河海大學(xué)《巖石動力學(xué)》課件第3章-應(yīng)力波理論

1、巖 石 動 力 學(xué)劉 軍 ()二OO八年三月第3章 固體中的應(yīng)力波理論主 要 內(nèi) 容 應(yīng)力波的基本概念無限介質(zhì)中的彈性應(yīng)力波方程一維長桿中的應(yīng)力波一維桿中應(yīng)力波方程的特征線求解一維彈性應(yīng)力波的反射與透射一維彈性波斜入射時的反射與透射應(yīng)力波反射引起的破壞第節(jié) 應(yīng)力波的基本概念應(yīng)力波的產(chǎn)生當(dāng)外載荷作用于可變形固體的局部表面時，一開始只有那些直接受到外載荷作用的表面部份的介質(zhì)質(zhì)點因變形離開了初始平衡位置。由于這部份介質(zhì)質(zhì)點與相鄰介質(zhì)質(zhì)點發(fā)生了相對運(yùn)動，必然將受到相鄰介質(zhì)質(zhì)點所給予的作用力（應(yīng)力），同時也給相鄰介質(zhì)質(zhì)點予反作用力，因而使它們離開平衡位置而運(yùn)動起來。由于介質(zhì)質(zhì)點的慣性，相鄰介質(zhì)質(zhì)點的運(yùn)動

2、將滯后于表面介質(zhì)質(zhì)點的運(yùn)動。依此類推，外載荷在表面上引起的擾動將在介質(zhì)中逐漸由近及遠(yuǎn)傳播出去?；靖拍?第節(jié) 應(yīng)力波的基本概念應(yīng)力波、波陣面、波速、動載荷的概念 基本概念 這種擾動在介質(zhì)中由近及遠(yuǎn)的傳播即是應(yīng)力波。其中的擾動與未擾動的分界面稱為波陣面，而擾動的傳播速度稱為波速。實際上，引起應(yīng)力波的外載荷都是動態(tài)載荷。所謂動態(tài)載荷（也稱動載荷）指的是其大小隨時間而變的載荷。第節(jié) 應(yīng)力波的基本概念加載率、應(yīng)變率的概念 基本概念 載荷隨時間的變化率即為加載率，用下式表示或應(yīng)變隨時間的變化率即為應(yīng)變率，用下式表示或第節(jié) 應(yīng)力波的基本概念不同加載率下的載荷狀態(tài) 基本概念 加載率（s-1）10-510-5

3、10-110-1101101103104載荷狀態(tài)蠕 變靜 態(tài)準(zhǔn)動態(tài)動 態(tài)超動態(tài)加載手段蠕變試驗機(jī)普通液壓或剛性伺服試驗機(jī)氣動快速加載機(jī)霍布金森壓桿或其改型裝置輕氣炮或平面波發(fā)生器動靜明顯區(qū)別慣性力可忽略慣性力不可忽略第節(jié) 應(yīng)力波的基本概念按物理實質(zhì)分類 應(yīng)力波的分類 縱波P（脹縮波）和橫波S（畸變波）。它們的速度分別為Vp和Vs。P波的振動方向與傳播方向平行，橫波的振動方向則與傳播方向垂直。按與界面的相互作用分類 在與界面相互作用時，縱波P保持原來的意義。為了研究方便，把橫波S分為兩個分量或兩種類型SH波和SV波。第節(jié) 應(yīng)力波的基本概念按與界面相互作用形成的面波分類 應(yīng)力波的分類 表面波與自由

4、表面有關(guān)，常見的有：Rayleigh波，出現(xiàn)在彈性半空間或彈性分層半空間的表面附近；Love波，系由彈性分層半空間中的SH波疊加所形成。界面波沿兩介質(zhì)的分界面?zhèn)鞑?，通常稱為Stonely波。第節(jié) 應(yīng)力波的基本概念按與介質(zhì)不均勻性及復(fù)雜界面相聯(lián)系的波分類 應(yīng)力波的分類 衍射波彈性波遇到一定形狀的物體時，要發(fā)生繞射現(xiàn)象，并形成繞射波，或稱為衍射波。散射波彈性波遇到粗糙界面或介質(zhì)內(nèi)不規(guī)則的非均勻結(jié)構(gòu)時，可能出現(xiàn)散射，并形成散射波。第節(jié) 應(yīng)力波的基本概念按彌散關(guān)系分類 應(yīng)力波的分類 簡單波即非彌散非耗散波。彌散波彌散波又分為物理彌散和幾何彌散。前者是由于介質(zhì)特性引起的，后者是由于幾何效應(yīng)引起的。第節(jié)

5、應(yīng)力波的基本概念按應(yīng)力波中的應(yīng)力大小分類 應(yīng)力波的分類 如果應(yīng)力波中的應(yīng)力小于介質(zhì)的彈性極限，則介質(zhì)中傳播彈性波，否則將傳播彈塑性波；若介質(zhì)為粘性介質(zhì)，視應(yīng)力是否大于介質(zhì)的彈性極限，將傳播粘彈性波或粘彈塑性波。彈性波傳過后，介質(zhì)的變形能夠完全恢復(fù)，彈塑性波則將引起介質(zhì)的殘余變形，粘彈性波和彈塑性波引起的介質(zhì)變形將有一時間滯后。第節(jié) 應(yīng)力波的基本概念按波陣面幾何形狀進(jìn)行的波分類 應(yīng)力波的分類 根據(jù)波陣面的幾何形狀，應(yīng)力波可分為平面波，柱面波和球面波。一般認(rèn)為，平面波的波源是平面載荷，柱面波的波源是線載荷，而球面波的波源是點載荷。按波動方程自變量個數(shù)進(jìn)行的波分類 根據(jù)描述應(yīng)力波波動方程的自變量個數(shù)

6、，應(yīng)力波可分為一維應(yīng)力波，二維應(yīng)力波和三維應(yīng)力波。另外，應(yīng)力波也可分為入射波、反射波和透射波，加載波和卸載波，以及連續(xù)性波和間斷波等。 第節(jié) 應(yīng)力波的基本概念波函數(shù)展開法 應(yīng)力波方程的求解方法 該方法的思想是將位移場u分解成無旋場和旋轉(zhuǎn)場，實質(zhì)是一種分離變量解法。適用于求解均勻各向同性介質(zhì)中彈性波二維、三維問題和柱體、球體中的波傳播問題。對于各向異性和不均勻介質(zhì)，則因無法分離變量而難于采用此種方法。積分方程法 如果研究的波動問題涉及擾動源，可用積分方程法求解。積分方程表達(dá)式可以通過格林函數(shù)方法和變分方法推導(dǎo)而得，求解問題的關(guān)鍵在于格林函數(shù)的確定。該方法對于求解均勻各向異性問題是有效的，對不均勻

7、介質(zhì)，因格林函數(shù)是未知的而不能求解。此方法是近似理論如有限元法和邊界元法的基礎(chǔ)。第節(jié) 應(yīng)力波的基本概念積分變換法 應(yīng)力波方程的求解方法 該法的思路是把原函數(shù)空間中難以求解的問題進(jìn)行變換，化為函數(shù)空間較簡單的問題去求解，然后進(jìn)行逆變換最后得到問題的解。此法難點在于逆變換很難找到精確解。積分變換類型是多種多樣的，常見的有Laplace變換、Fourier變換、Hankel變換，這一方法常用于求瞬態(tài)波動問題，對于非線性問題則無能為力。廣義射線法 該法是研究層狀介質(zhì)中彈性瞬態(tài)波傳播的有效方法。其優(yōu)點在于有明顯的物理特征：它是將由波源發(fā)出而在某一瞬時到達(dá)接收點的波分解為直接到達(dá)、經(jīng)一次反射到達(dá)、經(jīng)二次反

8、射到達(dá)經(jīng)N次反射到達(dá)的波疊加而得，清晰地反映了瞬態(tài)波的傳播過程。第節(jié) 應(yīng)力波的基本概念特征線法 應(yīng)力波方程的求解方法 特征線法實質(zhì)上是基于沿特征線的數(shù)值積分。該法對研究應(yīng)力波傳播問題有特殊的意義，因為特征線實際上就是擾動傳播或波前進(jìn)的路線。找到了特征線，就有了問題的解，而且可以給出清晰的圖像。特征線法對線性、非線性問題都較為有效，它已成為應(yīng)力波研究的經(jīng)典方法。大體上說，特征線法有其獨特的優(yōu)點，理論體系便于應(yīng)用在二維和三維波傳播問題中，求解起來方便可靠，有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。其他方法 目前應(yīng)用較成熟的有T-矩陣法、譜方法和波慢度法、反射率法、有限差分法、有限元法、邊界元法、攝動法和小波變換法等等，

9、它們都在各種具體問題的研究中發(fā)揮著作用。第節(jié) 應(yīng)力波的基本概念應(yīng)用領(lǐng)域 應(yīng)力理論的應(yīng)用 武器效應(yīng)、航空航天工程、國防工程、礦山及交通機(jī)械、爆破工程、安全防護(hù)工程、地震監(jiān)測、石油勘探、水利工程、建筑工程等。應(yīng)用技術(shù)發(fā)展 應(yīng)力波打樁、應(yīng)力波探礦及探傷、應(yīng)力波鉚接、缺陷的探測和表征、超聲傳感器性能描述、聲學(xué)顯微鏡的研制、殘余應(yīng)力的超聲測定、聲發(fā)射等甚至正在發(fā)展為專門的技術(shù)。服務(wù)其他學(xué)科 是固體力學(xué)中極為活躍的前沿課題，是現(xiàn)代聲學(xué)、地球物理學(xué)、爆炸力學(xué)和材料力學(xué)性能研究的重要基礎(chǔ)。 第2節(jié) 無限介質(zhì)中的彈性波方程概 述 動載荷作用的物體或處于靜載荷作用初始階段的物體，內(nèi)部的應(yīng)力、變形、位移不僅是位置的

10、函數(shù)，而且還將是時間的函數(shù)。在建立平衡方程時，除考慮應(yīng)力、體力外，還需要考慮由于加速度而產(chǎn)生的慣性力。 第2節(jié) 無限介質(zhì)中的彈性波方程動態(tài)平衡方程 以u、v、w表示位移，表示密度，則相應(yīng)的慣性力密度分量為 于是，可以寫出動態(tài)平衡方程（2-1） 第2節(jié) 無限介質(zhì)中的彈性波方程波動方程推導(dǎo)過程 利用幾何方程和物理方程，并略去體力，可將平衡方程（2-1）化為按位移法求解動力問題所需的基本微分方程 其中（2-2） 第2節(jié) 無限介質(zhì)中的彈性波方程波動方程推導(dǎo)過程 引入位移勢函數(shù)平衡方程中的e可表示為取位移勢函數(shù)由于旋轉(zhuǎn)量則有同理因此（a）式表示的位移為無旋位移。相應(yīng)于這種狀態(tài)的彈性波稱為無旋波。（a）

11、第2節(jié) 無限介質(zhì)中的彈性波方程波動方程推導(dǎo)過程 把平衡方程中的e用位移勢函數(shù)表示其中由于將以上各式代入式（2-2），經(jīng)化簡即得無旋波的波動方程則有（b）（2-3）（2-4） 第2節(jié) 無限介質(zhì)中的彈性波方程波動方程推導(dǎo)過程 等容波波動方程其中如果設(shè)彈性物體中發(fā)生的位移u、v、w滿足則這樣的位移為等容位移，相應(yīng)于這種狀態(tài)的彈性波稱為等容波。將上式代入式2.2，得等容波的波動方程（2-5）（2-6） 第2節(jié) 無限介質(zhì)中的彈性波方程波動方程推導(dǎo)過程 波動方程的統(tǒng)一形式無旋波和等容波是彈性波的兩種基本形式。它們的波動方程可以統(tǒng)一寫為上式中c表示彈性波波速度。對無旋波，c=c1；對等容波c=c2。并且可以

12、證明：在彈性體中，應(yīng)力、變形、位移等都將和位移以相同的方式與速度進(jìn)行傳播。（2-7） 第3節(jié) 一維長桿中的應(yīng)力波描述運(yùn)動的坐標(biāo)系 研究物質(zhì)的運(yùn)動，總是要在一定的坐標(biāo)系里進(jìn)行。對于波動問題，可供選擇的坐標(biāo)系有兩種，這就是拉格朗日（Lagrange）坐標(biāo)和歐拉(Euler)坐標(biāo)。拉格朗日坐標(biāo)也稱物質(zhì)坐標(biāo)，采用介質(zhì)中固定的質(zhì)點來觀察物質(zhì)的運(yùn)動，所研究的是在給定的質(zhì)點上各物理量隨時間的變化，以及這些物理量由一質(zhì)點轉(zhuǎn)到其它質(zhì)點時的變化。歐拉坐標(biāo)在空間固定點來觀察物質(zhì)的運(yùn)動，所研究的是在給定的空間點以不同時刻到達(dá)的不同質(zhì)點的物理量隨時間的變化，以及這些量由一空間點轉(zhuǎn)到其它空間點時的變化。 第3節(jié) 一維長桿

13、中的應(yīng)力波描述運(yùn)動的坐標(biāo)系 拉格朗日（Lagrange）坐標(biāo)和歐拉(Euler)坐標(biāo)的等價定義：拉格朗日坐標(biāo)拉格朗日法又稱隨體法：跟隨質(zhì)點運(yùn)動，記錄該質(zhì)點在運(yùn)動過程中物理量隨時間變化規(guī)律。歐拉坐標(biāo)歐拉法又稱當(dāng)?shù)胤ǎ簩⒛乘矔r占據(jù)某空間點的流體質(zhì)點物理量作為該空間點的物理量，物理量隨空間點位置和時間而變化。 第3節(jié) 一維長桿中的應(yīng)力波描述運(yùn)動的坐標(biāo)系 拉格朗日（Lagrange）坐標(biāo)和歐拉(Euler)坐標(biāo)的舉例說明比如：城市公共交通部門采用兩種方法統(tǒng)計客運(yùn)量：在每一輛公交車上設(shè)安排記錄員，記錄每輛車在不同時刻（站點）上下車人數(shù)，此法稱為隨體法；在每一站點設(shè)記錄員，記錄不同時刻經(jīng)過該站點的車輛上下

14、車人數(shù)，此法稱為當(dāng)?shù)胤ā?第3節(jié) 一維長桿中的應(yīng)力波描述運(yùn)動的坐標(biāo)系 拉格朗日（Lagrange）坐標(biāo)和歐拉(Euler)坐標(biāo)的表示方法在歐拉坐標(biāo)中，介質(zhì)的運(yùn)動表現(xiàn)為不同的質(zhì)點在不同時刻占據(jù)不同的空間點坐標(biāo)x，于是有在拉格朗日坐標(biāo)中，質(zhì)點的位置X（也可表示質(zhì)點本身）是空間點坐標(biāo)x和時間t的函數(shù)，即 第3節(jié) 一維長桿中的應(yīng)力波描述運(yùn)動的坐標(biāo)系 拉格朗日（Lagrange）坐標(biāo)中的波速描述（2-8）式表示跟隨同一質(zhì)點觀察到的空間位置的變化率，叫隨體微商或物質(zhì)微商。在拉格朗日坐標(biāo)中，特定質(zhì)點X運(yùn)動的速度寫為 （28）在拉格朗日坐標(biāo)中，假定在時刻t 波陣面?zhèn)鞯劫|(zhì)點X，以X=(t)表示波陣面在拉格朗日坐

15、標(biāo)中的傳播規(guī)律，則（210）稱為拉格朗日或物質(zhì)波速。 第3節(jié) 一維長桿中的應(yīng)力波描述運(yùn)動的坐標(biāo)系 歐拉(Euler)坐標(biāo)中的波速描述如果在歐拉坐標(biāo)中觀察物質(zhì)的波動，設(shè)時刻t 波陣面?zhèn)鞯娇臻g點x，以x=(t)表示波陣面在歐拉坐標(biāo)中的傳播規(guī)律，則（29）稱為歐拉波速或空間波速。 第3節(jié) 一維長桿中的應(yīng)力波描述運(yùn)動的坐標(biāo)系 兩種坐標(biāo)體系中波速的關(guān)系一般來說，兩種波速是不同的，除非波陣面前方的介質(zhì)靜止且無變形。（211）在一維運(yùn)動中，有式中稱為名義應(yīng)變或工程應(yīng)變。由此可推得平面波傳播時的空間波速與物質(zhì)波速的如下關(guān)系（212） 第3節(jié) 一維長桿中的應(yīng)力波一維應(yīng)力波的基本假定 研究一維等截面均勻長桿的縱向

16、波動，通常在拉格朗日中進(jìn)行。為使問題得到簡化，需要作如下兩個基本假設(shè)第一基本假設(shè)桿截面在變形過程中保持為平面，沿軸向只有均布的軸向應(yīng)力。從而使各運(yùn)動參量都只是X和t的函數(shù)，問題化為一維問題。第二基本假設(shè)將材料的本構(gòu)關(guān)系限于應(yīng)變率無關(guān)理論，即認(rèn)為應(yīng)力只是應(yīng)變的單值函數(shù)，不計入應(yīng)變率對應(yīng)力的影響，這樣材料的本構(gòu)關(guān)系可寫為（213） 第3節(jié) 一維長桿中的應(yīng)力波一維桿中縱波的控制方程取變形前（t=0時）一維桿材料質(zhì)點的空間位置為物質(zhì)坐標(biāo)，桿軸為X軸。圖2-1所示。桿變形前的原始截面積為A0，原始密度為0，其它材料性能參數(shù)均與坐標(biāo)無關(guān)，于是可以得到一維桿波動的基本方程（控制方程），包括：質(zhì)量守衡方程或連

17、續(xù)方程、動力學(xué)方程或動量守衡方程和材料本構(gòu)方程或物性方程。圖2-1 一維桿中的應(yīng)力波 第3節(jié) 一維長桿中的應(yīng)力波一維桿中縱波的控制方程質(zhì)量守衡方程或連續(xù)方程動力學(xué)方程、動量守衡方程或運(yùn)動方程材料本構(gòu)方程或物性方程（213）（215）（214）這樣便得到了關(guān)于變量、和v的封閉控制方程組（2-13）-(2-15)。結(jié)合給定的初始條件和邊界條件，求解三個未知函數(shù)。（2-13）-(2-15)經(jīng)過變換，與二階微分方程形式的波動方程完全等價（219） 第4節(jié) 一維桿中應(yīng)力波方程的特征線求解特征線的定義特征線方法是求解雙曲線型偏微分方程的主要方法之一，在應(yīng)力波傳播的研究中占有重要的地位，特別在一維波的傳播研

18、究中得到了廣泛的應(yīng)用。實質(zhì)上，特征線方法是把解兩個自變量的二階擬線性偏微分方程的問題化為解特征線上的常微分方程的問題。方程（2-19）為雙曲線型偏微分方程，有兩條實特征線，可用特征線方法來求解。 第4節(jié) 一維桿中應(yīng)力波方程的特征線求解特征線有多種不同且是相互等價的定義方法。這里僅介紹方向?qū)?shù)定義法。在只包含自變量 (X,t)的平面上，如果存在曲線S(X,t)，使得能夠把二階偏微分方程轉(zhuǎn)化為等價的一階偏微分方程組的線性組合，化為其上的方向?qū)?shù)的形式，則該曲線稱為相應(yīng)偏微分方程的特征線。特征線的定義（224）式就是（219）式波動方程的特征線的微分方程（詳細(xì)推導(dǎo)過程見講義），對其積分便可得特征線方

19、程。正、負(fù)號分別表示過平面上的任一點存在右行、左行兩族特征線。（224） 第4節(jié) 一維桿中應(yīng)力波方程的特征線求解根據(jù)特征線的構(gòu)造過程，可得到特征線上的相容關(guān)系式（2-25）即是特征線上質(zhì)點速度v和必須滿足的制約關(guān)系，稱為特征線上的相容關(guān)系。式（2-25）也稱為平面上的特征線。這樣，就把解偏微分方程（2-19）化為求解特征線方程（2-24）及相應(yīng)的相容關(guān)系（2-25）的常微分方程問題。（225） 第4節(jié) 一維桿中應(yīng)力波方程的特征線求解許多時候，我們需要知道波陣面上的守恒關(guān)系。由于右行波的波陣面總是穿過左行波的特征線，因此在右行波的波陣面上，質(zhì)點速度v和應(yīng)變之間有下式第一式的守恒關(guān)系。同理，在左行

20、波的波陣面上，有以下式第二式的守恒關(guān)系波陣面上的守恒關(guān)系（226） 第4節(jié) 一維桿中應(yīng)力波方程的特征線求解根據(jù)前面的推導(dǎo)，方程（2-19）表示的桿中波動在平面（X，t）上存在右行、左行兩族特征線。這些特征先在平面（X，t）上形成十字交叉網(wǎng)格，按照精度要求，選取合適的間隔距離，并把網(wǎng)格四邊的微段看成直線，如果已知相鄰兩個點1、2的有關(guān)參數(shù)及波速C，則可以求出過1點右行特征線與過2點左行特征線交點3的參數(shù)，如圖2-2所示。半無限長桿中一維彈性應(yīng)力波的特征線解圖2-2 （a）平面(X,t)上的特征線；（b）平面(v,)上的特征線 第4節(jié) 一維桿中應(yīng)力波方程的特征線求解(2-27)中四個代數(shù)方程求解四

21、個未知數(shù) ，3點的參數(shù)是確定的，而且是唯一的。下面就半無限長桿中的彈性波求解進(jìn)行詳細(xì)討論。半無限長桿中指的是X在0到之間取值，因而只有沿X軸正方向的單向波，沒有反射波的情況。此外，還作出限制： 或 ，以簡化分析。半無限長桿中一維彈性應(yīng)力波的特征線解（227） 第4節(jié) 一維桿中應(yīng)力波方程的特征線求解這時，材料的本構(gòu)關(guān)系可用Hooke定律表達(dá)，即式（2-13）具體化為 半無限長桿中一維彈性應(yīng)力波的特征線解線彈性波（228）式中E為Young模量。進(jìn)而，由式2.16得彈性應(yīng)力波速度于是波動方程（2-19）變?yōu)?第4節(jié) 一維桿中應(yīng)力波方程的特征線求解由于C0為常數(shù)，對特征線與相容方程（2-24）與（2

22、-25）積分，并引入積分常數(shù)1、2與R1、R2，得 半無限長桿中一維彈性應(yīng)力波的特征線解線彈性波有時稱R1和R2為Riemann不變量。（右行波） （2-29）（左行波） （2-29a） 第4節(jié) 一維桿中應(yīng)力波方程的特征線求解如圖2-3所示，OA為經(jīng)過原點O的右行特征線(1 =0)。在XOA區(qū)，沿OX軸的v和由初始條件給出，是已知的，而區(qū)內(nèi)任一點P的右行特征線QP與左行特征線RP都與OX軸相交，于是有 半無限長桿中一維彈性應(yīng)力波的特征線解線彈性波沿QP沿RP假設(shè)問題具有如下初始條件和邊界條件：初始條件（230）邊界條件（2-30a）式中R+表示正的實數(shù)集。圖2-3 半無限長桿中的彈性應(yīng)力波求解

23、 第4節(jié) 一維桿中應(yīng)力波方程的特征線求解由此知，對恒值初始條件，即v(Q)=v(R)=常數(shù)， (Q)=(R)=常數(shù)，總有： v(P)=v(Q)=v(R) ， (P)= (Q)= (R) ，XOA區(qū)總是恒值區(qū)。對當(dāng)前初、邊值條件，在XOA區(qū)v= =0 . 這種在任意線段QR（不一定與X軸平行）上給定v和，則可在由QR和特征線QP、RP為界的曲線區(qū)域QPR中求得單值解的問題，稱為初值問題或Cauchy問題。半無限長桿中一維彈性應(yīng)力波的特征線解線彈性波由以上兩式解得P點的v和為（231） 第4節(jié) 一維桿中應(yīng)力波方程的特征線求解右行特征線CB總交于t軸，沿t軸的v由邊界條件給出，于是R1由C點的v0(

24、)確定為(為BC線在t軸上的截距) 半無限長桿中一維彈性應(yīng)力波的特征線解線彈性波現(xiàn)在討論AOt的情況。經(jīng)過任一點B的左行特征線BD總交于OA，沿OA線v=0，因此在AOt區(qū)恒有R2=0，同時也恒有（232）B點處的X為 圖2-3 半無限長桿中的彈性應(yīng)力波求解因而AOt區(qū)任意點處的v和可確定為（233） 第4節(jié) 一維桿中應(yīng)力波方程的特征線求解半無限長桿中一維彈性應(yīng)力波的特征線解彈塑性波以Y表示材料在一維應(yīng)力下的動態(tài)屈服極限，則當(dāng)桿中的速度v大于某一極限值vy （稱為屈服速度）時，即 是應(yīng)變的函數(shù)，一般不再是常數(shù)，因而特征線及其相容關(guān)系一般也不再是直線。雖然問題仍用特征線法按類似于彈性波的步驟求解

25、，但問題變得復(fù)雜，難度增加。（234）滿足（2-34）式時，材料進(jìn)入塑性狀態(tài)，桿中傳播塑性波。這一條件下，波速 第5節(jié) 一維彈性應(yīng)力波的反射與透射兩彈性波的相互作用問題的提出 一原來處于靜止的彈性桿，在左端和右端受到突加恒值沖擊載荷，于是從桿的兩端發(fā)出迎面?zhèn)鞑サ膬蓚€強(qiáng)間斷彈性波（應(yīng)力 、 應(yīng)變、質(zhì)點速度v等狀態(tài)參數(shù)跨過波陣面時發(fā)生突變），分析兩彈性波相遇時應(yīng)力波的變化規(guī)律。 第5節(jié) 一維彈性應(yīng)力波的反射與透射兩彈性波的相互作用圖解法 兩個彈性波分別用在平面（X，t）上右行特征線OA和左行特征線LA表示。左行波波陣面通過之處，即跨過左行特征線LA，桿將處于1、1 、v1狀態(tài)，并根據(jù)式2.26及彈

26、性波的性質(zhì)，有同理，右行波波陣面通過之處，即跨過右行特征線OA，桿將處于2、2 、v2狀態(tài)，并有 第5節(jié) 一維彈性應(yīng)力波的反射與透射兩彈性波的相互作用圖解法 在兩波相遇瞬間，斷面右方桿具有質(zhì)點速度v1，左方桿具有質(zhì)點速度v2，緊隨其后，將由兩波相遇處向桿的兩側(cè)傳播新的右行波AB和左行波AD，新的右行波波陣面通過之處，即跨過特征線AB，桿的狀態(tài)將由 1、1 、v1突躍到3、3 、v3 ，按波陣面上的守恒關(guān)系，應(yīng)有 第5節(jié) 一維彈性應(yīng)力波的反射與透射兩彈性波的相互作用圖解法 同理，新的左行波波陣面通過之處，即跨過特征線AD，桿的狀態(tài)將由 2、2 、v2突躍到3、3 、v3 ，有 第5節(jié) 一維彈性應(yīng)

27、力波的反射與透射兩彈性波的相互作用圖解法 根據(jù)兩波相遇后相遇界面應(yīng)滿足質(zhì)點速度相等、應(yīng)力相等的條件，有這樣就可由（，v）平面上過點1的左行特征線與過點2的右行特征線確定其交點3。 第5節(jié) 一維彈性應(yīng)力波的反射與透射兩彈性波的相互作用解析法 由前面的分析知，根據(jù)兩波相遇后相遇界面應(yīng)滿足質(zhì)點速度相等、應(yīng)力相等的條件，可得二元代數(shù)方程解之得（235）（236）式（2-36）表明：兩彈性波相互作用時，其結(jié)果可由兩作用波分別單獨傳播時的結(jié)果進(jìn)行代數(shù)疊加而得。由于彈性波的控制方程是線性的，因而疊加原理必定成立。第5節(jié) 一維彈性應(yīng)力波的反射與透射彈性波在固定端和自由端的反射基本方法有限長桿中的彈性波傳播到另

28、一端時，將發(fā)生反射，邊界條件決定反射波的性質(zhì)入射波與反射波的總的效果可按疊加原理確定，反射過程的處理可按兩彈性波相互作用的特例進(jìn)行分析。第5節(jié) 一維彈性應(yīng)力波的反射與透射彈性波在固定端和自由端的反射實例分析對圖2-5的情況，如果v2=-v1，則有v3=0，3=21，（圖a），即兩波相遇處質(zhì)點速度為0，而應(yīng)力加倍。這相當(dāng)于法向入射彈性波在固定端（剛壁）的反射，因此法向入射彈性波在固定端反射時，可把端面想象為一面鏡子，反射波正好是入射波的正象。拉伸波反射為拉伸波，壓縮波反射為壓縮波。如果v2=v1，則有v3=2v1，3=0，（圖b），即兩波相遇處質(zhì)點速度加倍，而應(yīng)力為0 。這相當(dāng)于法向入射彈性波在

29、固定端（剛壁）的反射波正好是入射波的倒象。拉伸波反射為壓縮波，壓縮波反射為拉伸波。第5節(jié) 一維彈性應(yīng)力波的反射與透射不同介質(zhì)界面上彈性波的反射與透射基本概念設(shè)有彈性波從介質(zhì)1傳播到介質(zhì)2，傳播方向垂直于兩介質(zhì)的界面（這種情況稱為正入射）。當(dāng)兩介質(zhì)的波阻抗不同時，在界面處應(yīng)力波將發(fā)生反射與透射，反射與透射的情況與介質(zhì)的波阻抗密切相關(guān)。所謂波阻抗即是介質(zhì)的密度與縱波速度的乘積。如圖2-8所示，當(dāng)從介質(zhì)1向介質(zhì)2傳播的彈性波到達(dá)界面時，無論對介質(zhì)1還是介質(zhì)2都將引起一個擾動，這就是波的反射與透射。返回介質(zhì)1中傳播的波叫反射波，進(jìn)入介質(zhì)2中傳播的波叫透射波。假定兩介質(zhì)界面始終保持接觸，即：既能承壓又能

30、承拉而不分離，于是根據(jù)牛頓第三定律，界面兩側(cè)質(zhì)點速度和應(yīng)力之間有以下關(guān)系。第5節(jié) 一維彈性應(yīng)力波的反射與透射不同介質(zhì)界面上彈性波的反射與透射假定兩介質(zhì)界面始終保持接觸，即：既能承壓又能承拉而不分離，于是根據(jù)牛頓第三定律，界面兩側(cè)質(zhì)點速度和應(yīng)力之間有以下關(guān)系分析方法（237）式中下標(biāo)I、R和T分別表示入射波、反射波和透射波的有關(guān)參量。第5節(jié) 一維彈性應(yīng)力波的反射與透射不同介質(zhì)界面上彈性波的反射與透射由波陣面上的守恒條件，將式（2-37）改寫成分析方法（238）解得（239）（240）其中F和T分別稱為反射系數(shù)與透射系數(shù)，完全取決于兩介質(zhì)波阻抗的比值n。顯然有第5節(jié) 一維彈性應(yīng)力波的反射與透射不同

31、介質(zhì)界面上彈性波的反射與透射如果(0c0)1(0c0)2 ，n1，則F0。這時，反射波與入射波同號，透射波在應(yīng)力幅值上強(qiáng)于入射波（T1）。這稱為應(yīng)力波由“軟”材料傳入“硬”材料的情況。若(0c0)2 =，n=0，則有T=2，F(xiàn)=1。這相當(dāng)于彈性波在剛壁（固定端）的反射。不同介質(zhì)反射與透射波分析如果(0c0)1(0c0)2 ，n1，則F0。這時，反射波與入射波異號，透射波在應(yīng)力幅值上弱于入射波（T1）。這稱為應(yīng)力波由“硬”材料傳入“軟”材料的情況。由此可解釋各種軟墊能起到減震作用。若(0c0)2 =0，n= ，則有T=0，F(xiàn)=-1。這相當(dāng)于彈性波在自由端的反射。第5節(jié) 一維彈性應(yīng)力波的反射與透射

32、不同介質(zhì)界面上彈性波的反射與透射不同介質(zhì)反射與透射波分析即使兩種介質(zhì)的0與c0不同，只要其波阻抗相同，即(0c0)1=(0c0)2 ，有n=1，則彈性波通過兩種介質(zhì)的界面時不反射，稱之為阻抗匹配。變截面桿中波的傳播、發(fā)射與透射自學(xué)。彈性波斜入射時的反射與透射自學(xué)。 第7節(jié) 應(yīng)力波反射引起的破壞這種由壓應(yīng)力波在自由表面反射造成的動態(tài)斷裂稱為剝落或?qū)恿?，飛出的裂片稱為痂片。層裂的發(fā)生還在于大多數(shù)工程材料的拉伸強(qiáng)度低于其壓縮強(qiáng)度。最早發(fā)現(xiàn)并研究這種動態(tài)剝落現(xiàn)象的是 Hopkinson，因此也稱這種破壞為Hopkinson破裂。由前面幾節(jié)的討論知道，入射到自由表面的壓縮波經(jīng)反射會形成拉伸波。這些反射回

33、來的拉伸波將與入射壓縮波的后續(xù)部分相互作用，其的結(jié)果有可能在鄰近自由表面附近造成拉應(yīng)力，如果所形成的拉應(yīng)力滿足某種動態(tài)的斷裂準(zhǔn)則，則將在該處引起材料破壞，裂口足夠大時，整塊的裂片便會攜帶著其中的動量而飛離。 概 述 第7節(jié) 應(yīng)力波反射引起的破壞圖2-13給出了混凝土桿在一端接觸爆炸時它的另一端產(chǎn)生剝落的示意圖，圖2-14是一厚鋼板在炸藥接觸爆炸時其背面發(fā)生層裂的示意圖。 在層裂過程中，在第一層層裂出現(xiàn)的同時，也形成了全新的自由表面，繼續(xù)入射壓力脈沖將在新自由表面上反射，從而有可能造成第二層層裂，依次類推，在一定條件下，可能形成多層層裂，產(chǎn)生一系列的痂片。 概 述圖2-13 混凝土桿的層裂現(xiàn)象圖2-14 厚鋼板的層裂現(xiàn)象 第7節(jié) 應(yīng)力波反射引起的破壞下面對三角形應(yīng)力波反射引起層裂的情況進(jìn)行分析。圖2-15a為一三角形應(yīng)力波向自由面正入射，圖2-15b表明入射一開始便出現(xiàn)了凈拉應(yīng)力，凈拉應(yīng)力的值在波頭最大，并隨著反射的繼續(xù)而增大，圖2-15c所示為應(yīng)力波一半反射時，凈拉應(yīng)力達(dá)到最大，等