數(shù)值計(jì)算方法期末考精彩試題

1、大全11.已知函數(shù)y1x2的一組數(shù)據(jù):012旳1050.2求分段線性插值函數(shù)，并計(jì)算f1.5的近似值.計(jì)算題1.答案1.解x0,1，%x0.510.5x1,2%xx10.50.20.3x0.821所以分段線性插值函數(shù)為%x10.5xx0,10.80.3xx1,2%1.50.80.31.50.354.寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計(jì)算積分1dx01x計(jì)算題4.答案4解梯形公式bbafxdxfafba2應(yīng)用梯形公式得11dx01x110.751011辛卜生公式為bfxdxabaf6a4f（ab）f2應(yīng)用辛卜生公式得111010odx才f04f（）1f-Q1門25363次代數(shù)精確度四、證明題（

2、本題10分）確定下列求積公式中的待定系數(shù)，并證明確定后的求積公式具有hhfxdxA1fhA0f0Afh證明題答案2證明：求積公式中含有三個(gè)待定系數(shù)，即A1，A0，A1，將fX1,x,x分別代入求積公式,并令其左右相等，得A1A0A12hh（A,A1）0223h（A1A03hA1Alh得34h3。所求公式至少有兩次代數(shù)精確度。又由于x3dxh4hxdx-h3hhh3A4hfxdx故hhfhfh具有三次代數(shù)精確度。3f(x)x2,Xo1設(shè)1,xi41,X2(1)試求19x在44上的三次Hermite插值多項(xiàng)式x使?jié)M足H(Xj)f(Xj),j0,1,2,.H(x1)f(xj以升冪形式給出(2)寫出余

3、項(xiàng)R(x)f(x)H(x)的表達(dá)式計(jì)算題1.答xxx1、(1)2254504502592X/.V1X/.V5294試確定常數(shù)A,B,C和a，使得數(shù)值積分公式匸了如型(-町+bj+c/g有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型的？計(jì)算題3.答案AC10,B,a99125，該數(shù)值5次代數(shù)精確度，它是Gauss型的yf(x,y)推導(dǎo)常微分方程的初值問題y(Xo)yo的數(shù)值解公式:yn1yn13(yn14nYn1)(提示：利用Simpson求積公式。)計(jì)算題4.答案4、數(shù)值積分方法構(gòu)造該數(shù)值解公式：對(duì)方程yf(x)在區(qū)間Xn1,Xn1上

4、積分,Xn1y(Xn1)y(Xn1)f(x,y(x)dx得Xn1，記步長為h,Xn1Xn1f(X,y(x)dx對(duì)積分xn1用Simpson求積公式得Xn12hf(x,y(x)dxXn16f(Xn1)4f(Xn)f(Xn1)h(yn14ynyn1)3所以得數(shù)值解公式:yn1hyn13(yn14ynyn1)(1).(15分)用二次拉格朗日插值多項(xiàng)式L2(x)計(jì)算sin0.34的值。插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值是(0,0),(0.30,0.2955)，(0.40，0.3894)。計(jì)算題1.答案L2(x)(xXi)(XX2)(X0 xJ(X0X2)f。(xXo)(XX2)(XiXo)(X!X2)(xX0)(

5、XXi)Xi)1)=0.3333364).(15分)求系數(shù)A1,A2和陽使求積公式111f(x)dxAJ(1)A2f(-)A3f(-)對(duì)于次數(shù)2的一切多項(xiàng)式都精確成立133計(jì)算題4.答案11112AAA2A-AA30AA?A33399313A2A0A32三、計(jì)算題(70分)(10分)已知f(0)=1,f(3)=2.4,f(4)=5.2，求過這三點(diǎn)的二次插值基函數(shù)lx)=(f0,3,4=(P2(x)=(f().計(jì)算題1.答案),),插值多項(xiàng)式),用三點(diǎn)式求得由插值公式可求得它們分別為:1/八7“77/-x(x4),1xx(x1.31215122033),和63.(15分)確定求積公式11f(x)

6、dxAf(0.5)Bf(xJCf(0.5)的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并確定其代數(shù)精度計(jì)算題3.答案3.假設(shè)公式對(duì)f(x)1,x,x2,x3精確成立則有ABC20.5ABx10.5C00.25ABxf0.25C230.125ABx；0.125C0解此方程組得AC4-,B233求積公式為1f(x)dx4f(0.5)2f(0)4f(0.5),當(dāng)f(x)x4時(shí),TOC o 1-5 h zi321左邊右邊一左邊右邊代數(shù)精度為3o64.(15分)設(shè)初值冋題y3x2yy(0)1寫出用Euler方法、步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式；寫出用改進(jìn)的Euler法(梯形法)、步長h=0.2解上述初值問

7、題數(shù)值解的公式，并求解仆丫2，保留兩位小數(shù)。計(jì)算題4.答案(1)Yn1Yn0.1(3Xn2y.)0.3Xn1.2%yn1yn2(3Xn2yn)3(xn0.2)2yn1=yn0.1(6xn2yn2yn10.6)333yn1ynxn24403336333迭達(dá)得y11.575,y22.58524024040.240(15分)取節(jié)點(diǎn)X。0,x10.5,x2，求函數(shù)yex在區(qū)間0,1上的二次插值多項(xiàng)式P2(x)，并估計(jì)誤差。計(jì)算題5.答案0.55.P2(X)0.51(x00)10.50.5eee110.50.50/(x0)(x0.5)100.5=1+2(e1)x2(e2e.51)x(x0.5)ex,M3

8、maxyx0,1x1,e(x)f()x(x3!0 x1WI*P2(x)|寸Ix(x0.5)(x期二、計(jì)算題1、已知函數(shù)yf(x)的相關(guān)數(shù)據(jù)20123012313927由牛頓插值公式求三次插值多項(xiàng)式P3(x)，并計(jì)算P(2)的近似值計(jì)算題1.答案解：差商表ifl毎，內(nèi)+i,兀勺j丨忑”F：屮,了42S兀!+取001113222g623327864/3由牛頓插值公式:P3(X)Ns(X)4X32x28X1,333p3(2)3(2)32(2)28(1)i22、（10分）利用尤拉公式求解初值問題，其中步長h0.1,yyx1,x(0,0.6)y(0)1.計(jì)算題2.答案f(x,y)yx1,yol,h0.1

9、,yn1yn0.1(Xn1Yn),50,1,2,3,L)yo1,yk1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;解：1.056100;1.090490;1.131441.3、(15分)確定求積公式hf(x)dxAf(h)Af(0)Af(h)中待定參數(shù)A的值（i,2），使求積公式的代數(shù)精度盡量高；并指出此時(shí)求積公式的代數(shù)精度。計(jì)算題3.答案解：分別將f（x）匕兒/，代入求積公式，可得AA1h,A4h33令f（x）X?時(shí)求積公式成立，而f（x）x時(shí)公式不成立，從而精度為34、（15分）已知一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:1234544.5688.5求它的擬合曲線（直線）計(jì)算題4.答案

10、5a15b31解：設(shè)yabx則可得15a55b105.5于是a2.45,b1.255即y2.451.25X1、（10分）已知數(shù)據(jù)如下:1141.82.22.60,5310.4730.2970.2240.1681y1abx,令z丄,則zayy555X9,x2i17.8,乙i1i1i1解此方程組得59a917.8ba2.0535擬合曲線為b3.0265計(jì)算題1.答案y12.05353.0265X求形如abx擬合函數(shù)bx516.971,zixi35.902i116.97135.39022、（15分）用二次拉格朗日插值多項(xiàng)式L2（x）計(jì)算sin0.34。插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值如下表。000.300.4

11、00.00.295503894計(jì)算題2.答案:過點(diǎn)(心fo),(Xl,fl),(X2,f2)的二次拉格朗日插值多項(xiàng)式為a(x)(xXi)(xX2)(XoXi)(XoX2)(XXo)(XX2)(兒Xo)(XiX2)fi(XXo)(XXi)(X2Xo)(X2Xi)sinO.34L2(0.34)0.333363、(15分)利用改進(jìn)的尤拉方法求解初值問題，其中步長h0.2yyx,y(0)1.x(0,0.8)。計(jì)算題3.答案h_(n0,1,2,3,L)yk1.000000;1.240000;1.576800;2.031696;%1yn2(ynXn)(yn1人1兒y01,2.630669;3.405416

12、.TOC o 1-5 h z113X)一，人-,X2-4、(15分)已知424(1)推導(dǎo)以這三點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn)在0,1上的插值型求積公式f(x)dx113A0f(1)Af(；)A2f(3)424；7xdx(2)指明求積公式所具有的代數(shù)精度；(3)用所求公式計(jì)算0計(jì)算題4.(1)答案計(jì)算題4.(2)&(3)答案（2）所求的求積公式是插值型，故至少具有342次代數(shù)精度，再將f（x）x,x代入上述公式，可得故代數(shù)精度是3次。（3）由（2）可得:1x2dx0（1）所求插值型的求積公式形如:f(x)dx1A0f(4)Af1x3dx01x4dx03町2Af擴(kuò),111故0f(x)dx尹仁?1415（1）212(

13、1)334W)434（1）33,4,21(xxj(xX2)(X0Xj(XoX2)1(xXo)(xX2)0(兒Xo)(xX2)1(xXo)(xX1)0(x2Xo)(X2X1)0lo(x)dx10h(x)dx12(x)dxdxdxdx/1w31(x護(hù)？dx3)31(x：)(x3)0=dx(24)(24)11山宀)dx03131 HYPERLINK l bookmark42 o Current Document (44)(42)011(42，423；132；3；、計(jì)算題1).(15分)f2x,Xo4,X11,X2_,二(1)試求f(x)在44上的三次Hermite插值多項(xiàng)式H(x)使?jié)M足H(Xj)f(Xj),j0乙2,H(x)f(x),H(x)以升幕形式給出。(2)寫出余項(xiàng)R(x)f(x)H(x)的表達(dá)式7H3X14551-22X3623o3524