山東大學(xué)工程流體力學(xué)（杜廣生）課件第8章 粘性流體繞物體的流動(dòng)

1、工程流體力學(xué)第8章 粘性流體繞物體的流動(dòng)實(shí)際流動(dòng)都是有粘流動(dòng)，目前對(duì)粘性流動(dòng)研究方法主要有：1、基于N-S方程的紊 流模擬2、流體實(shí)驗(yàn)流動(dòng)分類 根據(jù)工程的實(shí)際情況，流動(dòng)可分為： 內(nèi)流和外流。 內(nèi)流 ：如右上圖。 外流： 如右下圖。本章的主要內(nèi)容 本章主要討論繞流問題，即外流問題。首先將介紹粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程，然后將給出邊界層的概念及其控制方程，最后針對(duì)繞流流動(dòng)現(xiàn)象的一些具體問題進(jìn)行了討論。 空間流動(dòng)三維問題，NS方程及其求解 擾流阻力及其計(jì)算 附面層的問題 第一節(jié) 不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程 以流體微元為分析對(duì)象，流體的運(yùn)動(dòng)方程可寫為如下的矢量形式： 這里 ： 是流體微團(tuán)的加速度，微分

2、符號(hào)： 稱為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)或隨體導(dǎo)數(shù)，它表示流體微團(tuán)的某性質(zhì) 時(shí)間的變化率。 (8-1)(8-2)(8-3)一、微元體的受力分析和運(yùn)動(dòng)微分方程的推導(dǎo) 如圖所示，控制體的各邊長分別為dx,dy,dz，微元體的體積為： （ 84） 作用在微元體上的質(zhì)量力為 ，其可用 三個(gè)分量 表示為： （85）這里： （86）如果的三個(gè)分量是 ，則： （87）作用在微元體上的表面力 將微元體六個(gè)面上的應(yīng)力分別投影到三個(gè)坐標(biāo)方向上如圖作用于微元體個(gè)面上的x軸方向的應(yīng)力 把作用于控制體上x方向的力疊加起來，得到作用在微元體上的表面力在x方向的分量為： 作用于微元體個(gè)面上的Y、Z軸方向的應(yīng)力 同理，表面力在y方向的分量為：表

3、面力在z方向的分量為： 作用在微元體上的表面力 如果用 , 和 表示單位體積的表面力，則： （ 88） 作用在微元體上的表面力 將上式和式（87）代入式（81）則得： （89） 這就是微分形式的運(yùn)動(dòng)方程。 二、本構(gòu)方程本構(gòu)方程是確立應(yīng)力和應(yīng)變率之間關(guān)系的方程式。斯托克斯通過將牛頓內(nèi)摩擦定律推廣到了粘性流體的任意流動(dòng)中，建立了牛頓流體的本構(gòu)方程： （810） 上式也稱為廣義牛頓定律 三、納維斯托克斯方程（簡稱NS方程）將式（810）代入式（89）可得： （ 811） 上式稱納維斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程的又一種形式。對(duì)于不可壓流體，其連續(xù)方程為：對(duì)于不可壓縮

4、粘性流體，粘性體膨脹應(yīng)力為零，其運(yùn)動(dòng)方程為： （812）三、納維斯托克斯方程（簡稱NS方程） 并考慮到拉普拉斯算子： 不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程還可寫為： （813） 三、納維斯托克斯方程（簡稱NS方程）如果質(zhì)量力只有重力作用，用 代表重力加速度，不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程的矢量形式為： (8-14) 右端第一項(xiàng)表示單位質(zhì)量的質(zhì)量力；第二項(xiàng)代表作用于單位質(zhì)量流體的壓強(qiáng)梯度力；第三項(xiàng)代表黏性變形應(yīng)力。三、納維斯托克斯方程（簡稱NS方程）對(duì)理想流動(dòng)，認(rèn)為流體無粘性， ，這時(shí)運(yùn)動(dòng)方程簡化為歐拉方程： （815） 或矢量形式 （816） 三、納維斯托克斯方程（簡稱NS方程）當(dāng)流體靜止不動(dòng)時(shí)， ，則運(yùn)動(dòng)

5、方程簡化為： （817） 三、納維斯托克斯方程（簡稱NS方程）第二節(jié) 蠕動(dòng)流動(dòng)蠕動(dòng)流動(dòng)：雷諾數(shù)很低的流動(dòng)。特點(diǎn)：流動(dòng)的尺度和流動(dòng)的速度均很小如：熱電廠鍋爐爐膛氣流中繞煤粉顆粒、 油滴等的流動(dòng)；滑動(dòng)軸承間隙中的流 動(dòng)等等。 一、蠕動(dòng)流動(dòng)的微分方程對(duì)于定常流動(dòng)，忽略慣性力和質(zhì)量力，在直角坐標(biāo)系下，可把納維爾斯托克斯方程（814）組簡化成 ： （818）一、蠕動(dòng)流動(dòng)的微分方程如果流動(dòng)是不可壓縮流體，則連續(xù)性方程為： （819） 將式（818）依次求 、 、 ，然后相加，并結(jié)合連續(xù)性方程，即得： 即蠕動(dòng)流動(dòng)的壓力場滿足拉普拉斯方程。(8- 20)二、繞球的蠕動(dòng)流動(dòng) 對(duì)如圖所示的無窮遠(yuǎn)來流以速度 均勻平

6、行流沿 軸繞半徑為 的靜止圓球流動(dòng)，得速度與壓 強(qiáng)分布為： （821） 二、繞球的蠕動(dòng)流動(dòng) 式中 為無窮遠(yuǎn)處來流的壓力。 圓球以很小的速度在靜止流體中作等速運(yùn)動(dòng)時(shí)，在流場中通過x軸的平面上的流譜如圖所示。 二、繞球的蠕動(dòng)流動(dòng)在圓球的前后兩駐點(diǎn)A和B處的壓強(qiáng)是壓強(qiáng)的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，分別為：在前駐點(diǎn)A（ 180 ） （822） 在后駐點(diǎn)B（ 0）： （823）而切應(yīng)力的最大值，發(fā)生在C（ 90）為： （824） 等于A、B點(diǎn)處的壓強(qiáng)與無窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)之差的絕對(duì)值。二、繞球的蠕動(dòng)流動(dòng)球面上的壓強(qiáng)和剪切應(yīng)力也可根據(jù)速度分布公式算出，為： （8-25） 對(duì)上述兩式積分，可分別得到作用在球面上的壓強(qiáng)和切應(yīng)力

7、的合力。將這兩個(gè)合力在流動(dòng)方向的分量相加，可得到流體作用在圓球上的阻力為： （8-26） 這就是圓球的斯托克斯阻力公式。式中d=2 為圓球的直徑。 第三節(jié) 邊界層的概念 邊界層：物體壁面附近存在大的速度梯度的薄層。 我們可以用如圖所示的繞平板的流動(dòng)情況說明邊界層的概念。邊界層的定義粘性流體繞流物體時(shí)，由于粘性的作用，在物體的表面附近，存在一速度急劇變化的薄層邊界層。 例如：來流 的流體繞流平板時(shí)，在平板表面形成邊界層。邊界層的定義在平板的前部邊界層呈層流狀態(tài)，隨著流程的增加，邊界層的厚度也在增加，層流變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)，流體的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)變得不規(guī)則，最終發(fā)展為紊流，這一變化發(fā)生在一段很短的長度范圍，稱

8、之為轉(zhuǎn)捩區(qū)，轉(zhuǎn)類區(qū)的開始點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)捩點(diǎn)。轉(zhuǎn)類區(qū)下游邊界層內(nèi)的流動(dòng)為紊流狀態(tài)。在轉(zhuǎn)捩區(qū)和紊流區(qū)的壁面附近，由于流體的質(zhì)點(diǎn)的隨機(jī)脈動(dòng)受到平板壁面的限制，因此在靠近壁面的更薄的區(qū)域內(nèi)，流動(dòng)仍保持為層流狀態(tài)，稱為層流底層和粘性底層。 邊界層的特點(diǎn)邊界層內(nèi)速度梯度很大，旋渦強(qiáng)度大，有旋流動(dòng)慣性力和粘性具有相同的數(shù)量級(jí)，同時(shí)考慮。邊界層外部速度梯度很小，可以作為理想流體的勢流處理。邊界層厚度隨 的增大而增大，隨 的增大而減小。由于邊界層很薄，因而可以近似認(rèn)為，邊界層任一截面上各點(diǎn)壓強(qiáng)相等。邊界層的分類按流動(dòng)狀態(tài)，可分為層流邊界層和紊流邊界層。判別準(zhǔn)則雷諾準(zhǔn)則： 平板上的臨界雷諾數(shù) = 邊界層的構(gòu)成： 1.層

9、流邊界層，當(dāng) 較小時(shí)，邊界層內(nèi)全為層流，稱為層流邊界層。 2.混合邊界層：除前部起始部分有一小片層流區(qū)，其余大部分為紊流區(qū)，稱為混合邊界層。邊界層的厚度兩個(gè)流動(dòng)區(qū)域之間并沒有明顯的分界線。邊界層的厚度：通常，取壁面到沿壁面外法線上速度達(dá)到勢流區(qū)速度的99處的距離作為邊界層的厚度，以表示，這一厚度也稱邊界層的名義厚度。邊界層的厚度取決于慣性和粘性作用之間的關(guān)系，即取決于雷諾數(shù)的大小。雷諾數(shù)越大，邊界層就越薄；反之，隨著粘性作用的增長，邊界層就變厚。沿著流動(dòng)方向由繞流物體的前緣點(diǎn)開始，邊界層逐漸變厚。 第四節(jié) 平面層流邊界層的微分方程在這一節(jié)里，將利用邊界層流動(dòng)的特點(diǎn)如流體的粘度大小、速度與溫度梯

10、度大和邊界層的厚度與物體的特征長度相比為一小量等對(duì)N-S方程進(jìn)行簡化從而導(dǎo)出層流邊界層微分方程。在簡化過程中，假定流動(dòng)為二維不可壓定常流，不考慮質(zhì)量力，則流動(dòng)的控制方程N(yùn)-S方程為： （8-27）第四節(jié) 平面層流邊界層的微分方程將上述方程組無量綱化。為此考慮如圖所示的一半無窮繞流平板，假定無窮遠(yuǎn)來流 的速度 ，流動(dòng)繞過平板時(shí)在平板附近形成邊界層，其厚度為 ，平板前緣至某點(diǎn)的距離為 。取 和 為特征量，可定義如下 的無量綱量： / / / / /（ ）代入方程組（827），整理后得： （8-28）式中雷諾數(shù) 第四節(jié) 平面層流邊界層的微分方程 與 相比較是很小的 ，即 或 / 1，同時(shí)注意到， 與

11、 、 與 、 與 具有同一數(shù)量級(jí)，于是 、 、 和 的量級(jí)均為1，并可以得到： 1 1 1 為了估計(jì)其他各量的數(shù)量級(jí)，由連續(xù)性方程可得： 1第四節(jié) 平面層流邊界層的微分方程第四節(jié) 平面層流邊界層的微分方程因此 ，于是又得到： 1 通過分析方程組（828）各項(xiàng)的數(shù)量級(jí)，方程組（828）中第二式中各慣性項(xiàng)可以忽略掉 ，同時(shí)可以略 去 、 、 。于是在方程組（828）的粘性 項(xiàng)中只剩第一式中的一項(xiàng) 。 如果僅保留數(shù)量級(jí)為1的項(xiàng)，而將數(shù)量級(jí)比1小的各項(xiàng)全部略去，再恢復(fù)到有量綱的形式，便可以得到層流邊界層的微分方程組為： （8-29） 沿邊界層上緣由伯努利可知： 常數(shù) 上式對(duì) 求導(dǎo)，得： 第四節(jié) 平面層

12、流邊界層的微分方程這樣，層流邊界層的微分方程又可寫為： （8-30） 方程組（830） 即為在物體壁面為平面的假設(shè)下得到的邊界層微分方程 。 第四節(jié) 平面層流邊界層的微分方程第五節(jié) 邊界層的動(dòng)量積分關(guān)系式邊界層的動(dòng)量積分方程是對(duì)邊界層內(nèi)流動(dòng)的再簡化。其推導(dǎo)過程有兩種方法：一種是沿邊界層厚度方向積分邊界層的方程組，一種是在邊界層內(nèi)直 接應(yīng)用動(dòng)量守恒原理。下面的推導(dǎo)采用第二種方法。邊界層動(dòng)量積分方程的推導(dǎo)如圖所示為不可壓縮流體的定常二維邊界層流動(dòng) ，設(shè)物體表面型線的曲率很小。 取一個(gè)單位厚度的微小控制體，它的投影面ABDC 。用動(dòng)量定理來建立該控制體內(nèi)的流體在單位時(shí)間內(nèi)沿x方向的動(dòng)量變化和外力之間

13、的關(guān)系。 邊界層動(dòng)量積分方程的推導(dǎo)設(shè)壁面上的摩擦應(yīng)力為 根據(jù)邊界層的控制方程組，邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)僅近似地依賴于 而與 無關(guān)，設(shè)AB面上的壓強(qiáng)為 ，DC上的壓強(qiáng)為 控制面AC為邊界層的外邊界 其外部為理想流體的勢流 ，只有與之垂直的壓力 ，設(shè)AC上的壓強(qiáng)為A，C兩點(diǎn)壓強(qiáng)的平均值 。作用在控制體上的表面力沿方向的合力為： 邊界層動(dòng)量積分方程的推導(dǎo)式中為邊界層外邊界AC與方向的夾角，由幾何關(guān)系可知： ，上式經(jīng)整理并略去高階小量，得：單位時(shí)間內(nèi)沿方向經(jīng)過AB流入控制體的質(zhì)量和動(dòng)量分別為：經(jīng)過CD面流出的質(zhì)量和動(dòng)量分別為：定常流動(dòng)條件下，可知從控制面AC流入控制體中的流量為：由此引起流入的動(dòng)量為： 邊界層

14、動(dòng)量積分方程的推導(dǎo)式中V為邊界層外邊界上的速度。這樣，可得單位時(shí)間內(nèi)該控制體內(nèi)沿x方向的動(dòng)量 變化為 根據(jù)動(dòng)量定理， ，則可得邊界層的動(dòng)量積分方程為： （8-51） 上式也稱為卡門動(dòng)量積分關(guān)系式。該式是針對(duì)邊界層流動(dòng)在二維定常流動(dòng)條件下導(dǎo)出的，并沒有涉及邊界層的流態(tài)，所以其對(duì)層流和紊流邊界層都能適用。 積分方程的求解實(shí)際上可以把 、 和 看作已知數(shù)，而未知數(shù)只有 、 和 三個(gè)。 再補(bǔ)充兩個(gè)關(guān)系式： 一、沿邊界層厚度的速度分布 = (y) 二、切向應(yīng)力與邊界層厚度的關(guān)系式 一般在應(yīng)用邊界層的動(dòng)量積分關(guān)系式（851）來求解邊界層問題時(shí)，邊界層內(nèi)的速度分布是按照已有的經(jīng)驗(yàn)來假定的。假定的 愈接近實(shí)際

15、，則所得到的結(jié)果愈正確。所以選擇邊界層內(nèi)的速度分布函數(shù) 是求解邊界層問題的重要關(guān)鍵。 第六節(jié)邊界層的位移厚度和動(dòng)量損失厚度 邊界層的厚度 ，表示粘性影響的范圍。 位移厚度 動(dòng)量損失厚度根據(jù)伯努力方程可知：又由于：帶入（8-51）得 或 （8-52）邊界層厚度計(jì)算式的推導(dǎo)因此在邊界層內(nèi)由于粘性影響使體積流量的減小量 ，即上式中第一項(xiàng)積分。 位移厚度或排擠厚度 可表示成： （8-53）同理動(dòng)量損失厚度 可表示為： （8-54） 將 和 代入式（851）, 得 （8-55）邊界層厚度計(jì)算式的推導(dǎo)式（8-55）是另一種形式的平面不可壓縮粘性流體邊界層動(dòng)量積分關(guān)系式 。 、 和 都是未知數(shù)，它們決定于邊

16、界層內(nèi)速度的分布規(guī)律。 將式（855）化為無因次形式，統(tǒng)除以 ，得 （856） 或式中H 。計(jì)算曲面邊界層時(shí)，用上式較為方便。 第七節(jié) 平板邊界層流動(dòng)的近似計(jì)算 平板層流邊界層的近似計(jì)算 對(duì)于式（851），如果邊界層外部的壓強(qiáng)梯度為零，方程變?yōu)椋?(8-57） 假定平板非常薄，對(duì)流動(dòng)沒有影響。邊界層外層流動(dòng)： 則上式可變?yōu)椋?(8-58） 兩個(gè)補(bǔ)充關(guān)系式:一、馮卡門假定，二、牛頓內(nèi)摩擦定律。平板紊流邊界層的近似計(jì)算 采用將邊界層內(nèi)的速度分布與圓管內(nèi)充分發(fā)展紊流的速度分布規(guī) 律進(jìn)行類比的方法。平板層流邊界層的近似計(jì)算選擇一三次項(xiàng)式速度分布： (8-59) 根據(jù)下列邊界條件來確定待定系數(shù) 和 .

17、(1)在平板壁面上的速度為零，即在 處 (2)在邊界層外邊界上的速度等于來流速度 ,即在 處 ， (3)在邊界層外邊界上，摩擦切應(yīng)力 為零，即在 處 ， (4)由于在平板壁面上的速度為零，即 ，由方程組（850）的第一式得 平板層流邊界層的近似計(jì)算速度分布的四個(gè)系數(shù)可確定為： 于是，層流邊界層中速度的分布規(guī)律為 (8-60) 第二個(gè)補(bǔ)充關(guān)系式：利用牛頓內(nèi)摩擦定律和式（860）得出 (8-61)式中為動(dòng)力粘性系數(shù)。將速度分布方程（860）帶入方程（861）并積分得：分離變量，并積分得： (8-62)平板層流邊界層的近似計(jì)算式中為 運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)，為基于長度的雷諾數(shù) 。合并方程（862）和(861)

18、得到： (8-63)如果表面摩擦系數(shù) 為： (8-64) 那么 ，為： (8-65) 根據(jù)動(dòng)量損失厚度的定義式（854），并考慮式（862），可得動(dòng)量損失厚度為： (8-66) 同理，位移厚度為: (8-67)上述計(jì)算結(jié)果是依賴于所假設(shè)的速度分布規(guī)律的，不同階次的速度分布，可以得出不同的結(jié)果。表8.1 給出幾種不同的情況。表8.1不同階次的速度分布所得結(jié)果比較 548 1826 0730 0365464 1740 0646 0323584 1751 0685 0343 32123-ddyy二、平板紊流邊界層的近似計(jì)算如前所述由于流動(dòng)的混參以及速度和壓力的波動(dòng)，紊流邊界層的速度分布都采用一些模型

19、假定。普朗特建議，當(dāng)邊界層雷諾數(shù) 時(shí)，邊界層內(nèi)的速度分布可采用 次方規(guī)律，即： （8-68） 該式不能直接應(yīng)用于邊界層的內(nèi)邊界。通常認(rèn)為粘性底層內(nèi)的速度分布為線形分布。 雷諾數(shù)取 時(shí)的摩擦阻力系數(shù)為： 當(dāng)時(shí) 普朗特和施利希廷 （ H. Schlichting）采用對(duì)數(shù)速度分布，得到如下的半經(jīng)驗(yàn)公式： 層流與紊流邊界層的近似計(jì)算公式匯總 平板的層流邊界層和紊流邊界層的重大差別有：紊流邊界層內(nèi)沿平板壁面發(fā)向截面上的速度比層流邊界層的速度增加得快 沿平板壁面紊流邊界層的厚度比層流邊界層的厚度增加得快 在其它條件相同的情況下，平板壁面上的切向應(yīng)力 沿著壁面的減小在紊流邊界層中要比層流邊界層減小得慢。在

20、同一 下，紊流邊界層得摩擦阻力系數(shù)比層流邊界層的大得多 實(shí)際情況下，邊界層是層流和紊流同時(shí)存在的混合邊界層 邊界 層 內(nèi) 的 流 態(tài)層 流紊 流邊界層的基本特性速度分布規(guī)律邊界層厚度位移厚度動(dòng)量損失厚度切向應(yīng)力總摩擦力摩擦阻力系數(shù)層流與紊流邊界層的近似計(jì)算公式匯總 fC第八節(jié) 邊界層的分離與卡門渦街 一、邊界層的分離以如圖所示的圓柱繞流為例 在勢流流動(dòng)中流體質(zhì)點(diǎn)從D到E是加速的，為順壓強(qiáng)梯度;從E到F則是減速的, 為逆壓強(qiáng)梯度流體質(zhì)點(diǎn)由D到E過程，由于流體壓能向動(dòng)能的轉(zhuǎn)變，不發(fā)生邊界層分離E到F 段動(dòng)能只存在損耗，速度減小很快，在S點(diǎn)處出現(xiàn)粘滯 ，由于壓力的升高產(chǎn)生回流導(dǎo)致邊界層分離，并形成尾渦。如圖為邊界層分離示意圖。從以上的分析中可得如下結(jié)論：粘性流體在壓力降低區(qū)內(nèi)流動(dòng)（加速流動(dòng)），決不會(huì)出現(xiàn)邊界層的分離，只有在壓力升高區(qū)內(nèi)流動(dòng)（減速流動(dòng)），才有可能出現(xiàn)分離，形成漩渦。尤其是在主流減速足夠大的情況下，邊界層的分離就一定會(huì)發(fā)生。 圖814 邊界層分離示意圖一、邊界層的分離 二、卡 門 渦 街 上圖表示 不同雷諾數(shù)條件下繞圓柱的流動(dòng)圖譜 討論圓柱繞流問題：隨著雷諾數(shù)的增大邊界層首先出現(xiàn)分離，分離點(diǎn)并不斷的前移，當(dāng)雷諾數(shù)大到一定程度時(shí)，會(huì)形成兩列幾乎穩(wěn)定的、非對(duì)稱性的、交替脫落的、旋轉(zhuǎn)方向相反的旋渦，并隨