零點(diǎn)存在定理的拓廣及其應(yīng)用(圖文)

1、零點(diǎn)存在定理的拓廣及其應(yīng)用(圖文)論文導(dǎo)讀：此文討論了高等數(shù)學(xué)中的閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理的推廣問題，給出了連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在的實(shí)用判斷方法。關(guān)鍵詞：連續(xù)，變號(hào)，點(diǎn)存在定理一、 定理的拓廣在高等數(shù)學(xué)中，有如下關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理：定理1(零點(diǎn)存在定理) 假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且異號(hào)即，那么至少存在一點(diǎn)，使得即方程在內(nèi)至少有一個(gè)根(稱為在內(nèi)的零點(diǎn))【1】.上述定理只是說明了閉區(qū)間上的函數(shù)零點(diǎn)的情況，為應(yīng)用方便,下面我們將其推廣。論文參考網(wǎng)。概念1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義,且存在互異兩點(diǎn),使,那么稱在區(qū)間內(nèi)變號(hào),否那么稱在區(qū)間內(nèi)不變號(hào)定理2 假設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)且變號(hào),那么在區(qū)間內(nèi)

2、至少有一個(gè)零點(diǎn).證: 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)變號(hào),那么存在互異兩點(diǎn),使,不妨設(shè),那么,由定理1知在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).注: 定理2知的優(yōu)點(diǎn)是: 區(qū)間是非常任意的.推論1假設(shè)初等函數(shù)在區(qū)間內(nèi)變號(hào),那么在區(qū)間 至少有一個(gè)零點(diǎn)。推論2假設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)、嚴(yán)格單調(diào)且變號(hào),那么在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).推論3假設(shè)初等函數(shù)在區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)且變號(hào),那么在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性,由高等數(shù)學(xué)【2】知識(shí)易知定理3假設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且其導(dǎo)函數(shù)區(qū)間內(nèi)恒大于零或恒小于零,那么在區(qū)間內(nèi)連續(xù)、嚴(yán)格單調(diào).關(guān)于在區(qū)間內(nèi)是否變號(hào)的判斷方法是多樣的、靈活的，因而一般情況下也是簡單的。例如假設(shè)在某一極限過程中，在另某一極限過程中，那么

3、必有兩點(diǎn),使，【3】，因而有，依是可得如下定理：定理4假設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且，或 ，那么函數(shù)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。論文參考網(wǎng)。證明：(1)假設(shè)，(A為常數(shù))，由極限定義及性質(zhì)【3】可知：假設(shè)，那么同樣，假設(shè)，(B為常數(shù))，那么假設(shè)，那么同樣綜上所述，假設(shè)，那么在區(qū)間內(nèi)變號(hào),又在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，由定理2知數(shù)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。(2) 假設(shè)，(A為常數(shù))，那么假設(shè)，那么同樣，假設(shè)，(B為常數(shù))，那么假設(shè)，那么同樣綜上所述，假設(shè)，那么在區(qū)間內(nèi)變號(hào),又在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，由定理2知數(shù)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。類似定理4的證明，可證明：定理5 假設(shè)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且，或 ，那么在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。論文參考網(wǎng)。定理6假設(shè)在區(qū)間內(nèi)

4、連續(xù)，且，或 ,那么在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。定理7假設(shè)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且，或 ，那么在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。當(dāng)然,我們不難推出更多的判斷定理.二、定理的應(yīng)用將連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理拓廣以后，在實(shí)際中有著很廣泛的應(yīng)用，以下僅舉幾例給予說明：例1：設(shè)為互異實(shí)數(shù),試問方程有多少個(gè)實(shí)根?解 為互異實(shí)數(shù),不妨設(shè)那么是初等函數(shù),其定義域?yàn)樵诙x域內(nèi)即分別在區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少,因?yàn)樗苑謩e在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn).又所以分別在區(qū)間內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程有個(gè)實(shí)根。例2 設(shè)常數(shù)，證明在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)只有一個(gè)負(fù)零點(diǎn).證 首先在內(nèi)連續(xù)，其次，,由定理4知在中至少有一個(gè)零點(diǎn).又故在內(nèi)單調(diào)遞增，因此在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。又,從而知此零點(diǎn)為負(fù)

5、的.例3 證明任一奇次多項(xiàng)式在上至少有一個(gè)零點(diǎn)。證 設(shè)為奇數(shù)，那么所以由定理4知，在至少有一個(gè)零點(diǎn)。例4 設(shè)函數(shù)為常數(shù),且假設(shè)存在點(diǎn)使得,那么稱為的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)【4】,試證明只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).證 函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且即在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加，又，,所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn),即只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).例5 證明方程在中至少有一個(gè)根。證設(shè)，那么在上連續(xù)，且，。由定理5可知，在上至少有一個(gè)零點(diǎn)，即方程在中至少有一個(gè)根。例6 討論方程在內(nèi)根的情況。解 設(shè)，那么，令得。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。從而在內(nèi)分別至多有一個(gè)零點(diǎn)。又， 。故在內(nèi)分別至少有一個(gè)零點(diǎn)。因此在內(nèi)分別有唯一一個(gè)零點(diǎn)，即方程在內(nèi)有且僅有兩個(gè)實(shí)根。參考文獻(xiàn)：【1】 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第六版上冊).北京：高等教育出版社，2007:71.【2】 同濟(jì)大學(xué)