山東大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件33中心極限定理

1、 中心極限定理的客觀背景 在實際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響. 空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對我們來說重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等. 觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布. 自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見. 現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題. 當(dāng)n無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢

2、？ 由于無窮個隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們不研究n個隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限.的分布函數(shù)的極限. 可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 考慮中心極限定理這就是下面要介紹的 在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.我們只討論幾種簡單情形. 下面給出的獨立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理，也稱列維一林德伯格（LevyLindberg）定理.定理1（獨立同分布下的中心極限定理） 它表明，當(dāng)n充分大時，n個具有期望和方差的獨立同分布的r.v之和近似服從正態(tài)分布.設(shè)X1,X2, 是獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=

3、 ，D(Xi)= ，i=1,2,，則 雖然在一般情況下，我們很難求出X1+X2+ +Xn 的分布的確切形式，但當(dāng)n很大時，可以求出近似分布. 我們前面介紹過的棣莫佛拉普拉斯定理（二項分布的正態(tài)近似）是上述定理的特殊情況.定理(棣莫佛拉普拉斯定理） 設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)n, p(0p1)的二項分布，則對任意x，有 定理表明，當(dāng)n很大，0p1920)由題給條件知,諸Xi獨立,16只元件的壽命的總和為解: 設(shè)第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依題意，所求為P(Y1920)由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似N(0,

4、1)P(Y1920)=1-P(Y1920) =1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119例2. (供電問題)某車間有200臺車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停車. 設(shè)開工率為0.6, 并設(shè)每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1千瓦.問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)?用X表示在某時刻工作著的車床數(shù)，解：對每臺車床的觀察作為一次試驗，每次試驗觀察該臺車床在某時刻是否工作， 工作的概率為0.6，共進(jìn)行200次試驗.依題意，XB(200,0.6),現(xiàn)在的問題是：P(XN)0.999的最小的N.求滿足設(shè)需N臺車床工作，

5、（由于每臺車床在開工時需電力1千瓦，N臺工作所需電力即N千瓦.） 由德莫佛-拉普拉斯極限定理近似N(0,1),于是 P(XN)= P(0XN)這里 np=120, np(1-p)=48由3準(zhǔn)則，此項為0.查正態(tài)分布函數(shù)表得由 0.999，從中解得N141.5,即所求N=142. 也就是說, 應(yīng)供應(yīng)142 千瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn). 3.1,故例3 在一個罐子中,裝有10個編號為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼.問對序列Xk,能否應(yīng)用大數(shù)定律？ 諸Xk 獨立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.解: k=1,2, E(Xk

6、)=0.1, (1) 設(shè)，k=1,2, 即對任意的0,解: k=1,2, E(Xk)=0.1, 諸Xk 獨立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.(2) 至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95?解：設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為由中心極限定理近似N(0,1)近似N(0,1)欲使即查表得從中解得即至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.(3) 用中心極限定理計算在100次抽取中,數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率.解：在100次抽取中, 數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為由中心極限定理,近似N(0,1)即近似N(0,1

7、)E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09即在100次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率為0.6826.=0.6826近似N(0,1) 當(dāng)諸隨機(jī)變量獨立但不一定同分布時，中心極限定理也成立. 李雅普諾夫證明了,在某些非常一般的充分條件下,當(dāng)隨機(jī)變量的個數(shù)無限增加時,獨立隨機(jī)變量和的分布趨于正態(tài)分布. 設(shè)X1,X2, 是獨立隨機(jī)變量序列，E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,，則在某些一般的條件下,具有漸近正態(tài)分布N(0,1)即概述如下: 在中心極限定理上面的敘述中,所談及的一般條件可以粗略地概括如下:當(dāng)n充分大時,每個單獨的項是“均勻地小”,對總和的極限分布都不會產(chǎn)生顯著的影響.請看下面的例子.在一個物理實驗中的測量誤差是由許多不可能觀察到的,而可看作是可加的小誤差所組成. 一個懸浮于一種液體中的小質(zhì)點受到分子的碰撞,而使它在隨機(jī)的方向作隨機(jī)大小的位移,而該質(zhì)點在一定長時間之后的位置可以看作各個位移的總和. 在任一給定時刻,一個城市的耗電量是大量單獨的耗電者需用電量的總和. 在一個蓄水池中的儲水量可以看作是極大數(shù)量的單獨供水池的供水量的總和.不難發(fā)現(xiàn),在許多領(lǐng)域里,研究的課題所碰到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都很好地近似正態(tài)分布,從中心極限定理看來,這是合理