大學高等數(shù)學經(jīng)典課件10-6

1、第六節(jié) 高 斯 公 式通量與散度 1.定理: 設空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成,函數(shù)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在上具有一階連續(xù)偏導數(shù).則有:此時,是的整個邊界曲面的外側,cos,cos,cos是上點(x,y,z)處的法向量的方向余弦,以上二式稱為高斯公式.注意: 高斯公式表達了空間區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系.證明:現(xiàn)在我們只要證第一式即可,因為一,二式右端相等,把第一式分為三式:現(xiàn)在證(3)xyz1:z=z1(x,y)3Dxy2:z=z2(x,y)條件:(1)設閉區(qū)域在xoy平面上的投影區(qū)域為Dxy:(2)設穿過內部且平行于z軸的直線與的

2、邊界曲面的交點恰好是兩個;(3)=1+ 2+ 31方程 z=z1(x,y) 2方程 z=z2(x,y) z1(x,y)z2(x,y)(4) 1取下側, 2取上側面, 3是以Dxy的邊界曲線為準線,母線平行于z軸的柱面上的一部分,取外側面.則(3)式左邊:(3)式右邊:(簡寫)xyz1:z=z1(x,y)3Dxy2:z=z2(x,y)以上三式相加,有故(3)式成立,有對于(1)與(2)式,同樣可得: 如果穿過內部,且平行于x軸的直線與的邊界曲面的交點恰好為兩個.有:如果穿過內部,且平行于y軸的直線與的邊界曲面的交點恰好為兩個.有:成立成立(1),(2),(3)式兩端分別相加,即:即高斯公式2.

3、對不作限制時高斯公式仍然成立: 即穿過內部且平行于坐標軸的直線與的邊界曲面交點多于兩個,可引輔助面把分成有限個閉區(qū)域,使得每個閉區(qū)域滿足條件并可見沿輔助面相反兩側面的兩個曲面積分的絕對值相等而符號相反,相加時正好抵消,因而高斯公式仍然成立.例1 利用高斯公式計算曲面積分:xyzo其中為柱面x2+y2=1及平面z=0,z=3所圍成的空間閉區(qū)域的整個邊界曲面的外側面.解:因為由已知:P=(y-z)x, Q=0, R=x-y柱面坐標計算例2 利用高斯公式計算曲面積分其中為錐面x2+y2=z2介于平面z=0及z=h(h0)之間的部分的下側,cos,cos,cos是在點(x,y,z)處的法向量的方向余弦

4、.解:加輔助面1:z = h(x2+y2h2) 的上側面 +1構成一個封閉曲面,才能應用高斯公式. 記+1圍成的空間閉區(qū)域為. 用高斯公式:xyz所以所以二. 沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件 現(xiàn)在我們研究在怎樣的條件下,曲面積分如果G內任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G,則稱G是空間二維單連通區(qū)域:如果G內任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面,則稱G為空間一維單連通區(qū)域.與曲面無關而取決于的邊界曲線?這問題相當于在怎樣的條件下,沿任意閉曲面的曲面積分為零?這問題可用高斯公式來解決.先介紹空間二維單連通區(qū)域及一維單連通區(qū)域的概念.對空間區(qū)域G例如球面所圍成的區(qū)域既是空間二維單連通的,又是空間一維

5、單連通的;環(huán)面所圍成的區(qū)域是空間二維單連通的,但不是空間一維單連通的;兩個同心球面之間的區(qū)域是空間一維單連通的,但不是空間二維單連通的.對于沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件,我們有以下結論: 定理2設G是空間二維單連通區(qū)域,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在G內具有一階連續(xù)偏導數(shù),則曲面積分在G內與所取的曲面無關而只取決于的邊界曲線(或沿G內任一閉曲面的曲面積分為零)的充分必要條件是在G內恒成立證明:若等式(4)在G內恒成立,則由高斯公式(1)立即看出沿G內任意閉曲面的曲面積分為零,因此條件(4)是充分的.反之,設沿G內的任一閉曲面的曲面積分為零,若等式(4)在G內不恒成立

6、,就是說在G內至少有一點M0使得按P146平面上曲線積分與路徑無關的條件用的方法,可得到G內存在著閉曲面使沿該閉曲面的曲面積分不等于零,這與假設有矛盾因此條件(4)是必要的.其中為x2+y2+z2=1, (z0)的上側面分析: 由于所以沿的曲面積分與沿xoy平面的平面區(qū)域x2+y2=1 (z=0) 的上側的曲面積分相同,故例3 計算若在G內則曲面積分在G 內與所取曲面無關,而只取決于的邊界曲線三.通量與散度下面來解釋高斯公式(1) 的物理意義. 設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體(假定密度為1的)的速度場由給出,其中P,Q,R假定具有一階連續(xù)偏導數(shù),是速度場中一片有向曲面,又 n=cosi+cosj+c

7、osk 是在點(x,y,z)處的單位法向量,則由P160知道,單位時間內流體經(jīng)過流向指定側的流體總質量可用曲面積分來表示:表流體的速度向量v在有向曲面的法向量上的投影,如果是高斯公式(1)中閉區(qū)域的邊界曲面的外側,那么公式(1)的右端可解釋為單位時間內離開閉區(qū)域的流體的總質量,由于我們假定流體是不可壓縮的,且流動是穩(wěn)定的,因此在流體離開的同時,內部必須有產(chǎn)生流體的“源頭”產(chǎn)生出同樣多的流體來進行補充.所以高斯公式左端可解釋為分布在內的“源頭“在單位時間內所產(chǎn)生的流體的總質量.為了簡便起見,把高斯公式(1)改寫為以閉區(qū)域的體積V除上式兩端,得到上式左端表示內的源頭在單位時間單位體積內所產(chǎn)生的流體

8、質量的平均值.應用積分中值定理于上式左端,得到這里的(,)是內的某個點,令縮向一點M(x,y,z),取上式的極限,得到上式的左端稱為v在點M的散度,記作divv,即divv在這里可看作穩(wěn)定流動的不可壓縮流體在點M的源頭強度-在單位時間單位體積內所產(chǎn)生的流體質量.叫做向量場高斯公式現(xiàn)在可寫成如果divv為負,表示點M處流體在消失. 一般地,設某向量場由給出,其中P,Q,R具有一階連續(xù)導數(shù),是場內的一片有向曲面,n是在點(x,y,z)處的單位法向量,則A通過曲面向著指定側的通量(或流量)叫做向量場A的散度,記作divA,即而其中是空間閉區(qū)域的邊界曲面,而是向量A在曲面的外側法向量上的投影.散度的物理意義是單位時間內,質點流出的流量.高斯公式其中是閉區(qū)域的邊界曲面的外側面.應用高斯公式時容易出的錯誤: (1)p,Q,R的函數(shù)如何確定,它對什么變量求導. p是dydz前面的函數(shù),dydz (缺少x),故p對x求偏導, 即缺少什么的函數(shù)對缺少的求導. (2)在不滿足高斯公式的條件下,應用高斯公式計算. 高斯公式要求積分曲面是光滑的閉曲面.若它不是封閉的,則可加一塊使它