三角學(xué)的發(fā)展史

1、三角的樊展史三角 （trigonometry）一春司是由希月匐文 trigono（三角）輿metrein（測量）合而 成，原意是三角形的測量，也就是解三角形。道是三角的基本冏題之一。彳爰 來靶圉逐漸大，成懸研究三角函數(shù)及其鷹用的一偃I科目。和其他科一檬，三角!是在解決除冏題的謾程中樊展起來的。他的彝 展和天文襄何有著不可分割的信割系。早期的三角是秦剽1於天文的。天文的彝生是由於褊制厝法的需要，而厝法封於晨it和畜牧it都是很重要的三角的樊展，大ft可以分懸三偃I日寺期。第一期是優(yōu)逮古到1 1世系己以前。在道一畤期，著作逮看不到角的函 數(shù)的概念，甚至一般地沒有提出三角形中角和遏的信割系。但人例能

2、領(lǐng)J利用富日寺 已知的襄何知言哉，解決三角圉內(nèi)的一些冏題。根摞正多遏形遏11輿外接圄 半彳空的信期系，言十算弧的II度，道是解決三角冏題的重要方法。第三期是優(yōu)1 1世系已到1 8世余己。三角脫雕天文而褐立，成懸的一偃I分支。在造一日寺期末里褊制了大量的三角函數(shù)表。優(yōu)第一期到第二期的謾渡，主要彝生在中空區(qū)田克的地I。第三期是1 8世系己以彳爰。以It拉的懸代表，言寸三角形的三角迤一步演建成懸研究三角函數(shù)的，腐於分析的一偃I分支。希月匐古代埃及人建造金字塔，表明他便號有一定的襄何，三角知言哉。彳爰來希月匐 者塔利斯遁埃及，利用相似三角形的道理測出金字塔的高。道是西方三角測量 的濫觴，雎然和我閾竦子

3、測日法比起來略遜一簿。西方三角的最早奠基者是依巴谷條勺公元前1 8 0年生於小克區(qū)田克的比西 尼克，在今土耳其西北角的阿逵帕扎勒附近，余勺公元前1 2 5年卒。他是古希 月匐天文家，以樊琪 ,出自依巴谷之手，托勒密只是彳命他 的耆中摘出。彳能道定理可以推出正弦，繪弦的和差公式及一系列的三角恒等式。托勒密是古代天文的集大成者。他畿承前特別是依巴谷的成就，加以整理樊揮，褊入他的天文集 1 3巷中。道善原名是 數(shù)阜考集 ,彳爰來群成阿 拉伯文，在群成拉丁文，建成 Almagest的善名。天文集是克屣山大派或整偃I 古代天文的它的基本理是地球中心1。道包謾彳能零度到九十度，每隔半度的弦表，其作用相富於

4、彳能零度到九十度 每隔四分之一度的正弦函數(shù)表。值得注意的事，托勒密探用巴比偷人的6 0迤制。把圄周分懸3 6 0度。另一方面，又符半彳空分懸6 0等分，每一份分懸6 0小分，每一小分再分懸更 小的份，以此推。把道些小分一次叫做第一小分，第二小分，彳爰來小建成了 分，第二建成了秒，道就是分秒名耦的來源。托勒密取半彳空的六十分之依蕾懸II度的罩位，例如6 0度的弦房是6 0度，和9 0度封的弦是是J260 1它利用圄內(nèi)接正五遏形正十遏形的褊II推厚封3 6度和7 2度的弦H。其 他弦JI根摞托勒密定理來推醇。其托勒密定理已條形得到典下列公式等僵的 制系。22sin x cos x = 1sin(x

5、 y) = sin xcos y - cosxsin y .2x1sin - = (1 -cosx)22托勒密褐出心裁地根摞下列不等式來做內(nèi)插言十算sin 二sin ：托勒密定半彳空懸6 0彳固罩位，彳爰來印度人定半彳空懸3 4 3 8,中克區(qū)田克民族定半彳空懸1 5 0 ,那皮K定半彳空懸107 o 一直到It拉，才定半彳空懸1 , 始用段的比值作卷三角函數(shù)的定羲。在道之前，三角函WT除上是在固定半彳空 的閶內(nèi)彳固函數(shù)的H。梅內(nèi)勞斯的球面考病 由於群成阿拉伯文而保存了下來。道善著重言寸球面 三角的性II。得到若干腐於球角球面三角形的解法公式。公元4世系已以彳爰，希 月匍數(shù)擘已成弓金弩之末。歐

6、洲中世幺己三角擘和其他科擘一檬停滯不前。但在別的 地I郤有相富可覲的迤展。印度阿利耶毗陀是我優(yōu)族口道的最早的印度家。他生於恒河南岸的巴速弗邑，或拘賽摩禱箍，在今印度柬北部的巴特那附近。他所著的善叫阿利耶毗陀厝善 ,包括天文表集，算數(shù)，日寺的度量和球 等部分。阿利耶毗陀指出圄周率之值：1 0 0加4再成8 ,再加6 2 0 0 0,就得一口-EL - r104 8 6200到直彳生是2 ooo o的圄周是近似值。即 3 3= 3.1416。道20000,，3927偃I圄周率是否得自中閾的 n =,尚待探言寸。三四世系己日寺，中閾僧人到印1250度去II求佛的逐漸增多。五世系己初法以彳爰中印交通更

7、加頻繁，我例有理由相信某些科知曾流傅到印度去。徙日寺上阿利耶毗陀比沖之晚生47年，比劌徽晚雨彳固多世幺己，大有借饕的可能。阿利耶毗陀封三角的貢獻(xiàn)很大。他裂作一偃I正弦表，依照巴比偷人和希月匐人的曾慣，符圄周分懸3 6 0度。每度分懸6 0分，整偃I圄周分懸2 1 6 00分。再由2/ =21600 ,可得半彳空r=3437.746，略去小數(shù)部分，取近似值得r=3438o依此言十算第一象限內(nèi)每隔3 45的正弦H。如sin3,=1719 ,sin 45 0 = 2431 等。道和希月匐的托勒密有IK著的不同。阿利耶毗陀默IS曲輿直可用同一軍 位來度量。托勒密封道一黑占是柄i豫不決的。他定半彳空懸6

8、 0彳固罩位，是沿用6 0迤位的H慢，和閶周H沒有信副系。也就是量弧H輿量弦量半彳空的軍 位是不同的。但印度人即熬懸圄弧輿弦11鷹用同一軍位來度量。整偃I圄周是21 6 0 0軍位，那例半彳空就是3 4 3 8偃I罩位。道木里包含著弧度制的思想。弧度制的精隨，就是統(tǒng)一度量弧H典半彳空的軍位。在同一偃I冏題中探用雨槿不同的軍位是很不方便的。如果有人給出一5M桌 子的尺寸：Wtl .2 3米，寬是2 .5 6英尺，我例一定他是自找麻;1。然而 嘉出sin30 = 0.5道檬的式子郤曾以懸常，甚至逮熬懸是理所富然的。W 左端的30 口可以看做弧H,它是以圄周II的,做軍位的，而右端的 0.5可以36

9、0看做正弦的H,它是以半彳空做軍位的。6 0迤制只是巴比偷遺留給我憑的一槿H慢，她不是很理想的一槿制度。6 0道偃I數(shù)是2 ,3,4,5,6,10,12,15,3 0道些常H數(shù)的倍 數(shù)，但郤沒有給帶來多大的便利。例如一偃I直角的四分之一或五分之一就不是 整數(shù)。弧度制量弧和量弦一率用半彳空做罩位，道和印度人定半彳空卷3 4 3 8的 精神是一致的。印度人和希月匐人另一偃I不同的地方，是言十算半弦而不是全弦的H o阿利耶毗陀耦半弦懸jiva,是希月匐人的弓弦的意思。彳爰來印度的善大量印成阿拉伯文，道偃I字音言睪成dschiba,彳爰來傅傅抄，嵌成形狀相似的dschaib,意思是胸膛，海灣或凹慮。1

10、 2世系己日寺，提佛利（兼大利中部）地方的柏拉6I降道偃I字兼群成拉丁文sinus,造就是正弦一春司的來源。它和常初印度人弓弦的意羲已相去甚遽。16 3 1年鄂玉函典浸若望等人褊的大測一害，sinus懸正半弦或前半弦，曾耦卷正弦，道是我閾正弦道一秫宿吾的由來。印度逮用到正矢（versine）及繪弦。根擄油罩的理做成每隔345的正弦表。方法是用勾股定理算出特殊角30, 45, 60。，90 口的正弦之彳爰，再用半角公式言十算較小角度的正弦。婆什迦箍是1 0至也6世幺己印度最負(fù)盛名的科擘家和天文擘家，他曾給出100. 466sin3 45 二 和 cos3口45=。1529467466值得注意的是

11、 是cos3%5 = 0.997858923的漸迤分?jǐn)?shù)。但4671001529 =0.0654022237谷口不是sin3%5 = 0.0654031292的漸迤分?jǐn)?shù)。中克區(qū)田克8世系已中集，大食帝閾分裂懸柬大食和西大食。柬大食以巴格逵懸首都， 保大食以西班牙的哥K多瓦懸首都。道日寺其著名的哈里彝有阿K赫曼、阿IW 蒙等。他例是科的熱心提倡者。在他俯的大力支持下，吸收了柬方的印度和 西方希月匍的文化精革，出現(xiàn)了以巴格逵卷首的府中心。阿豳焉蒙在巴格逵箍致名肺，建立科擘客、II象臺(tái)，貌自參加IOC研究 凰氟大盛。在他的醇之下，在美索不逵米克迤行了雨次大地測量，目的是碓 定子午的JI度，所得的結(jié)果相

12、富精碓。不謾道次子午已在我閾南宮 測量之彳爰90年了。阿豳焉蒙在君士坦丁堡那木里得到大量的希i哲擘、費(fèi)乳敷乳天文的手 稿，陛女爵洋成阿拉伯文。另一方面，印度的占星擘、數(shù)擘和H擘也流入了巴格 逵。道日寺其居住在中克區(qū)田克的各彳固民族出現(xiàn)了多數(shù)擘家。除了代數(shù)方面的阿 K?花拉子模（他曾參輿子午的測量）外，在三角方面最大的可以是 阿豳？巴坦尼。他是雨河流域巴坦地方的人，於是由此得名。阿U?巴坦尼是著名的科擘家，稹 40年著 星的科擘 Wo定出較精密的黃赤交角及蕨差的值，又測得地球遽日黑占的彳爰來哥白 尼矗勤一日寺的 天行 逮常常引用阿K ?巴坦尼的數(shù)值。星的科的拉丁文言睪本月等阿拉伯文的dschai

13、b簪凹）意言睪成sinus,造就是正弦（sine）一春司的由來。阿豳？巴坦尼深知托勒密的天文但探用半弦代替托勒密的全弦， 然是受到印度人的影警，在算和命題方面也有道槿影警。希i人喜戳用黑何 、，”, r , , E sin 0方法，而阿豳？巴坦尼即常用代數(shù)方法。他優(yōu) =D的式子推得cos 8.八 DsinO =,.藉此求出o的值，道是希月匐人所不知道的。他逮樊垣了重.1 D2要的球面三角繪弦定律：cosa=cosbcosc+sinbsinccosA.阿豳？巴坦尼鱉立一根桿子在地上，求日影Hb,乙測定太隔的仰角。隙影b的拉丁群名卷“直隙影”，而水平插在睛上的桿投影在睛上的影JI叫做”反隙影?！爸?/p>

14、隙影彳馴漫成”繪切，“反隙影叫做“正切”。920年左右，阿豳？巴 坦尼造出自0至90相隔1 的繪切表。另一偃I三角者是阿布豳？威彝，他是霍月匐散今伊朗柬地方的人。也是著 名的天文擘家。言十算了每隔10、的正弦和正切表。加首次引入正割典繪割，可惜道新的函數(shù)她沒有噢起常代人的注意。奇怪的是，阿布K ?威彝的善完全不用印度數(shù)礁。道檬著名的擘者卷什麼 不用方便的印度數(shù)礁呢？至今逮是一偃III。猜想，富日寺的家分懸雨派，一 派崇尚印度，一派超附希i,害者排斥印度數(shù)碣，阿布K?威彝腐於道一派。阿布豳？威彝在襄何方面也有成就，曾用襄何方法去解方程式x4+ax3=b。11世系己以彳爰，中克區(qū)田空地I彝生了一系

15、列的建葡,1096年到1270年的十字里柬侵帶來了流血戟事。13世系己初又遭受成吉思汗的侵略。1256年成吉思汗之舔旭烈兀迤攻伊朗高原，1258年估了巴格逵，殿重摧毀了城市。在道兵徜速年的蕨月桂，科擘的停滯是不足卷奇的。如何，道日寺其仍然屹立著一些 卓越的擘者。阿賽拜疆的天文家納速拉丁是士斯地方的人。很得旭烈兀的信賴。旭烈兀 接受了他的建H , 1259年在焉月匍格建造一所巨大的天文臺(tái)，其中有侵良的倭器。區(qū)內(nèi)速拉丁稹十繪年的覲測，褊成。旭烈兀優(yōu)中閾待了黑偃I天文家到伊朗去，區(qū)內(nèi)速拉丁彳卷道未里知道中閾的唐法。區(qū)內(nèi)速拉丁是很全面的者，著有三角、天文、黑何、星坐等方面的善。三角方面，區(qū)內(nèi)速拉丁指出

16、，由球面三角形的三偃I角，可以求得三遏，或由 三遏求三偃I角。道偃I事可以作懸平面三角輿球面三角差昇的重要檄部。在西 直到里基奧蒙田納斯才知道。區(qū)內(nèi)速拉丁和更早的阿夫拉始使三角脫雕天文而褐立。而It洲人直到15世系己才完成道同一工作。史家賽特感慨的”假如15世雙己It洲的三角者早知道他例的研究，不知逮有沒有插足的繪地？”14世系已末夜，蒙古帝閾崩潰以及隨之而起的封建內(nèi)H店寺期，中克區(qū)田克出琪 了一偃I跛子帖木完，原是成吉思汗的彳爰裔。他把察哈臺(tái)汗閾原有的地方統(tǒng)一起 來，向外tg展，建立帖木完帝閾，建都在撒111t干。帖木兄的舔子兀魯伯特別愛好天文。在未即王位畤就在撒焉豳干建立一座 富日寺世界上

17、規(guī)模最大的天文臺(tái)。在他的宮廷和天文臺(tái)中聚集了一百多名者，典偷比的天文覲測和用表的言十算。他的正弦表精碓到小數(shù)9位。又造0。至45。之每隔1, 45。至0。至90。之每隔5、的正切表。在兀魯伯的醇下，根摞多年的覲測，褊制了 兀魯伯恒星表 。牛津大 在印刷秫了的糙副畤期就翻印了道本恒星表，以彳爰又在各閾翻印多次，其世界 磬警由此可冕。在兀魯伯的天文臺(tái)中主要的醇人物是阿豳 ？卡西。1427年左右著 算秫亍之和周。在 圄周考病 中，阿K?卡西言十算3? 228遏內(nèi)皆典外切多遏形的周H,求得圄周H輿半彳空之比。在言十算中同畤探用60迤制，和10迤制小數(shù)雨槿言十?dāng)?shù)法來互相校瞬。突破了祖沖之保持了黑乎一千年

18、的圄周率世界言己金氯他的光輝成 果是Tt =3.141,592,653,589,793,25有十七位型碓數(shù)字。道數(shù)值一直到1596年才被柯偷超謾，他求到小數(shù)彳爰20位。 彳爰來在1615年在求到小數(shù)彳爰35位。的來,自7世余已到15世系己的數(shù)百年中克區(qū)田克何近柬的各偃I民族不 但吸取了含保存了希月匐輿印度的精莘，而且大大的向前通迤，懸世界的數(shù)添加了光彩。在三角方面，他例引入了黑槿新的三角函數(shù)，建立平面 三角典球面三角的若干公式，裂造大量的三角函數(shù)表，更重要的是始使三角 脫雕天文而褐立。歇洲徙1096年到1270年，屣史上速不斷的十字里柬征，表面上帶有宗教性 除上是一槿里事殖民侵略。It洲的封建

19、主企圃通謾逮彳空掠等富庶的柬方 城市。十字里的侵略戟事是彳敢底失敗了，然而郤帶來意想不到的彳爰果。第一、 加弓金了束西方的貿(mào)易，促使It洲商it在地中海的彝展，使兼大利和法閾南部一 帶成懸中心；第二、It洲人熬言哉了柬方的工晨it技循:，以及伊斯WI家和 拜占庭所保有的古代文化it藏。我閾的余氏、火霰 印刷秫亍以及箍道四大樊明 也跟著柬西交通的樊逵停到了it洲，道一切瓢疑給it洲人很大的刺激。12世系已初，it洲人和柬方文化接斶以彳爰，不滿於琪有的科和哲知言哉， 想探求更深?yuàn)W的理。而那畤it洲的希月匐害籍已不可多得，因而傅向中克區(qū)田克， 去尊找拉伯的藏。9世余已是伊斯!家的翻群世余己，而12世

20、系己即是基督教W:洲的翻群世系己，他俯凰起妻滂的符希月匐、印度善1 睪成阿拉伯文，而12世系己即是基督教W：洲的翻群世系己，大量的阿拉伯文善籍反謾來群成拉丁文。14世系己英閾坎特伯雷大主教拉瓦丁是It洲早期的三角者。他始符正切（他叫做反隙影）和繪切（他叫做直隙影）引入三角言十算中。It洲第一本有系統(tǒng)的三角者是德 閾的里基奧蒙田納斯，原名東勺翰？架，生於哥尼斯堡，附近的安費(fèi)德。他的名著 言病一般三角形 余勺完成於1464年。正式使三角脫雕天文而 成懸一力褐立的科目。道善包括平面三角典球面三角。屣來三角函數(shù)表探用半彳空的II度不一，托勒密令半彳空等於60,印度人取半彳空等於3438。里基奧蒙田區(qū)內(nèi)

21、斯懸了求得更密的值，定半彳空r=6000,000.彳爰來造了一偃I更精密的正弦表，定 r=107o言病一般三角形 除了言己述三角定律和三角函數(shù)表之外，逮言寸言病了一偃I新 H（有趣的趣大趣小冏題；天花板掛卜一垂直的桿，10尺，下端蹄地面 4尺，求在地面上找一黑占使封桿所張的角度最大。14到16世系已末集，屣史上叫做 ”文蓼彳復(fù)典”日寺期，在西It和中It的1I家未里， 始生了新的、資本主兼的生崖方式的因素。中世系己束人思想樊展的繁 51哲和神的教修、木瞿威逐步被摧毀了。隨著哥偷布地理上的大樊垣和星空覲測的tg大，使拖勒密典教曾一致的地 球中心彝生了根本的勤搖。俾大的天文家哥白尼提倡地他的弟子利

22、提 克斯冕到富日寺天文覲測日益精密，推算辭區(qū)田的三角函數(shù)以懸刻不容的事，於 是令半彳空等於1015,每隔10的正弦、正切及正割表。富日寺制表沒有封數(shù)，更沒有言十算械，全懣手算，言十算浩繁。利提克斯和他 的助手例以箋忍不拔的意志勤鸞的工作逵12年之久。遺憾的是，不能在他的生前完成，直到1596年才由他的弟子鄂圃完成刊行於世。 335鄂6I就是西方第一偃I得到祖沖之之密率n=T 的人。那是1576年，已在113祖沖之之彳爰的 1100年。他是怎檬得到道偃I圄周率的？道是一偃I有趣的冏魅。有人猜想他是和阿基米德和托勒密的圄周率而得。22阿基米德的圄周率是 士,而托勒密的圄周率即是用60迤位制言己述法

23、表示7是n=3 8303830=3+ + 30 =3.141660 60 60鄂6I的算法是377 - 22355120 -71131613年海德堡的彼提克斯不辯勞苦的修言丁了利提克斯的函數(shù)表，重新出版。到此卷止，三角函數(shù)表已精密的算。他的效用和必要性，要等到封數(shù)的彝琪之彳爰才完全I(xiàn)!露出來。在道以彳爰直到18世幺己中集，三角擘沒有彝生本1上的燮化。但遢是有很多值得稀道的工作。首先是納皮豳封數(shù)的樊垣，他大大的曾化了三角言十算 o此外，章逵給出sinn。展成sin。的公式。親隸美弗給出公式：(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx道就是有名的矮隸美弗定理工親隸美弗，生於法閾柬北部的香楂I(xiàn),1688年移居偏敦，以彳爰就一直住在那未里。他徙1707年到1730年逐步的深入得知道公式在n是有理數(shù)日寺成立。彳爰來尤拉在1748年、1749年瞪明n是即成立。他有給出著名的公式：e ix=cosx+isinx造偃1信飆系科茲已知道，他在1714年給出和他等僵的公式：ix=ln(cosx+isinx)道些工作都大大瞿富了三角的內(nèi)容。十八世系己以彳爰拉的!小分析引 是一部U日寺代的著