第三部分：方程

1、 方 程沾益縣播樂(lè)中學(xué)張樸花方程有理方程整式方程分式方程一元一次方程一元二次方程可化為一元一次方程的分式方程可化為一元二次方程的分式方程無(wú)理方程方程的應(yīng)用整式方程知識(shí)結(jié)構(gòu)圖 考點(diǎn)清查一、方程及方程的解1、定義 2、方程的解的檢驗(yàn)方法3、列方程的一般步驟（1）審：審清題意 （ 2）找：找出等量關(guān)系（3）設(shè)：設(shè)出未知數(shù) （4）列：根據(jù)等量關(guān)系列方程（5）解：解方程，求出未知數(shù)的值（6）驗(yàn)：檢驗(yàn)所求未知數(shù)的值是否是方程的解，是否具有實(shí)際意義（7）答： 二、一元一次方程1、定義：在整式方程中，含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的方程叫一元一次方程，一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是： ax+b=0(a0）

2、2、一元一次方程的特點(diǎn)：（1）方程是整式方程，即方程中根號(hào)下不含未知數(shù)，分母上不含未知數(shù)；（2）通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)后能化成ax=b（a0）的形式，即化簡(jiǎn)后滿足只含一個(gè)未知數(shù)未知數(shù)的次數(shù)是13、解一元一次方程：（1）分子分母的系數(shù)化整；（2）去父母（方法）（3）去括號(hào)（4）移項(xiàng)（5）合并同類(lèi)項(xiàng)（6）系數(shù)化為15、32x13（2x-1）3=5注意：方程ax+b=0的解當(dāng)a0時(shí)，方程的解為x=b/a；當(dāng)a=0，b0時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)a=0，b=0時(shí)，方程的解為全體實(shí)數(shù)。三、一元二次方程1、定義：只含一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程；2、定義分析：一個(gè)方程是不是一元二次方程

3、，必須滿足兩個(gè)條件：（1）方程是整式方程，即方程中根號(hào)下不含未知數(shù)，分母上不含未知數(shù)；（2）通過(guò)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)后能化成ax2+bx+c=0（a0）的形式.即： 只含一個(gè)未知數(shù) 未知數(shù)的次數(shù)是2。示例：判斷下列方程是否一元二次方程：1、a2=3； 2、 (x2+3x)2=5； 3、3yy3=3； 4、t/2+t2=0； 5、 y22y30； 五、一元二次方程的解法1、直接開(kāi)平方：2、配方法：移項(xiàng)：把未知項(xiàng)移到方程左邊，常數(shù)項(xiàng)移到右邊把二次項(xiàng)系數(shù)化為1：在方程兩邊除以二次項(xiàng)系數(shù)a.配方：方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方分解因式：利用完全平方公式把方程左邊分解因式，化為（mx+

4、n）2a（a0）的形式；直接開(kāi)平方得mx+n分別解一元一次方程得出一元二次方程的解。3、公式法：方程ax2+bx+c=0,且=b2-4ac0，則4、因式分解法：如果ax2+bx+c(ex+f)(mx+n)， 則ax2+bx+c0的根為x1=f/e ，x2=n/m.例、用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?（x+3）216x 3（4x29）2（2x3）0練習(xí)：用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?） x2-2x-2=0 （2）（y-5）(y+7）=0（3）x（2x-3）=（3x+2）（2x-3） （4）（x-1）2-2（x2-1）=0（5）2x2+1=2x （6）2（t-1）2+t=1分析：解一元二次方程要根據(jù)方程的特征

5、，采用不同的方法。但一般順序?yàn)椋褐苯娱_(kāi)平方法因式分解法公式法，一般不用配方法。公式法是解一元二次方程的萬(wàn)能鑰匙，但不一定是最簡(jiǎn)單的方法。六、一元二次方程根的判別式及應(yīng)用1、根的判別式關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判別式b24ac.注意：在使用根的判別式解決問(wèn)題時(shí)，必須將一元二次方程化為一般式（即：ax2+bx+c=0(a0)，以便確定a、b、c的值。2、判別式的性質(zhì)與應(yīng)用一元二次方程的判別式的應(yīng)用主要有以下三種情況。（1）不解方程，判斷一元二次方程的根的情況；（2）根據(jù)方程根的情況，確定方程系數(shù)中字母的取值范圍；（3）應(yīng)用判別式證明方程根的情況。例1、已知關(guān)于x的一元二

6、次方程x22x+a=0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍。例2、已知關(guān)于x的一元二次方程: x22(m+1)x=0（1）當(dāng)m取何值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）選取一個(gè)合適的整數(shù)m，使方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并求出這兩個(gè)實(shí)數(shù)根。例3、已知方程x2+kx1=0，求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。七、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為x1、x2，那么根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用：（1）驗(yàn)根、求根或確定根的符號(hào)；（2）求與根相關(guān)的代數(shù)式的值，如： x12+x22=（x1+x2）22x1x2 x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)例1、若m0，n0，試確定關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+

7、n=0的根的情況。答：有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根，正根的絕對(duì)值較大。例2、已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+x-a=0(a0).求證：對(duì)于任意非0實(shí)數(shù)a，該方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根。例4、已知x1、x2是方程2x2x70的兩個(gè)根，求x12+x22的值。例5、已知關(guān)于x的一元二次方程 x2+kx1=0.求證：（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x1、x2，且滿足x1+x2x1x2，求k的值。八、列方程解應(yīng)用題的一般步驟：1、審：審題，分析題目中的已知是什么，求什么，明確各數(shù)量之間的關(guān)系；2、找：找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系；（3）設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為x，但也

8、有例外）；（4）列：根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出所需要的代數(shù)式，從而列出方程；注意：列方程時(shí)，方程兩邊要是同一類(lèi)量，且單位要統(tǒng)一；一般情況，題中所給條件在列方程時(shí)不能重復(fù)使用，也不能漏掉不用，重復(fù)利用某一個(gè)條件，會(huì)得到一個(gè)恒等式，無(wú)法求解。（5）解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值；（6）驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意；（7）答：寫(xiě)出答案（包括單位名稱(chēng)）注意：書(shū)面步驟只寫(xiě)“設(shè)、列、解、答”四步。例1、某車(chē)間每天能制作甲種零件500只，或制作乙種零件250只，甲、乙兩種零件各一只配成一套產(chǎn)品，現(xiàn)要在30天內(nèi)制作最多的成套產(chǎn)品，甲、乙兩種零件各要制作多少天？例2、某中學(xué)的學(xué)生自己動(dòng)手整修操

9、場(chǎng)，如果讓七年級(jí)學(xué)生單獨(dú)工作，需要7.5h完成，如果讓八年級(jí)單獨(dú)工作，需要5h完成，如果由七、八年級(jí)一起工作1h,再由八年級(jí)學(xué)生單獨(dú)完成剩余部分，共需多少時(shí)間完成？例3、市政府為了解結(jié)市民看病難的問(wèn)題，決定下調(diào)藥品的價(jià)格，某種藥品經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，由每盒200元下調(diào)至128元，求這種藥品平均每次降價(jià)的百分率是多少？例4、某工程隊(duì)在我市實(shí)施棚戶區(qū)改造過(guò)程中承包了一項(xiàng)拆遷工程，原計(jì)劃每天拆遷1250，因?yàn)闇?zhǔn)備工作不足，第一天遺留下當(dāng)天任務(wù)的20，從第二天開(kāi)始，該工程隊(duì)加快了拆遷速度，第三天拆遷了1440。求：（1）該工程隊(duì)第一天拆遷的面積；（2）如果該工程隊(duì)第二天、第三天每天的拆遷面積比前一天增

10、長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同，求這個(gè)百分?jǐn)?shù)?？键c(diǎn)清查：考點(diǎn)1、分式方程的概念和特征分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。注意：分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù)。分式方程考點(diǎn)2、增根在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫方程的增根。解分式方程時(shí)，有可能產(chǎn)生增根（使方程中分母為0的根）因此解分式方程要驗(yàn)根（其方法是代入最簡(jiǎn)公分母中，是最簡(jiǎn)公分母為0的根是增根，否則不是）注意：（1）增根能使最簡(jiǎn)公分母的值為0；（2）增根是分式方程去分母后的整式方程的根?？键c(diǎn)3、常見(jiàn)的兩種形式的分式方程1、可化為一元一次方程的分式方程：去掉分母后，化簡(jiǎn)結(jié)果為一元一次方程的分式方程，此種類(lèi)型為中考的重點(diǎn)

11、。2、可化為一元二次方程的分式方程：去掉分母后，化簡(jiǎn)結(jié)果為一元二次方程的分式方程。 題型1、解分式方程的思想和方法1、解分式方程的基本思想劃歸思想解分式方程的思想是把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。2、解分式方程的基本方法（1）去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，通常是在方程的兩邊同時(shí)乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母，約去組成分式方程的每一個(gè)分式的分母，使分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，但去分母會(huì)產(chǎn)生增根，所以需要檢驗(yàn)。題型歸納用去分母法解分式方程的一般步驟：去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；解所得的整式方程；把所得整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母檢驗(yàn)，舍棄增根，然后作答。（2）換元法有些方程，采用去分母法，會(huì)導(dǎo)致所得整

12、式方程比較復(fù)雜或出現(xiàn)高次方程，給我們解題帶來(lái)難度，而分式方程中的分式與整式或分式與分式之間有著緊密的連續(xù)：如一個(gè)分式的分母與整式相同；兩個(gè)分式互為倒數(shù)等，此時(shí)，利用換元法，可使分式方程化為整式方程，高次方程化為低次方程，從而降低解題難度。用換元法解分式方程的一般步驟：設(shè)輔助未知數(shù)，代替分式方程中具有一定特征的代數(shù)式；解所得關(guān)于輔助未知數(shù)的方程，求出輔助未知數(shù)的值；將輔助未知數(shù)的值代入所設(shè)，求出原未知數(shù)的值；檢驗(yàn)做答注意：分式方程解法的選擇是先特殊，后一般，即先考慮能否有換元法，若不能，再用去分母法。題型2、列分式方程解應(yīng)用題（1）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：審題； 設(shè)未知數(shù)； 找等量關(guān)系，列

13、分式方程； 解分式方程； 驗(yàn)根：先檢驗(yàn)是否有增根，再看是否符合題意； 寫(xiě)出答案。例、某中學(xué)庫(kù)存960套舊桌登，修理后捐助貧困山區(qū)學(xué)校，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)木工小組都想承包這項(xiàng)業(yè)務(wù)，經(jīng)協(xié)商后得知：甲單獨(dú)修理這批桌登比乙多用20天，乙每天比甲多修8套；學(xué)校每天需付甲修理費(fèi)80元，付乙120元。（1）求甲、乙兩個(gè)木工小組每天各修桌登多少套？（2）在修理桌登過(guò)程中，學(xué)校要委派一名維修工進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)督，并由學(xué)校負(fù)擔(dān)他每天10元的生活，現(xiàn)在有以下三種修理方案供選擇：由甲單獨(dú)修理；由乙單獨(dú)修理；由甲乙共同合作修理。你認(rèn)為哪種方案既省時(shí)又省錢(qián)。考點(diǎn)1、二元一次方程的有關(guān)概念及解法1、二元一次方程的概念含有兩個(gè)未知數(shù)，

14、并且未知項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程叫二元一次方程。方程與方程組的應(yīng)用考點(diǎn)清查注意：（1）、二元一次方程中，未知數(shù)的個(gè)數(shù)必須是2個(gè)；（2）“未知項(xiàng)的次數(shù)是1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1，切不可以理解為兩個(gè)兩個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是1，如3xy20中含有兩個(gè)未知數(shù)，且兩個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是1，但未知項(xiàng)“3xy”的次數(shù)是2，所以它不是二元一次方程；（3）二元一次方程的左邊和右邊都是整式，如1/xy1不是二元一次方程，因?yàn)樗淖筮叢皇钦蕉欠质健?、二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a0,b0)注意：判斷某個(gè)方程是否是二元一次方程，一般可先化成ax+by+c=0的形式，再根據(jù)定義進(jìn)行判

15、斷。例、判斷方程2x+3y=1+2x是否二元一次方程。3、二元一次方程的解的求法：用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)，如求y2x=1的解，先變形為y=2x1，然后給出x一個(gè)值，代入求y.注意：二元一次方程的解是成對(duì)出現(xiàn)，而且有無(wú)數(shù)多對(duì)。考點(diǎn)2、二元一次方程組的有關(guān)概念1、二元一次方程組的定義兩個(gè)二元一次方程和在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。如：注意：二元一次方程組不一定都是由兩個(gè)二元一次方程合在一起組成的，方程的個(gè)數(shù)可以超過(guò)兩個(gè)，其中的方程也可以是一元方程，只要整個(gè)方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)是2個(gè)即可。如：x+y=2x-y=13a+b=04a+b=1X=12x-y=03y=62x-1=0X+

16、y=12、二元一次方程組的解例、判斷下列各組數(shù)是不是二元一次方程組 的解考點(diǎn)3、二元一次方程組的解法（1）用代入法解二元一次方程組 用代入法解二元一次方程組的一般步驟：從方程組中選定一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，再?gòu)拇朔匠讨羞x擇一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的未知數(shù)進(jìn)行變形，用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示這個(gè)未知數(shù)，即y=ax+b或x=ay+b的形式； 2xy=5 3x+y=10 x=7y=7（1）x=3y=1（2）3x+2y=5 y=1x 將變形后的方程y=ax+b（或x=ay+b）代入另一個(gè)方程消元得一元一次方程；解一元一次方程，求出其中一個(gè)未知數(shù)的值；將求出的未知數(shù)的值代入變形y=ax+b或x=ay+b中，求

17、出另一個(gè)未知數(shù)；結(jié)論：將兩個(gè)未知數(shù)的值用“”聯(lián)立起來(lái)，得到方程組的解。（2）用加減消元法解二元一次方程組步驟：選擇一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的未知數(shù)作為消元的對(duì)象，尋找該未知數(shù)在兩個(gè)中系數(shù)的最小公倍數(shù)，利用等式的基本性質(zhì)，將原方程組化成有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或相反的形式；若有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等，則兩個(gè)方程相減，若有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反，則相加，從而由二元消為一元；解消元后所得的一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；把求得的未知數(shù)的值代入方程組中比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程，求另一個(gè)未知數(shù)的值；將兩個(gè)未知數(shù)的值用“”合寫(xiě)在一起即可。例2、解方程組例1、解方程組3xy=5 5x+2y=23 考點(diǎn)4、三元一次方程組及其解

18、法一般地，由三個(gè)一次方程組成，并且含有三個(gè)未知數(shù)的方程組叫做三元一次方程組。解三元一次方程組的一般步驟是：1、利用代入法或加減法，把方程組中的一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，削去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)二元一次方程組；2、解二元一次方程組，求出另兩個(gè)未知數(shù)的值；3、將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一元一次方程；4、解一元一次方程，求出第三個(gè)未知數(shù)的值；5、將三個(gè)未知數(shù)的值用“ ”合寫(xiě)在一起?？键c(diǎn)5、列方程（組）解應(yīng)用題一、列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟：1、把握題意，搞清條件是什么？要求什么？2、設(shè)未知數(shù)3、找出等量關(guān)系（一般設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就找?guī)讉€(gè)等量

19、關(guān)系）；4、列方程（組）6、驗(yàn)根：看根是否滿足題意7、寫(xiě)出答案（包括單位） xz=3 z2y=1 x+yz=2 x+yz=11 y+zx=5 z+xy=1 例、解方程組x+y=2 y+z=7 x+z=13 直接設(shè)未知數(shù)問(wèn)什么設(shè)什么間接設(shè)未知數(shù)5、解方程（組）例、一千零一夜中有這樣一段文字：有一群鴿子，其中一部分在樹(shù)上歡歌，另一部分在地上覓食，樹(shù)上的鴿子對(duì)地上覓食的鴿子說(shuō)：“若從你們中飛上來(lái)一只，在樹(shù)下的鴿子就是整個(gè)鴿群的三分之一；若從樹(shù)上飛下去一只，則樹(shù)上、樹(shù)下的鴿子就是一樣多了?！蹦阒罉?shù)上、樹(shù)下各有多少只鴿子嗎？二、二元一次方程的整數(shù)解問(wèn)題由于二元一次方程的解的不唯一性（無(wú)數(shù)多個(gè)）在實(shí)際生

20、活中又有較多的例子可以求出二元一次方程的整數(shù)解。例1、李聰拿10元錢(qián)買(mǎi)圓珠筆和筆記本，已知圓珠筆一元一支，筆記本二元一本，李聰共有幾種不同的買(mǎi)法？例2、某電視臺(tái)黃金時(shí)段2min廣告時(shí)間內(nèi)，計(jì)劃插入長(zhǎng)度為15s和30s的兩種廣告，15s廣告每播一次收費(fèi)0.6萬(wàn)元，30s廣告每播一次收費(fèi)1萬(wàn)元，若要求每種廣告播放不少于2次，問(wèn)：（1）兩種廣告的播放有幾種安排方式？（2）電視臺(tái)選擇哪種方式播放收益較大？解：（1）設(shè)15秒廣告播放x次，30秒廣告播放y次，則 15x+30y=120 x=82y x2且x為整數(shù) y 2且y為整數(shù)題型1、行程問(wèn)題例1、甲、乙兩地間鐵路長(zhǎng)2400千米，經(jīng)技術(shù)改造后，列車(chē)實(shí)現(xiàn)

21、了提速，提速后比提速前速度增加20千米/小時(shí)，列車(chē)從甲地到乙地行駛時(shí)間減少4小時(shí)，已知列車(chē)在現(xiàn)有條件下安全行駛的速度不超過(guò)140千米/小時(shí)，請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明這條鐵路在現(xiàn)有條件下是否還可以再次提速？解：設(shè)提速后列車(chē)的速度為x千米/小時(shí).解得x1=120，x2=100（舍去）經(jīng)檢驗(yàn)，x=120是原方程的根.120140，仍可以再提速答：略題型歸納例2、甲、乙兩地相距217.5km，一列快車(chē)和一列慢車(chē)分別從甲、乙兩地出發(fā)，相向而行，已知慢車(chē)每小時(shí)行駛35km，快車(chē)每小時(shí)行駛65km.如果慢車(chē)先開(kāi)0.5h，問(wèn)慢車(chē)開(kāi)出后幾小時(shí)兩車(chē)相遇？題型2、增長(zhǎng)率問(wèn)題例、某工廠第一季度生產(chǎn)甲、乙兩種機(jī)器共48

22、0臺(tái)，改進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)后，計(jì)劃第二季度生產(chǎn)這兩種機(jī)器共554臺(tái)，其中甲種機(jī)器產(chǎn)量要比第一季度增產(chǎn)10，乙種機(jī)器產(chǎn)量要比第一季度增產(chǎn)20 ，該廠第一季度生產(chǎn)甲、乙兩種機(jī)器各多少臺(tái)？題型3、工程問(wèn)題例1、一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做20天完成，乙單獨(dú)做15天完成，現(xiàn)在先由甲、乙合做若干天后，剩余部分由乙獨(dú)做，先后共用了12天，問(wèn)甲做了幾天？例2、有一市政建設(shè)工程，若由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合做，需要12個(gè)月完成，若甲隊(duì)先做5個(gè)月，剩余部分再由甲、乙兩隊(duì)合做，還需要9個(gè)月才能完成。（1）甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少個(gè)月。（2）已知甲隊(duì)每月施工費(fèi)用為5萬(wàn)元，乙隊(duì)每月施工費(fèi)為3萬(wàn)元，要使該工程施工總費(fèi)用不超過(guò)95