D63二階常系數(shù)非齊次線性微分方程課件

1、三、常系數(shù)二階線性齊次微分方程的通解:特征方程:實根 特 征 根通 解第1頁，共23頁。1. 求方程的通解.方程的通解為課堂練習(xí)2. 求方程的通解.方程的通解為第2頁，共23頁。四、二階線性微分方程舉例 當(dāng)重力與彈性力抵消時, 物體處于 平衡狀態(tài), 例4. 質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運動,解:阻力的大小與運動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標(biāo)原點,建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)時刻 t 物位移為 x(t).(1) 自由振動情況.彈性恢復(fù)力物體所受的力有:(虎克定律)成正比, 方向相反.建立位移滿足的微分方程.第3頁，共23頁。

2、據(jù)牛頓第二定律得則得有阻尼自由振動方程:阻力位移滿足定解問題:第4頁，共23頁。方程:特征方程:特征根:利用初始條件得:故所求特解:方程通解:1) 無阻尼自由振動情況 ( n = 0 )第5頁，共23頁。解的特征:簡諧振動 A: 振幅, : 初相,周期: 固有頻率 (僅由系統(tǒng)特性確定)第6頁，共23頁。方程:特征方程:特征根:小阻尼: n k臨界阻尼: n = k 解的特征解的特征解的特征第7頁，共23頁。小阻尼自由振動解的特征 : 由初始條件確定任意常數(shù)后變形運動周期:振幅: 衰減很快,隨時間 t 的增大物體趨于平衡位置.第8頁，共23頁。大阻尼解的特征:( n k )1) 無振蕩現(xiàn)象; 此

3、圖參數(shù): 2) 對任何初始條件即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.第9頁，共23頁。臨界阻尼解的特征 :( n = k )任意常數(shù)由初始條件定, 最多只與 t 軸交于一點; 即隨時間 t 的增大物體總趨于平衡位置.2) 無振蕩現(xiàn)象 ;此圖參數(shù): 第10頁，共23頁。二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 第六節(jié)一、二、 第六章 （略）第11頁，共23頁。一、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) 是二階非齊次方程的一個特解, Y (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理 1.則是非齊次方程的通解 .證: 將代入方程左端, 得第12頁，共23頁。是非齊次方程的解,又Y 中含有兩個獨立任意常數(shù),例如, 方程有特解對應(yīng)齊次方程

4、有通解因此該方程的通解為證畢因而 也是通解 .第13頁，共23頁。二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法第14頁，共23頁。一、 為實數(shù) ,設(shè)特解為其中 為待定多項式 , 代入原方程 , 得 為 m 次多項式 .(1) 若 不是特征方程的根, 則取從而得到特解形式為Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項式第15頁，共23頁。(2) 若 是特征方程的單根 , 為m 次多項式,故特解形式為(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多項式,故特

5、解形式為小結(jié)對方程,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .即即當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時,可設(shè)特解第16頁，共23頁。例1.的一個特解.解: 本題而特征方程為不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為代入方程 :比較系數(shù), 得于是所求特解為第17頁，共23頁。例2. 的通解. 解: 本題特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù), 得因此特解為代入方程得所求通解為第18頁，共23頁。 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,則設(shè)特解為（略）3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.常系數(shù)二階線性非齊次微分方程的特解:第19頁，共23頁。1. 求方程 y a2 y ex的通解. （P365, 1(2)） 課堂練習(xí)3. 寫出方程的特解形式. 2. 求特解： y4y5 y|x0 1 y|x0 0 . ( P366, 3(2) )( P365, 2(1) )第20頁，共2