數(shù)學建模答辯知識

1、數(shù)學建模答辯知識目錄一、模型準備二、模型建立與求解（一）問題一（二）問題二（三）問題三（四）問題四三、模型的檢驗四、優(yōu)點與不足之處1.相關概念介紹 太陽時 時間的計量以地球自轉為依據(jù)，地球自轉一周，計24太陽時，當太陽達到正南處為12:00。簡稱為平時。 真太陽時與平太陽時的時差 太陽視圓面中心連續(xù)兩次上中天的時間間隔叫做真太陽日真太陽時=平太陽時+真平太陽時差。太陽時的計算公式如下： 時角 時角是以正午12點為0度開始算，每一小時為15度，上午為負下午為正。時角的計算公式為1.模型準備 太陽直射緯度 太陽直射緯度即赤緯角，赤緯角也稱為太陽赤緯，其計算公式近似為太陽高度角 太陽高度角是太陽相對

2、于地平線的高度角，其計算公式近似為1.模型準備問題一：1.1桿影長度變化的數(shù)學模型 由太陽光直射下桿影與桿長的幾何關系，得 根據(jù)前面介紹的概念及公式，得到最終的影長變化的數(shù)學表達式如下：2.模型建立與求解1.2考慮空氣折射率的桿影長度變化的數(shù)學模型 由于大氣層中存在水蒸氣、二氧化碳和塵埃，其密度與外太空的真空并不相同，因此當太陽光從外太空的真空傳入大氣層時，必將發(fā)生偏折即天太陽高度角必將變化。修正后的太陽高度角為 最終的影長變化關系為 2.模型建立與求解1.3 以北緯39.9度，東經(jīng)120度的10月1日桿長為3米為例研究影長變化規(guī)律 圖1 影長與時間變化的關系圖2 影長與日期的變化關系圖3 影

3、長與緯度的變化關系圖4 影長與經(jīng)度的變化關系2.模型建立與求解1.4天安門廣場的影子長度變化曲線圖 圖5 天安門廣場桿長3米9點到15點的影長變化關系 從圖5可以看出，在天安門廣場桿長3米的影長從9點到15點先變短后變長，在12：22 時取到最低點，最低點即最短影長為3.8878米，圖中不關于12:00對稱是因為北京時間是以東經(jīng)120度確定的，而天安門廣場處于東經(jīng)116度23分29秒，由于地球是自西向東轉，還有空氣折射率的考慮，所以當天安門廣場的當?shù)貢r間在正午時，顯示的北京時間是在12時之后。2.模型建立與求解問題二:2.1問題提出 根據(jù)附件1中的某地的直桿影長數(shù)據(jù)求解出該地坐標。 2.2 分

4、析思路 注意到問題二中有三個未知參數(shù): 拍攝的經(jīng)度、緯度以及桿的長度。可考慮繼續(xù)使用問題一中的模型，根據(jù)樣本點的數(shù)據(jù)求解出對應的三個參數(shù)值。由于模型是已經(jīng)確定的，所以可以使用非線性最小二乘擬合。最后可以對求解結果進行檢驗。2.模型建立與求解2.3最小二乘擬合表達式 根據(jù)第一問的模型，可以得出如下的最小二乘表達式 使用MATLAB中非線性最小二乘擬合算法可以得出最后的求解結果。 最終地點：（我國三亞附近地區(qū)）2.模型建立與求解 求解的擬合效果如下：2.4對求解結果進行檢驗 由于實測數(shù)據(jù)可能被多種因素影響，所以對于整體的結果是否應該被接受還需要做檢驗。此處可進行方差檢驗與擬合優(yōu)度檢驗2.模型建立與

5、求解2.4.1 方差檢驗 若結果是可信的，則樣本點數(shù)據(jù)與根據(jù)模型求解的參數(shù)所確定的數(shù)據(jù)之間應不存在顯著性差異。所以可以使用方差檢驗。用MATLAB求解最終結果如下： 結論：F遠小于P值0.05，所以可以認為模型所求解結果與實際觀測值之間無顯著性差異。2.模型建立與求解2.4.2擬合優(yōu)度檢驗 擬合優(yōu)度可以表示回歸曲線對觀測值的擬合程度，所以可以使用擬合優(yōu)度檢驗來衡量擬合效果。 擬合優(yōu)度檢驗公式： ：回歸平方和 ：總偏差平方和 最終結果： 與1相差不大，說明擬合的曲線能夠有效地解釋實際觀測值，說明擬合效果很好。驗證了問題一中模型的合理性。2.模型建立與求解問題三：3.1問題的分析 未知參數(shù)繼續(xù)增加

6、，沿用問題二模型無法得到理想效果。 根據(jù)同一地點太陽高度角相同和桿影幾何關系，得出對于不同的桿在同一地點不同時刻影長變化的比值是一定的。 將相同時間間隔直桿影長函數(shù)的變化與之相比，建立方差最小的目標規(guī)劃模型，將問題三轉化為最優(yōu)化問題進行求解。 2.模型建立與求解3.2目標規(guī)劃模型的建立目標函數(shù)：約束條件： 2.模型建立與求解 3.3問題三模型的求解 運用MATLAB優(yōu)化工具箱分別對附件2、3求解得到： （1）得出附件2對應的地點為 ，天數(shù)為323天，日期為11月18日，所屬地方為新疆。 （2）附件3對應的地點為 ，天數(shù)為144天，日期為5月24日，所屬地方為湖北。 說明：函數(shù)經(jīng)過多次迭代，數(shù)據(jù)

7、檢驗平穩(wěn)，因為我們求得是此時數(shù)據(jù)對應的最優(yōu)解，故只有一個。如果繼續(xù)求解的話，可以求出次優(yōu)解。 2.模型建立與求解問題四：4.1視頻像素的灰度處理與圖像直角坐標系的建立 將視頻導入MATLAB,以兩分鐘為間隔截取視頻圖像，并將圖片進行灰度處理，利用圖像處理工具箱將圖片灰度提取，建立了基于圖像上點的坐標系，得到了21組直桿頂點、影子頂點和直桿底邊的圖像坐標。 針對視角的不同所造成的桿影比與實際的差異進行分析與矯正。 圖片中的影長、桿長 實際的影長桿長 2.模型建立與求解4.2實際影長的求解 設直桿頂點坐標為 ，影子頂點為 ，直桿底邊的坐標為 ，求得實際影子長度為：4.3基于拍攝日期已知求解拍攝地點

8、的模型的建立與求解 將實際影子長度求出后求出后，這里已知桿長、影子長度、日期和時間的情況下反求當?shù)亟?jīng)緯度，此時問題轉化為問題二，并得到： 2.模型建立與求解 同樣使用MATLAB中非線性最小二乘擬合算法求解得： 視頻中所在地點為 。所屬地方為內蒙古。4.3拍攝日期未知時的模型的建立與求解 根據(jù)求出的任意一個給定的視頻中的實際的影子長度可以把這個問題轉化為問題三的模型進行求解，可以建立如下的目標規(guī)劃模型。 約束條件 2.模型建立與求解三、模型的檢驗這里選取2015年5月1日，西安 ，從北京時間8點到15點桿長為2米的影子長度，并根據(jù)已知條件求得影子變化的曲線，與真實值進行比較，如圖所示： 樣本相關系數(shù)： r=0.95 為高度相關 經(jīng)過多次迭代，數(shù)據(jù)檢驗平穩(wěn)，同樣只得到一個最優(yōu)解。得出附件4對應的地點為 ，所屬地點同樣在內蒙古，天數(shù)為206天。3.模型的檢驗優(yōu)點1、問題一的模型的建立通過查閱資料得到了各個影響因素之間的關系，通過研究太陽影子長度的變化規(guī)律可知與實際情況吻合，模型比較精確。2、問題二基于模型一運用了非線性最小二乘擬合的方法，并進行了顯著性檢驗和擬合優(yōu)度檢驗，通過檢驗并驗證了擬合效果較好，得出的結果比較好。3、將模型進行了檢驗和靈