知函數(shù)是多項式時，就稱為多項式函數(shù)方程.這是函數(shù)方程中較為常見、也較簡單的一類.多項式法就是利用多項式相等的原理，通過比較等式兩邊的次數(shù)、系數(shù)，或通過比較方程的根的個數(shù)來求出多項式函數(shù)方程的解的方法.方程稱之為Cauchy方程，是法國數(shù)學(xué)家Cauchy最早研究并解決的.他的解法是一種逐步擴充其定義域的推理方法，即先在自

17、然數(shù)集上，求其函數(shù)方程應(yīng)具有的形式，然后逐步證明這種解的定義域可擴充到整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)直到實數(shù).這種解題方法后人稱之為Cauchy方法.在單調(diào)（或連續(xù)）的條件下，先將自變量考慮成自然數(shù)求出函數(shù)方的解，然后證明該解的表達式當(dāng)其自變量取成整數(shù)、有理數(shù)及實數(shù)時仍然滿足該函數(shù)方程，從而獲得函數(shù)方程的解.但它受函數(shù)連續(xù)性要求的限制.柯西法在高等數(shù)學(xué)中的使用頻率極高，故在中學(xué)里只需了解就可.結(jié)論由于函數(shù)方程的形式相當(dāng)多，解決的方式也就相對的豐富.尤其是在高等數(shù)學(xué)中，運用微積分解決函數(shù)方程問題就顯得非常簡單了；但在初等解法里，方式方法豐富多樣：換元法（代換法）、賦值法、待定系數(shù)法、迭代周期法（迭代法）、

18、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列法、反證法及不等式法等，都是常見而且易懂的初等解法.但在解決很多問題時，不僅僅使用一種方法，也有幾種方式相結(jié)合而進行的，如：例2.2.2就是換元法與賦值法的結(jié)合，例2.7是賦值法與反證法的結(jié)合.在求解某些問題時，通過構(gòu)造函數(shù)方程，也可以將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)方程分解，從而使問題比較簡化、明了.參考文獻1 張偉年、楊地蓮、鄧圣福.函數(shù)方程M.成都：四川教育出版社，2002,36-72.2 陳剛、陳凌云.函數(shù)方程的初等解法J.綏化師專學(xué)報.1996，第1期：120.3 黃洪琴.函數(shù)方程J.成都教育學(xué)院報.2005，第19卷（6）：117-118.4 畢唐書.全線突破.高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)（理科版）M.北京：中國社會出版社，2005,13.5 陳傳理、張同君.競賽數(shù)學(xué)教程M.第2版.北京：高等教育出版社